賭博中的數(shù)學(xué)

人類用錢幣賭博的歷史非常久遠(yuǎn)。錢幣作賭具的好處是結(jié)果很簡單明顯，誰都能很容易地參與，也很容易判斷自己的輸贏——我們都知道硬幣拋到桌面上，停下后不是正面向上就是反面向上。對于兩個人參與的賭博游戲來說，這是很公平的。實際上，拋硬幣這種賭博游戲并不受賭徒歡迎，因為它太簡單，沒有技術(shù)含量，不適合斗智斗勇。古代的那些資深賭徒們啃完動物蹄子后發(fā)現(xiàn)有塊骨頭很規(guī)整，它有6個正方形的面，只要每個面都做上不同的標(biāo)記，拋擲后可以得到6種不同的結(jié)果，比拋硬幣的結(jié)果復(fù)雜，這就是最早的骰子。他們在骰子的6個表面上刻上1到6個圓點以區(qū)分不同的面，現(xiàn)在他們可以吸引更多的人玩新游戲了。比如，每個人都選擇1到6點中任意一個自己喜歡的點數(shù)，拋擲骰子以后，如果有人選中的點數(shù)朝上，那么他就贏得這一次。玩的時間長了，人們自然看出來6個點數(shù)中的每一個朝上的可能性都一樣，這個游戲也是公平的。

最運氣的數(shù)字

不少人在玩這件事情上是很有創(chuàng)造性的，玩骰子還能玩出什么花樣呢?這一次有人設(shè)計了一種玩骰子的方法開始考驗賭徒們的智力了。這個人設(shè)局玩賭，參加的每個人都可以在2到12這11個點數(shù)中押一個，莊家同時拋擲兩個骰子，押中兩枚骰子朝上的點數(shù)和的人贏得這一局，這個玩法的選擇更多了，賭徒們躍躍欲試，心里盤算怎么樣能贏得多輸?shù)蒙伲敲?到12中每個數(shù)字出現(xiàn)的可能性還一樣嗎?賭徒們發(fā)現(xiàn)這個游戲不那么簡單，這11個數(shù)字出現(xiàn)的可能性好像并不相同，也就是說這個游戲除了考驗人的運氣以外還考驗人的智力。那么哪個數(shù)字出現(xiàn)的可能性最高呢?我們替賭徒們盤算一下，很明顯，兩個骰子被擲后，同時一點向上和同時六點向上一樣不容易出現(xiàn)，其他組合就容易出現(xiàn)一些，比如一個三點，另一個四點。有些賭徒好像有些心得，每次都押七點，結(jié)果居然贏多輸少。他自己也很好奇，為什么七點出現(xiàn)的可能性大呢?我們一起看看這個等式：

7=1+6=2+5=3+4=4+3=5+2=6+1

這不是告訴你加法交換律，我們把7拆成兩個6以內(nèi)的正整數(shù)之和，并且區(qū)分兩個加數(shù)的次序，這和兩枚骰子有什么關(guān)系呢?如果第一枚骰子得到前面這個加數(shù)的點數(shù)，第二枚骰子得到后一個加數(shù)的點數(shù)，是不是有6種可能出現(xiàn)七點?用同樣的方法分析2到12中的其他數(shù)，它們都得不到這么多的加法組合。

事實上賭博游戲有史以來一直花樣翻新，有些玩法聽起來很不容易掌握，但是總有一些賭徒玩得得心應(yīng)手。現(xiàn)在咱們來設(shè)計一種撲克牌游戲，參加的人數(shù)十人以內(nèi)，每人發(fā)5張牌，然后比牌的大小定輸贏，問題是：咱們應(yīng)該規(guī)定什么樣的五張牌最大?第二大?……，一直到最小。有困難吧?其實這種游戲在沒有數(shù)學(xué)指導(dǎo)的情況下賭徒們已經(jīng)玩了很長時間了，他們規(guī)定的是同花順最大，下來有4個相同點的一手牌，再下來是3個一樣點加另兩個一樣點的……，后來數(shù)學(xué)家們計算的結(jié)果表明一手牌的大小正是按照每手牌出現(xiàn)的可能性由小排到大。這個例子說明賭徒們(代表普通人)有良好的數(shù)字直覺。

賭金分配問題

也許賭徒們并不羨慕數(shù)學(xué)家這種職業(yè)，但是詭計多端的賭徒也有搞不清楚的問題。兩個貴族酷愛賭博——就叫他們甲和乙好了，他們兩個都拿出一樣多的金幣，約定首先贏3局的人拿走所有的錢。甲贏兩局，乙贏了1局后，賭局被急事打斷，我們可以想成賭場失火什么的，反正是賭博絕不可能進(jìn)行下去了，那么兩人怎樣分配那一大把金幣呢?乙認(rèn)為是應(yīng)該按2：1分配，因為甲贏了兩局，他自己也已經(jīng)贏了1局。甲不同意這種分配比例，因為已經(jīng)過去的兩局里他已經(jīng)贏得了2：1的賭金，如果再進(jìn)行一局他還和乙一樣有機(jī)會贏，所以他除了得賭金的三分之二以外還應(yīng)該得到剩下那三分之一的一半，也就是賭金應(yīng)該按5：1分配，乙豈能眼睜睜地看著自己的錢被拿走那么多，肯定是不同意甲的方案。

這個問題看起來也不是很難，但是從有人提出到徹底解決也歷時100多年。到了1657年，法國的帕斯卡從他的好賭的朋友那里聽到了這個問題，就開始和費馬通信討論這種問題。帕斯卡和費馬用各自不同的方法解決了這個問題。費馬是這樣解決的，首先肯定了賭徒甲的想法，賭金的分配不能像乙那樣只考慮已經(jīng)完成的賭局，還應(yīng)該考慮剩下的賭局。考慮到乙必須連贏兩局才能反敗為勝，我們假設(shè)賭局還要進(jìn)行兩局，我們用“甲”表示甲贏，用“乙”表示乙贏，兩局的所有可能的結(jié)果是：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙。從中我們知道在甲領(lǐng)先一局的情況下，甲拿走所有賭金的可能性是乙拿走所有賭金的可能性的3倍。也就是說賭金應(yīng)該按4：1分配。然后，這兩位數(shù)學(xué)家又討論了各種不同情況的“賭金分配問題”，找到了解決這種問題的統(tǒng)一解法，并提出了解決問題的基本思想，就是要把所有發(fā)生的可能性一起考慮。

賭場賺錢的奧秘

還是賭徒甲和賭徒乙，這次他們換了玩法。甲拿出自己口袋里的10個硬幣，乙只有9個，他們拋硬幣，約定正面向上錢歸甲，反面向上錢歸乙。他們想知道他們倆任意一個輸光的可能性是多大，這個問題看起來簡單，其實計算很麻煩。從17世紀(jì)提出這個問題以來，到20世紀(jì)數(shù)學(xué)家的計算告訴我們這個賭博游戲首先一定是以一個賭徒輸光為結(jié)局。另外，計算結(jié)果表明賭本多的人最后贏光另外一個人錢的可能性更大。再假如賭徒A和賭徒B各有賭金若干，但是玩的游戲不公平，A對B的贏率是3：2，那么結(jié)果是什么呢?數(shù)學(xué)家經(jīng)過計算得知，這時候贏率大的人最后贏得兩人所有的錢的可能性更大。這兩個結(jié)論告訴我們經(jīng)營賭場總能賺錢的秘密，賭場起先可以多準(zhǔn)備些賭金吸引賭徒，而且為了賭場贏得更快速一點，賭場還可以設(shè)計對它盈利有益的不公平游戲。這次數(shù)學(xué)家告訴我們的道理和老人們勸誡少年的“醒世恒言”一樣——十賭九騙。

賭金分配問題的解決是數(shù)學(xué)的一個分支——概率論誕生的標(biāo)志，帕斯卡和費馬也成為概率論的創(chuàng)始人。我們把那些結(jié)果不能預(yù)先確定的事件叫隨機(jī)事件，隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小我們用一個數(shù)字(通常是一個分?jǐn)?shù))來衡量，這個數(shù)字叫作概率，而概率論就是研究隨機(jī)事件的規(guī)律的一門數(shù)學(xué)學(xué)科。兩位創(chuàng)始人提出的“等可能事件”是思考和解決以上我們說的這些隨機(jī)事件的一把金鑰匙。