極小子群半正規(guī)的有限群

高建玲

(大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，山西大同 037009)

極小子群半正規(guī)的有限群

高建玲

(大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，山西大同 037009)

本文分析了極小子群半正規(guī)的有限群，通過對有限群G的階的素因子分情況討論，應(yīng)用極小反例法與內(nèi)p-冪零群的結(jié)構(gòu)相結(jié)合，給出了有限群是p-冪零的幾個條件。

半正規(guī)子群；p-冪零群；p階子群

蘇向盈[1]在1988年引入了半正規(guī)的概念，得到了有限群超可解性的若干結(jié)果.王品超[2]在蘇向盈的基礎(chǔ)上又得到了一系列新的結(jié)果.王品超，楊兆興[3]利用子群的半正規(guī)性，得到了有限群成為可解群與超可解群的條件及超可解又內(nèi)冪零群的結(jié)構(gòu)，并推廣了Ito定理.曾凡輝，李世榮[4]利用某些半正規(guī)或c-正規(guī)子群刻畫有限群結(jié)構(gòu)，得到有限群超可解的若干充分條件.

近年來，借助極小子群性質(zhì)來研究有限群結(jié)構(gòu)的也有大量結(jié)果.例如任永才[5]利用每個素數(shù)階子群和4階循環(huán)子群在G中擬正規(guī)來研究有限群，討論了極大子群是PQN-群的有限群的結(jié)構(gòu)，并確定了2-極大子群是PQN-群的有限非Abel單群.薛瑞，王品超[6]利用極小子群的弱c-正規(guī)性來研究群的結(jié)構(gòu)，得到了有限群超可解的一些充分條件.王麗芳[7]借助素數(shù)階子群和4階循環(huán)子群的s-半置換性得到了冪零群的若干充分條件.

1 預(yù)備知識

定義1 群G的子群A稱為在G中半正規(guī)，若存在子群B，滿足G=AB，且對任一B1

性質(zhì)2[1]若子群A在G中半正規(guī)，則對?x∈G，Ax在G中半正規(guī)且SG(Ax)=SG(A).若B∈SG(A)，則對?y∈G，By∈SG(A).

引理1[8]若p是最小素因子，P∈Sylp(G)，且P循環(huán)，則G有正規(guī)p-補.

2 主要結(jié)果

定理1 若G的每個2階與4階循環(huán)子群在G中半正規(guī)，則G是2-冪零群.

可以應(yīng)用痕跡檢驗方法檢驗油漆附著物，在發(fā)生多車碰撞交通事故的情況下，可以對同一部位印壓、刮擦痕上的油漆附著物進行檢驗，從而明確碰撞順序。具體而言，交通事故往往發(fā)生于瞬間，車輛相互作用力較大，車表面在外力的相互作用下容易出現(xiàn)破損、變形等情況。車輛表面往往會具有裝飾、保護功能的漆膜，因外力作用可能發(fā)生脫落、破損等狀況，遺落在其它相關(guān)車輛表面。基于此，當發(fā)生多車碰撞的事故時，以著力點為中心，進行痕跡檢驗，對油漆附著情況進行分析，即最上層所附著的油漆，為車輛最后碰撞所留，依次展開分析，有助于交通事故處理人員判斷車輛碰撞順序。

證明 取G是極小反例.

任取H

可見，極小反例不存在，所以G是2-冪零群.

定理2 設(shè)P∈Syl2(G)，若P是交換群，且P的所有2階子群在G中半正規(guī)，則G是2-冪零群.

證明 取G是極小反例.

由性質(zhì)1(1)知，定理2的條件是子群遺傳的，故G的所有真子群是2-冪零群，從而G是內(nèi)2-冪零群.由文獻[10]Ⅷ的定理3.4可知：

(ⅱ)如果P為非交換群，則Z(P)=Φ(P)=P′；如果P為交換群，則P為初等交換群.

由題設(shè)P是交換群，所以P是初等交換群，從而exp(P)=2.任取P的任一非單位元x，則o(x)=2.由題設(shè)存在B≤G，使得G=〈x〉B，且對任一B1

可見，極小反例不存在，所以G是2-冪零群.

證明 取G是極小反例.

由性質(zhì)1(1)知，定理3的條件是子群遺傳的，故G的每個真子群為p-冪零群，從而G為內(nèi)p-冪零群，由文獻[10]Ⅷ的定理3.4可知

(ⅰ)G=GpGq，其中Gp和Gq分別為G的p-Sylow子群和q-Sylow子群，Gq循環(huán)；

(ⅱ)當p=2時，exp(Gp)≤4；當p>2時，exp(Gp)=p.

可見，極小反例不存在，所以G是p-冪零群.

推論1 設(shè)p是最小素因子且p>2.若G的所有p階子群在G中半正規(guī)，則G是p-冪零群.

證明 任取x∈G,x≠1，且xp=1.以下分兩種情形討論：

(ⅰ)若〈x〉=Gp，由引理2可知G為p-冪零群；

(ⅱ)若〈x〉

可見，G為p-冪零群.

[1]蘇向盈.有限群的半正規(guī)子群[J].數(shù)學(xué)雜志,1988(1):5-9.

[2]王品超.超可解群的若干充分條件[J].數(shù)學(xué)學(xué)報,1990(4):480-485.

[3]王品超,楊兆興.有限群的某些定理[J].數(shù)學(xué)進展,1995(6):547-549.

[4]曾凡輝,李世榮.半正規(guī)、C-正規(guī)對群超可解性的影響[J].廣西科學(xué),2003(3):161-164,168.

[5]任永才.二次極大子群中極小子群和4階循環(huán)子群擬正規(guī)的有限單群[J].數(shù)學(xué)學(xué)報,1990(6):798-803.

[6]薛瑞,王品超.有限群超可解的若干充分條件[J].揚州大學(xué)學(xué)報,2005(4):9-11,19.

[7]王麗芳.s-半置換子群對群的冪零性的影響[J].山西師范大學(xué)學(xué)報,2006(4):6-9.

[8]徐明曜.有限群導(dǎo)引(上)[M].北京:科學(xué)出版社,1999.

[9]韋華全.子群特性與有限群結(jié)構(gòu)[D].廣州:中山大學(xué),2006.

[10]徐明曜,黃建華,李慧陵,等.有限群導(dǎo)引(下)[M].北京:科學(xué)出版社,2001.

FiniteGroupsWithSemi-normalMinimalSubgroups

GAO Jian-ling

(School of Mathematics and Computer Sciences, Datong University, Datong Shanxi 037009, China)

This paper analyses finite groups whose minimal subgroups are semi-normal. By discussing the prime factors of the order of finite groups and combining the minimal counter-example with the structure of innerp-nilpotent groups, we give some conditions that finite groups arep-nilpotent groups.

semi-normal subgroups;p-nilpotent groups; subgroups of orderp

O152.1

A

2095-7602(2017)10-0004-03

2017-03-31

高建玲(1981- )，女，講師，碩士，從事群論研究。