偽碼輔助載波星間自主測距技術(shù)

黃 波,胡修林,王新模

(華中科技大學(xué)電子與信息工程系,武漢430074)

0 引 言

Grace衛(wèi)星采用K/Ka波段微波測距(KBR)系統(tǒng),并借助GPS的輔助,使衛(wèi)星之間的相對距離測量精度達到了μm級[1]。為達到μm級測距精度,需要超穩(wěn)定振蕩器的穩(wěn)定度達到2×10-13/s,GPS時間同步精度達到0.1 ns,載波相位測量精度達到0.006 rad,實現(xiàn)起來較為復(fù)雜且難度大[2]。

本文提出的偽碼輔助載波測距技術(shù),是一種星間自主mm級測距技術(shù),它不需借助類似GPS的外界輔助,也不需K/Ka波段這么高載波頻率,不需特別復(fù)雜的技術(shù)手段,是一種切實可行且容易實現(xiàn)的星間自主測距技術(shù)。

在該測距技術(shù)中:要測距的兩顆衛(wèi)星之間采用請求和應(yīng)答方式相互發(fā)射二進制相移鍵控(BPSK)調(diào)制的直接序列擴頻信號(DSSS);基于偽隨機碼(PRN)相位完成兩顆衛(wèi)星之間距離和鐘差的粗測量,粗測距離精度(標(biāo)準(zhǔn)偏差)優(yōu)于3 cm,觀測時間差測量精度(標(biāo)準(zhǔn)偏差)優(yōu)于0.1 ns;基于偽碼距離測量值和測距精度選擇載波頻率對,消除基于載波測距中存在的整周模糊度問題,避開了復(fù)雜的載波整周模糊度求解算法;然后基于載波對測距,使得衛(wèi)星之間在相對靜止或存在弱相對運動情況下,自主相對測距精度達到了mm級。

文中詳細給出了弱相對運動情況下基于偽碼和載波技術(shù)的測距原理、公式以及實現(xiàn),并結(jié)合仿真實驗及工程實踐,給出了測距精度下限。

1 基于載波雙向測距基本原理

兩顆衛(wèi)星之間相互發(fā)射測距信號,接收到的載波信號相位中包含有距離信息,如果能從載波相位中提取出距離信息,便能完成距離的測量。這是基于載波雙向測距的根本思想和出發(fā)點。

下面推導(dǎo)如何從兩顆衛(wèi)星接收到的載波信號相位中提取距離信息。

設(shè)s1發(fā)射載波頻率f1,s2發(fā)射載波頻率f2,t時刻s1和s2發(fā)射的信號分別可表示為:

其中,PRN1(t)、PRN2(t)為偽隨機碼電平,取值±1;d1(t)、d2(t)為承載的數(shù)據(jù)比特,取值±1;p為信號發(fā)射功率;f 1、f2、θ0,1、θ0,2為載波頻率和初始相位。

設(shè)信號傳播速度為u。在弱相對運動的情況下(在一次測距完成時間間隔內(nèi),衛(wèi)星之間的相對運動速度恒定且不大于10 m/s,加速度的影響可忽略不計),設(shè)衛(wèi)星s1向衛(wèi)星s2方向運動速度為v1,s2向s1方向運動速度為v2。再設(shè) t-τ1(t)時刻s1和s2之間的距離為 r(t-τ1(t)),τ1(t)表示 t-τ1(t)時刻s1發(fā)射的載波相位θ1(t-τ1(t))經(jīng)過傳播時延τ1(t)后在t時刻到達s2。因為相對運動的存在,τ1(t)顯然是 t的函數(shù)。在 τ1(t)時間間隔內(nèi),信號前進 了 uτ1(t),s2前進了 v 2τ1(t),s1前進 了v1τ1(t)。如圖1所示。

圖1 相對運動示意圖Fig.1 Diagram of relative motion

根據(jù)圖1可求得

s2在t時刻收到的載波信號相位為

同理,設(shè)t-τ2(t)時刻兩者相距 r(t-τ2(t)),此時s2發(fā)出的載波相位經(jīng)過傳播時延 τ2(t)后到達s1,則

s1在t時刻收到的載波信號相位

暫時忽略載波上面承載的偽碼和數(shù)據(jù),在同一個t時刻,s1和s2用發(fā)射的載波信號分別和收到的載波信號相乘得到

將(7)、(8)兩式的第一項和第二項相位值分別表示為

則(7)式中第一項對應(yīng)的載波頻率為

根據(jù)(5)式

由(14)得到

將(15)式帶入(13)式得到

正是由于相對運動引起的對應(yīng)g2的多普勒頻移。

同樣的方法可求得(7)式中第二項對應(yīng)的載波頻率為

對(8)式,同樣有

當(dāng)v1?u,v2?u時,f 1,d?f 1,f 2,d?f 2,因此在f 2與f 1相差不大的情況下,f1,2與f1,1相比仍然是高頻分量,f2,2與f2,1相比也仍然是高頻分量。因此,可將高頻分量濾除,得到頻率為f1,1和f2,1的中頻分量:

將(23)、(24)兩式的載波相位表示為

則有

而有

再加上(3)、(5)兩式可得到

因此,將(3)式和(29)式帶入(27)式,可得到

而t時刻,兩者之間的距離為

但φ1(t),φ2(t)分別在兩顆衛(wèi)星上觀測得到,由于鐘差的存在,兩者很難做到在同一個系統(tǒng)時間點觀測。因此,設(shè)s1在t2時刻觀測,s2在t1時刻觀測,則

此時

因此

即

將 τ1(t1)和(36)式帶入(33)式,得到

所以

同樣方法可得到

而(39)式也可寫成

當(dāng)v1?u,v2?u時,(40)式可近似為這種近似帶入的誤差在精度分析時會加以考慮。

令

則

其中,N1(t2)、N1(t2)為整數(shù);N1,2(t2,t1)=N1(t2)+N1(t2);0 ≤θ1(t2)(θ2(t1))＜2π,為相位主值,可測量得到。

則(41)式可分解為

這就是基于載波雙向測距所得到的距離表達式。

2 偽碼輔助載波測距的實現(xiàn)

有(46)式可知,為求距離需要測量 θ1(t2)、θ2(t1)、N1,2(t2,t1)、f1,d和t2-t1。θ1(t2)、θ2(t1)為模擬中頻的相位主值,可通過鎖相環(huán)導(dǎo)出;f1,d為載波多普勒頻移,也可通過鎖相環(huán)導(dǎo)出;N1,2(t2,t1)是整周數(shù),存在整周模糊度問題,本文借助偽碼測距所獲得的粗測距離和cm級測距精度選擇載波頻率對,消除整周N1,2(t2,t1)的模糊問題,避開了復(fù)雜的解整周模糊度算法[3-4];時間差 t2-t1借助偽碼輔助求得,精度優(yōu)于0.1 ns。

為同時完成偽碼測距、測時差以及基于載波測距,衛(wèi)星s1和s2之間采用請求-應(yīng)答方式:當(dāng)s1和s2上面的碼環(huán)和載波環(huán)都鎖定時[4],s1向s2發(fā)送測距請求幀;s2收到測距請求幀之后發(fā)送應(yīng)答幀,在t1時刻觀測得到的模擬中頻載波相位 θ2(t1)以及自身發(fā)送的偽碼相位和收到的偽碼相位,并將3個觀測值在應(yīng)答幀中反饋給 s1;s1收到應(yīng)答幀后,在t2時刻觀測得到模擬中頻載波相位 θ1(t2)以及自身發(fā)送的偽碼相位和收到的偽碼相位;在s1上面按照下面介紹的方法,根據(jù)觀測到的2個載波相位值和4個偽碼相位值完成距離測量。

2.1 基于偽碼測量距離和觀測時間之差

基于偽碼測距,采用的是測雙向來回傳播時間的測距原理:s1在 t1時刻發(fā)射的偽碼相位到達s2,經(jīng)過s2反射后在t2時刻返回到s1,此時在s1上面可得到雙向來回傳播時延2τ=t2-t1,因此

求得的傳播時延乘上信號傳播速度,就得到兩者間的距離。

和基于載波雙向測距推導(dǎo)過程相類似,基于偽碼雙向測距的實現(xiàn)推導(dǎo)過程如下:

設(shè)s1向s2方向運動速度為v1,s2向s1方向運動速度為v2,信號傳播速度為u。設(shè)s2在t1時刻觀測得到的對方偽碼相位是s1在t1-τ1(t1)時刻、相距為r(t1-τ1(t1))時發(fā)出的,并設(shè) t1時刻 s2發(fā)射的偽碼相位為φ2(t1);s1在t2時刻觀測得到的對方偽碼相位是s2在 t2-τ2(t2)時刻、相距為r(t2-τ2(t2))時發(fā)出的,并設(shè)t2時刻s1發(fā)射的偽碼相位為 φ1(t2),如圖2所示。

由圖2可觀測得到

其中偽碼相位差已轉(zhuǎn)為時間,以下各式相同,由

兩式可得

由(5)、(48)、(49)、(52)式可得

和

至此,t2時刻衛(wèi)星間的距離r(t2)和觀測時差 t2-t1通過偽碼相位測量得到,精度在第3節(jié)中分析。

2.2 偽碼輔助消除整周模糊度

設(shè)基于偽碼測距,測量值為r0,3σ精度為p0;基于載波測距,測量值為 r1,3σ精度為p1,則以下不等式以99.7%×99.7%的概率成立

從工程上來講,(56)式幾乎總是成立的。

因此,如果 N1,2(t2,t1)當(dāng)前值滿足(56)式,而N1,2(t2,t1)±1時得到的距離值r1±λ1,2滿足

則N1,2(t2,t1)只可能取一個唯一的整數(shù)值,也就是不存在模糊問題。

要同時滿足(56)、(57)兩式,則要求

即所選擇的載波頻率之和滿足

結(jié)合(46)式,可令

則 N1,2(t2,t1)必取{M-1,M,M+1}中的一個,帶入(56)、(57)不等式加以驗證即可唯一確定。

另外,發(fā)送和接收的頻率之間應(yīng)該預(yù)留一定的帶寬,這里取

因此,根據(jù)(59)和(61)兩式可選定載波 f 1和 f 2。

3 測距精度分析

根據(jù)(41)、(46)兩式,主要有4中因素影響測距精度:模擬中頻載波相位測量精度、t2-t1測量精度、f1,d的測量精度及^r(t2)對r(t2)的近似造成的舍入誤差。

3.1 載波相位測量精度對測距精度的影響

載波相位的測量精度非常高,根據(jù)工程[3]實踐和仿真分析表明:測量3σ精度優(yōu)于0.01周,高精度載波相位測量精度引起的測距誤差

3.2 時間差測量精度對測距精度的影響

將(55)式分解為

則t2-t1的測量誤差包括偽碼相位測量引起的誤差和運動速度v1和v2測量引起的誤差。設(shè)偽碼相位測量3σ精度為pc,速度測量3σ精度為pv,則 t2-t1測量誤差引起的測距誤差

借助非等量采樣技術(shù),偽碼相位測量可達到很高的精度,仿真分析和工程實踐表明:pc≤0.3 ns,pv≤0.2 m/s是可輕易做到的。而且當(dāng) φ1(t2)-φ1(t1-τ1(t1))、φ2(t2-τ2(t2))-φ2(t1)很小且 v1?u,v2?u時,可將(64)第二項忽略不計。

3.3 多普勒頻移測量精度對測距精度的影響

設(shè)f1,d的測量精度為pd,此時,有f1,d測量誤差引起的測距誤差為

仿真分析和工程實踐表明:pd≤1 Hz可輕易實現(xiàn)。

3.4 近似引起的距離誤差

根據(jù)(40)式,當(dāng) v1?u,v2?u時

因此,近似引入的誤差為

顯然,該誤差和距離測量值或者說距離以及相對運動速度有關(guān)系,并且隨著距離和相對運動速度的增大而增大。為分析方便,3.5節(jié)僅僅分析了最差情況(速度最大和距離最遠)下的舍入誤差。

3.5 基于載波測距精度最差下限分析

由以上分析可得,總測距誤差可表示為

將(68)式所得到的p1帶入(58)式可求出f1+f2。

由(64)、(65)、(67)表達式可知 ,當(dāng) pc、pv和pd一定,(φ1(t2)- φ1(t1-τ1(t1)))+(φ2(t2-τ2(t2))-φ2(t1)))以及v1+v2決定了最終的測距誤差。顯然,有 t2-t1的測量過程可知,φ1(t2)-φ1(t1-τ1(t1))及 φ2(t2-τ2(t2))-φ2(t1)與 s1和s2兩者之間的距離范圍以及測距請求、應(yīng)答幀幀設(shè)計有關(guān)系。

設(shè)幀頭持續(xù)時間為k秒,兩衛(wèi)星之間的最大距離為rmax米,最大相對運動速度為vmax,則t2-t1取值應(yīng)可滿足

由(69)式以及圖2可知

因此,

最終,按照最壞情況,基于載波測距精度

將(75)式代入(59)式,可得到

為了使得基于載波測距精度比基于偽碼測距精度有所提高,這要求

此時

因此,當(dāng)載波頻率對之和滿足(76)、(78)兩式時,本文提出的載波測距技術(shù)無需解整周模糊度,并且精度肯定比基于偽碼測距精度有所提高。

3.6 實例分析

考慮工程易實現(xiàn)性,取pc=1 ns,pd=1 Hz,N=100,pv=0.2 m/s,f1-f2=1MHz,k=1 ms是合理的,再設(shè)衛(wèi)星之間最大相對運動速度 vmax=10 m/s,分別取最大距離rmax=10 km,100 km,150km,500 km,2500 km,取電磁波傳播速度u=3×108m/s,而根據(jù)偽碼測距,測距精度 p0優(yōu)于10 cm,就取p0=10 cm,則可得到對應(yīng)可取頻率對之和和所能達到的精度如下表所示。

表1 載波頻率選擇和測距精度Table1 Frequencies and measurement accuracy

以上分析是在最壞情況下分析所得到的結(jié)果,實際測距精度將會優(yōu)于表中所示精度值,而且(67)式的舍入誤差還可進行補償,比如設(shè)v1=v2=10 m/s,根據(jù)載波測得的距離為2500 km,則根據(jù)(67)式計算得到p1,4=8.3 cm,于是經(jīng)過校正之后,測距精度p1有原來的9.52 cm降到1.22 cm。

而對相對靜止衛(wèi)星,此時

顯然,此時所選擇的載波頻率對和測距所能達到的精度和距離無關(guān),取p0=10 cm,pc=1 ns以及N=100,f1-f 2=1 MHz,則可得到

4 結(jié) 論

經(jīng)過嚴(yán)密的理論分析、數(shù)學(xué)推導(dǎo)、仿真實驗以及現(xiàn)有的工程實踐證明,本文提出的偽碼輔助載波星間自主測距技術(shù):

(1)在衛(wèi)星相對靜止情況下,測距3σ精度優(yōu)于4 mm,并且與衛(wèi)星之間的距離無關(guān)。

(2)在最大相對運動速度小于10m/s的弱相對運動情況下,衛(wèi)星之間距離不大于150 km時,測距3σ精度為mm級。

(3)弱相對運動情況下,測距精度隨著距離的增大而降低,在相距2500 km時,3σ精度優(yōu)于9.52 cm。如果對(67)式的舍入誤差進行補償,精度將遠遠優(yōu)于9.52 cm。

[1] Kim J,Tapley BD.Simulation of dual one-way ranging measurements[J].Journal of Spacecraft and Rockets,2003,40(3):419-425.

[2] 申健,佘世剛,王凱,等.重力衛(wèi)星星間高精度測距技術(shù)研究[J].空間科學(xué)學(xué)報,2007,27(4):342-346.[SHEN Jian,SHE Shi-gang,WANG Kai,et al.Study on inter-satellite high ac-curacy ranging technology for gravity satrllite[J].Journal of Space Science,2007,27(4):342-346.]

[3] Kapalan ED,Hegarty C J,et al.Understanding GPS:printciplesand applications[M].Second Edition,London:Artech House,2006.

[4] Mistra P,Enge P,et al.Global positioning system-signals,measurements and performance[M].Second Edition,USA:Ganga-Jamuma Press,2006.