油畫中的數學題

俄國著名畫家格丹諾夫·別爾斯基曾經畫過一幅名叫“難題”的油畫，畫面上的主人公是一位戴眼鏡的小學教師，站在一塊黑板邊，黑板上面寫著10²+11²+12²+13²+14²+/365=?這引起了人們的好奇和興趣，而正因為畫中人物和算題使得此畫名氣大增。

畫中的教師名叫拉欽斯基，他原是一名待遇優厚的大學教授，卻志愿去農村當默默無聞的小學教師，給窮苦兒童做啟蒙工作。他的品德高尚，學識淵博，贏得了人們的尊重。畫中出現的算題也很有意思，奇特之處在于:10²+11²+12²=13²+14²=365，只要揭示了這個特點，這個所謂的難題完全可以口答。同時它揭示了某些連續自然數平方和之間的關系，這引起美國科普大師加德納的深入思索，他開始琢磨如何用一串連續自然數的平方和制造等式，其中有沒有規律?

經過一番思索以后，他得出了答案。原來上面的等式不過是無數個類似等式中的第二個式子而已(它跟五個連續自然數有關)，第一個例子就是中國古書上早已證明的勾股數公式:3²+4²=5²(它跟三個連續自然數有關)。稍加觀察就會發現在此式中連續自然數的分布情況是:左邊兩個，右邊一個，在油畫中的情形是左三右二。由此猜想，如果真有第三個類似式子，那應該是左四右三了，而試驗得出的21²+22²+23²+24²=25²+26²+27²就證實了此推想的正確性。加德納對此大為驚奇，于是順此思路繼續研究，終于發現了一般規律:這些等式可以無止境地一直寫下去，樣子像個寶塔，非常好看。如果等式右邊有n項，則左邊便有n+1項，所有的數當然都得平方。最關鍵的是這一串連續自然數中心的一個，它應該是2n(n+1)。掌握了這一規律，大家都可以寫出其它類似等式。

正因為這個奇妙的規律，人們把油畫中的計算題稱為“拉欽斯基問題”，以此表達對這位甘于奉獻的學者的尊敬。但我們不能忽略加德納揭示其中數學規律的啟示:只要善于發現、善于思考，就一定會有所收獲。