“以靜制動”——解決動點問題的法寶

〔關鍵詞〕 動點問題;特殊位置;靜止;運動

〔中圖分類號〕 G633.63〔文獻標識碼〕 A

〔文章編號〕 1004—0463(2010)11(A)—0046—02

動點問題一直是近幾年中考的熱點題型，同時也是中考的難點題型.那么，怎么樣才能找到解決這類題型的突破口，做到有的放矢呢?我認為，解決這類問題的關鍵就在于尋找運動過程中的特殊位置或特殊時刻，動中求靜，以靜制動.

例1:如圖1，兩個半圓中，小圓的圓心O′在大圓O的直徑CD上運動，長為4的弦AB與直徑CD平行且與小半圓相切，那么，圖中陰影部分的面積是.

分析:本題中的動點是小圓的圓心O′，那么如何“以靜制動”呢?我們應該讓動點O′停在什么位置才能巧妙地利用題目中所給的已知條件求出陰影部分的面積呢?仔細觀察之后，我們不難得出結論:無論小圓的圓心O′在直徑CD上怎樣運動，陰影部分的面積始終保持不變，所以動點O′應該停在這個“特殊”的位置上:與大圓圓心重合.如圖2，連接O′M，BO′，就可以得到一個直角三角形MBO′，再根據勾股定理及垂徑定理便可解出答案.

解:當動點O′與圓心O重合時，設小圓與弦AB切于點M，連接MO′、BO′.∵AB切圓于點M，∴ O′M⊥AB，∴MB=. ∴ S陰影====2?仔.

例2:如圖3，在直徑為6的半圓上，有兩動點M、N，弦 AM、 BN 相交于點P ，則AP#8226;AM + BP#8226;BN =.

分析:乍看此題還真讓人覺得有些不知所措.本題有兩個動點，它們應該停在什么特殊的位置才可以柳暗花明呢?本題已知的數據只有一個:直徑AB=6，那么我們就應該盡量往與直徑有關的知識點聯想.而“直徑所對的圓周角是直角”是一個很常用的定理，所以，如圖4，我們就可以讓動點M與N運動到互相重合的位置，此時點P也與點M、N重合，這樣就可以構造出直角三角形.

解:當M、N、P三點互相重合時，∵ AB是圓O的直徑，∴∠APB=90°，∴ AP#8226;AM+BP#8226;BN=AP2+BP2=AB2=36.

例3:如圖5，正方形 ABCD 的邊長為 2 cm ，在對稱中心O處有一個釘子，動點 P、Q 同時從 A 點出發，點 P 沿 A→B→C 方向以每秒2 cm 的速度運動，到點 C 停止，點 Q 沿 A→D 方向以每秒1cm 的速度運動，到點 D 停止. P、Q 兩點用一條可伸縮的橡皮筋連接，設 x 秒后橡皮筋掃過的面積為 y cm2.

(1)當 0≤x≤1時，求y 與 x之間的函數關系式;(2)當橡皮筋剛好觸及釘子時，求 x 的值;(3) 當 1≤x≤2 時，求 y 與 x 的函數關系式.

分析:本題是動點與函數相結合的一類問題，解決此類問題我們首先要明確在變化過程中點動是否帶動了形動.在此題中我們不難發現在P、Q兩點的運動過程中，橡皮筋與正方形的邊圍成的圖形的形狀發生了變化，所以我們首先要進行分類討論:當點P從點A運動到點B，即當 0≤x≤1時，A、P、Q三點圍成的圖形始終是個三角形(如圖5)，所以可利用三角形的面積公式求出y 與 x之間的函數關系式;當點P從點B運動到點C時，橡皮筋與正方形的邊圍成的圖形的形狀從剛才的三角形先是變成了直角梯形(如圖6)，然后又變成了凹五邊形(如圖7).在這個變化的過程中，雖沒有特殊的位置，但卻有一個特殊的時刻，即P、O、Q三點共線的時刻(如圖8).此時橡皮筋剛好觸及釘子，根據經過正方形中心的直線把正方形的面積分成相等的兩部分就可以知道此時橡皮筋掃過的面積是正方形面積的一半，所以可以求出x=.那么，當1≤x≤時，橡皮筋與正方形的邊圍成的圖形是直角梯形，當≤x≤2時，橡皮筋與正方形的邊圍成的圖形是凹五邊形.

解:(1)當 0≤x≤1時， ∵AQ=xcm，AP=2xcm，且△APQ是直角三角形.∴y=AQ#8226;AP=#8226;x#8226;2x=x2.

(2)∵ AQ=xcm，BP=(2x-2)cm，AB=2cm，∴(BP+AQ)AB=#8226;22，∴ x+2x-2=2，∴ x=.

(3)當1≤x≤時 ，y=(x+2x-2)#8226;2=3x-2;當≤x≤2時 ， 連接O與AB的中點M，y=(1+2x-2)#8226;1+(1+x)#8226;1=x.

通過這道題我們又可以發現，解決動點問題除了可以在特殊的位置靜止下來，也可以在特殊的時刻靜止下來.總之，動點問題以其鮮明的特性頻頻亮相于中考試題，就是由于此類題型的動態魅力.而解決此類題型的關鍵就是要找準解這類題型的突破口，恰到好處地運用“以靜制動”.