基于正則神經網絡模型的時滯混沌系統預測控制

李冬梅,陳軍霞

(河北科技大學經濟管理學院,河北石家莊 050018)

基于正則神經網絡模型的時滯混沌系統預測控制

李冬梅,陳軍霞

(河北科技大學經濟管理學院,河北石家莊 050018)

研究模型未知、不穩定的不動點位置及其局部性態未知情形下的時滯混沌系統的控制問題。提出了一種神經網絡預測控制方法,將模型未知時的時滯混沌運動控制到不穩定的不動點處。分析了控制系統(包括觀測器、正則神經網絡預測器和在線訓練的線性神經網絡預測控制器)的穩定性,與現有同類方法比較,本方法收斂速度快,算法簡便。仿真實驗表明了本方法的有效性。

時滯混沌系統;混沌系統控制;神經網絡預測控制;正則神經網絡

混沌是自然界與人類社會普遍存在的運動形態,近年來,混沌系統的控制研究得到人們越來越多的關注[1-3]。OGY法通過小參數擾動將混沌運動穩定在嵌入于混沌吸引子中的不穩定周期軌道(UPO)上,針對OGY法,人們進行了多種改進并應用于各種不同的混沌系統。由于OGY法需要已知UPO的位置及其局部線性性態,因而必須事先確定UPO的位置及其局部性態。當混沌系統的數學模型未知時,則必須估計UPO的位置及其局部性態,常導致控制效果不夠理想。

研究表明,即使是結構簡單的非線性系統也可能產生復雜的混沌行為。將時滯項引入一階系統便可以引起復雜的混沌運動,其原因是時滯項增加了系統的復雜性并使系統變成了無窮維。目前已發現許多系統包含時滯項。與大量的研究文章關注無時滯混沌系統相比,只有極少的研究涉及到時滯混沌系統的控制,其中BABLOYAN TS和CEL KA應用Pyragas法對混沌系統進行了研究[4-5],TIAN等提出了一種參考模型自適應控制方法來控制連續型時滯混沌系統[6],文獻[7]研究了一類時滯混沌系統的時滯依賴最優保性能控制問題,文獻[8]研究了一類時滯混沌系統的反饋控制同步問題,文獻[9]提出了一種神經網絡控制策略,用于將模型未知的時滯混沌系統控制到不穩定的不動點(UFP)處,但該方法需要很長的控制時間,神經網絡控制器的訓練迭代次數多。

與常規混沌系統相比,由于時滯混沌系統的復雜性,使得對時滯混沌系統的控制難度更大,所需控制時間更長。為了更好更快地控制時滯混沌系統,有必要應用預測控制方法,并且采用預測性能更強的預測模型。預測控制方法包括模型預測、滾動優化和誤差反饋校正等環節,既具有預測、優化功能,又利用了實時反饋信息,因此,它對被控系統有較強的控制能力。筆者將預測控制的思想引入時滯混沌系統的控制中,提出了一種基于預測控制的神經網絡控制方法,將模型未知時的混沌運動控制到不穩定的不動點(UFP)處。所提出的控制系統包括觀測器、正則神經網絡預測器和在線訓練的線性神經網絡預測控制器(LNPC)。本控制系統不需要UFP的位置及其局部性態等知識,因而能夠有效地解決模型未知、不動點位置及其局部性態未知情形下的時滯混沌系統的控制問題。與其他現有同類方法比較,本方法有更快速的響應性能,需要較短的控制時間就能實現時滯混沌系統的穩定,神經網絡控制器的訓練迭代次數少,控制系統的穩定性和神經網絡預測控制器的收斂性能夠得到保證。

1 問題的描述

考慮如下時滯混沌系統:

加入控制項后,被控時滯混沌系統為

其中:x(n)∈R是n時刻的狀態變量,假定它們是可觀的;u(n)∈R是n時刻的控制信號;非線性映射f:R→R是未知的;μ是未知參數;時滯項τ>0也是未知的,但其上限v是已知的(τ≤v)。無控制信號時的系統(1)表現出混沌行為,系統(1)的不穩定不動點xf滿足:xf=f(xf)+μxf。

本文討論只有一個不動點xf被嵌入到混沌吸引子中的情形,目標是使混沌運動被穩定在時滯混沌系統的不穩定不動點處。

2 控制系統

2.1 控制方法

2.1.1 觀測器

觀測器的工作情形如下:

1)利用時滯項對系統狀態進行重構,T

2)估計重構狀態之間的距離。

3)當此距離小于一個小閾值ε,即

時觀測器起作用,LNPC傳遞一個控制信號到混沌系統,然后對LNPC進行訓練。當式(5)不滿足時,控制信號為零,LNPC不進行訓練。

當ε是一個小正數時,若式(5)成立,則表明混沌軌道落入了xf的小鄰域內,觀測器限定了控制器的工作,只有當重構軌道Xn落入Xf=(xfxf…xf)T的小鄰域內,控制器才傳遞一個控制信號到混沌系統,然后按學習規則對控制器進行訓練。

2.1.2 線性神經網絡預測控制器(LNPC)的輸出

經過重構之后,混沌系統(1)變為

其中非線性映射F:Rv+1→Rv+1是光滑函數。式(6)實際上是一個方程組,而其中的第1個方程:

與式(1)是等價的。加入控制項后,被控時滯混沌系統為

其中F1是F的第1行。

令x(nk)為訓練時刻k時滿足條件(5)的混沌軌道(k≤nk),其中nk為訓練時刻k時混沌系統的迭代次數,LNPC的輸出為

其中k為LNPC的訓練次數(即觀測器起作用的次數),wj(k)是輸入層第j個神經元到輸出層神經元的連接權值,θ(k)為輸出層神經元的偏置項,它們的值按δ規則更新。

其中:η是學習率,E(k)是誤差函數,經上述公式迭代來更新權值可以降低誤差E(k)。

2.1.3 正則神經網絡預測器

在神經網絡的研究中,一個重要的問題是神經網絡的泛化性能,即對于其訓練集之外的樣本是否能作出正確的反應。對于大多數的學習問題,能夠獲取的學習樣本畢竟是有限的,而且還可能包括一些模糊的、甚至是帶有一定誤導性信息的樣本。如果神經網絡只是記憶訓練集中的樣本,那么,對于新的樣本,其反應可能是錯誤的。導致前向網絡泛化性能差的重要原因是過擬合,一種有效地限制網絡過擬合的方法是正則化方法,即在目標函數中加入正則項。正則神經網絡極大地提高了網絡的泛化能力,因而也改善了神經網絡模型的預測性能,筆者在對未知的被控混沌系統進行辨識、預測時,采用了正則神經網絡。

事先用神經網絡對未加控制項的混沌系統進行辨識,然后在控制系統工作時在線訓練這個神經網絡辨識器。設用神經網絡(此處用正則神經網絡)辨識出的對應系統(7)的模型為G,則系統的模型輸出為

nk+2時刻的模型輸出為

這里nk+2時刻的模型輸出的值是在nk時刻預測出的,u(nk+1)可仍取u(nk)。

考慮到模型有誤差,引入偏差項x(nk+1)-^x(nk+1),得系統預測輸出^xp(nk+2):

2.1.4 線性神經網絡預測控制器的目標函數

控制器的目標函數(亦即訓練控制器的誤差函數)為E(k)。 ΓC,ΓU為權系數。其中:

2.2 步驟

控制系統的工作步驟如下:

1)混沌系統按式(1)迭代1步;

2)如果重構軌道Xn和Xn-1滿足式(5)條件,則轉入步驟3),否則轉入步驟7);

3)按式(9)送1個控制信號U(nk),混沌系統按式(2)再迭代1次;

4)按式(12)和式(13)求nk+1,nk+2時刻的預測值^x(nk+1),^x(nk+2);

5)按式(10)、式(11)和式(17)在線訓練1步控制器;

6)訓練1步辨識器(輸入為Xnk,期望輸出為x(nk+1)-u(nk)),n←nk+1,回到步驟2);

7)混沌系統按式(1)迭代1步;

8)訓練1步辨識器(輸入為Xn,期望輸出為x(n+1)),令n←n+1,回到步驟2);

上述步驟重復進行,混沌軌道將被穩定在期望的UFP上。

3 穩定性分析

對于式(6),可以加上1個控制項,變為

可以看出,式(18)的第1個方程就是本文討論的情況。通過重構系統狀態,時滯混沌系統可以轉化為非時滯混沌系統,因此,可以得到控制系統的穩定性條件為

其中λi(D(a))為D(a)的第i個特征值。

可以通過調節a的取值,保證|λi(D(a))|<1,從而能夠保證控制系統的穩定性。

4 仿真實驗

用如下時滯混沌系統進行仿真實驗來檢驗筆者提出的控制方法。其中p=3.5,μ=0.08,τ=1,并假定已知v=3。不加控制項時,嵌入在混沌吸引子中的不動點為xf= 0.737 1。通過調節a的取值,保證控制系統的穩定性。由H和J的定義知,J≈H,將H值代入到式(20)中,求得滿足穩定性條件的a值范圍,a∈[0.000 1,11.35],說明對于較大范圍的a值,控制系統都能保證其穩定性。取控制系統的參數為a=6.5(ΓC= 1,ΓU=6.5),η=0.01,觀測器閾值為ε=0.32。LNPC的初始權值Wij(0)和θi(0)取為[-0.01, 0.01]間的均勻分布隨機數。圖1示出了仿真實例的控制結果,可以看出對時滯混沌系統的控制取得了很好的效果,而且需要的控制時間較短,迭代和訓練的次數較少。當迭代次數n= 15 000,訓練次數k=3 816時,混沌系統被穩定在不動點處,而采用現有方法(文獻[9]中的方法),需要的迭代次數多達66 000次。

這里,迭代次數n事實上即為混沌系統的采樣次數,n值越小,則用于穩定時滯混沌系統所需的時間越短。仿真實驗表明,筆者提出的控制系統能夠比現有同類方法更快地將混沌運動穩定到系統的不穩定不動點處(按本文所作的仿真實驗來看,本文的方法比現有方法快3.4倍)。

圖1 時滯混沌系統的控制結果Fig.1 Control result of the chaotic system

5 結 語

提出了一種基于正則神經網絡模型的預測控制方法,將模型未知時的時滯混沌系統穩定到它的一個不穩定不動點(UFP)處。此控制系統不需要UFP的位置及其局部性態等知識。與其他同類方法比較,本方法需要的控制時間較短,訓練迭代次數較少,而且算法簡便。一般情況下,通過調節a值能保證控制系統的穩定性。理論分析和仿真實驗都表明,本文提出的控制系統能有效地解決模型未知、不動點位置及其局部性態未知情形下的時滯混沌系統的控制問題。

[1] 王 森,蔡 理,吳 剛.量子細胞神經網絡超混沌系統的追蹤控制與同步[J].控制與決策(Control and Decision),2008,23(2):204-207.

[2] 趙 琰,張化光.一類參數不確定性混沌系統的T-S模糊控制[J].系統仿真學報(Journal of System Simulation),2008,20(12):3 134-3 137.

[3] 馬國進,齊冬蓮.基于狀態觀測器的混沌動態系統跟蹤控制[J].電路與系統學報(Journal of Circuits and Systems),2009,14(2):27-31.

[4] BABLOYANTSA,LOURENCO C,SEPULCHREJ A.Controlof chaos in delay differential equations,in a network of oscillatorsand in model cortex[J].Physica D,1995,86:274-283.

[5] CELKA P.Delay differential equations versus 1D-map:Application to chaos control[J].Physica D,1997,104:127-147.

[6] TIAN Yu-chu,GAO Fu-rong.Adaptive control of chaotic continuous-time systems with delay[J].Physica D,1998,117:1-12.

[7] 羅曉琴,張文安,俞 立.時滯混沌系統的時滯依賴最優保性能控制[J].浙江工業大學學報(Journal of Zhejiang University of Technology),2008,36(1):52-56.

[8] 謝英慧,張化光,王福山.一類參數不確定時滯混沌系統的反饋控制同步[J].東北大學學報(自然科學版)(Journal of Northeastern University(Natural Science)),2008,29(5):613-616.

[9] KON ISH I K,KOKAM E H.Learning control of time-delay chaotic systems and its applications[J].Int J Bifurcation and Chaos,1998, 8(12):2 457-2 465.

Predictive control of time-delay chaotic system s based on regularized neural network model

L IDong-mei,CHEN Jun-xia
(College of Economical and Management,Hebei University of Science and Technology,Shijiazhuang Hebei 050018,China)

The control of the time-delay chaotic system is studied w hen the system model,the location of the unstable fixed point and the local dynamics at the point are unknow n.A neural p redictive control method is p roposed to control the chao tic motion in an unknow n time-delay chaotic system onto the unstable fixed point.The p roposed control system includes a watcher,a regularized neural p redicto r and an on-line trained linear neural p redictive controller.We analyze the stability of the control system.The p roposed algo rithm is simple and its convergence speed is higher than that of existing similar algorithm.The simulations demonstrate the effectiveness of the controlmethod.

time-delay chaotic systems;control of chaotic system s;neural p redictive control;regularized neural netwo rk

TP13

A

1008-1542(2010)05-0442-05

2010-03-03;

2010-05-28;責任編輯:張 軍

李冬梅(1963-),女,河北香河人,教授,博士,主要從事系統工程理論與應用、信息管理方面的研究。