佩雷爾曼與龐加萊猜想

二○○○年，美國克雷數學研究所(Clay Mathematics Institute， CMI)邀集了世界上的一些頂級數學家，共同擬定出七個對二十一世紀的數學發展具有重大意義的難題(千禧年大獎難題)，并為每個難題的解決設定了一百萬美元的獎金。龐加萊猜想是這七個難題之一，也是迄今為止其中唯一得到解答的問題。

龐加萊猜想在拓撲學中占有舉足輕重的地位。什么是拓撲學?簡單地說，拓撲學就是研究有形的物體在連續變換下，怎樣還能保持性質不變的學問。比如，把面團揉成一個圓球(其表面叫做球面)，或壓扁成一個燒餅，或拉成一根面條，它們的幾何形狀是完全不一樣的，可它們的拓撲性質卻相同(拓撲等價)。但如果在燒餅上挖個洞，變成一個甜甜圈(其表面叫做環面)，則拓撲性質就變了。為了研究高維空間中曲面之間拓撲性質的異同，龐加萊(Henri Poincaré，1854—1912，法國數學家)在一九○四年提出了他著名的猜想，這個猜想最初是關于四維空間中的三維曲面的(我們生活在三維空間，皮球或甜甜圈的表面則是二維曲面)，后來被推廣到更高維空間中的曲面。非專業人士很難明白龐加萊猜想到底說的是什么，不過我們可以在三維空間中做一個粗略的類比，這樣也能大概了解一點它的意思:如果在球面(或任何與球面拓撲等價的曲面)上任意畫一個封閉的圈，然后讓這個圈不斷縮小，它最終一定會縮成一個點。直觀上很容易看出，不管是圓球還是燒餅，在其表面上畫一個封閉的圈，令其不斷縮小，它顯然會縮到一個點。但如果圍著甜甜圈的洞畫一個封閉的圈，由于洞的存在，這個圈是縮不到一個點的。因而我們說球面和環面具有不同的拓撲性質。

龐加萊猜想在直觀上看起來似乎一目了然，但在數學上要證明它卻難上加難。法國數學大師阿蘭·科納(Alain Connes)在提到包括龐加萊猜想在內的七大千禧年難題時說:“正是這些極為困難的難題讓數學更具價值，它們就像是數學領域里的珠穆朗瑪峰或喜馬拉雅山，到達頂峰是極難的——為此我們甚至可能付出一生的代價。但是一旦登上頂峰，看到的景色則將奇妙無比。”

從一九○四年龐加萊猜想提出后，在將近一百年的時間里，有很多頂尖的數學家在其上傾注了無數心血。直到二○○二年十一月至二○○三年七月，俄國數學家格里戈里·佩雷爾曼(Grigori Perelman)在互聯網上連續發表了三篇論文預印本，才最終給出了完整的證明。二○○六年，數學界最終確認佩雷爾曼的證明解決了龐加萊猜想。同年，第二十五屆國際數學家大會決定將菲爾茲獎(這個獎通常被認為是數學界的諾貝爾獎)授予佩雷爾曼，但佩雷爾曼拒絕接受該獎，也拒絕出席大會。單憑拒領菲爾茲獎這一點，就可以說佩雷爾曼是個大怪人。但他的怪還遠遠不止于此。自從他在互聯網上發表了那三篇論文，很多世界頂尖大學(例如普林斯頓大學、麻省理工學院、斯坦福大學等等)為他提供對常人來說極具吸引力的職位，希望他能去工作，而他或者粗魯地加以拒絕，或者根本不予理睬。二○○五年底，不知由于什么原因，他又突然辭掉了在俄國斯捷克洛夫(Steklov)數學研究所的工作。之后住在他母親位于圣彼得堡的公寓里，兩人以他母親的退休金和他在美國做博士后時積攢下的一點錢為生，過著一種與世隔絕的生活。他不但從學術界消失，而且從社會上消失了。有人曾試圖打電話給他，得到的回答竟是“佩雷爾曼已經死了”。至于那一百萬美元的千禧年大獎，佩雷爾曼也曾宣稱不會接受。

說起決定頒發千禧年大獎給佩雷爾曼，還有個小小的插曲。本來獲獎資格的規定中有一條:難題的解答必須發表在相關的學術刊物上。佩雷爾曼的三篇論文只在互聯網上發表過，而從沒刊載于任何數學期刊。更有甚者，他還拒絕審閱任何解釋、補充他的想法的論文。不過經慎重研究后，評審委員會最終還是決定佩雷爾曼有資格獲獎。千禧年大獎的頒獎大會定于二○一○年六月召開。據美聯社三月二十九日的消息，佩雷爾曼對是否接受該獎似乎有所松動，他中學時期的數學老師謝爾蓋·儒克辛(Sergei Rukshin)透露，佩雷爾曼目前尚未最后決定是否要去領獎。這一百萬美元獎金能不能給出去，謎底最終將在六月揭曉。

佩雷爾曼為什么能攻克龐加萊猜想這一難題，又為什么會在行為上如此異于常人?最近俄國女作家瑪莎·格森(Masha Gessen)專門寫了一本書《完美的嚴格》(Perfect Rigor)來探討這些問題。格森在青少年時期有著與佩雷爾曼頗為相似的生活環境，她不僅和佩雷爾曼一樣是猶太裔，并且都是從小在數學俱樂部(相當于我們的奧數訓練中心)里受訓的數學才子、才女。這無疑為她研究佩雷爾曼提供了比較有利的條件。她采訪了許多與佩雷爾曼有過接觸的人，試圖以“農村包圍城市”的辦法對他進行全面的了解。在她的書里有不少很有意思的故事。

一般來講數學家的思維方式分成兩大類:代數型與幾何型。在面對數學問題時，代數型的人往往將問題轉化成數字或方程式來進行思考，而幾何型的人則把問題轉化成圖形來進行思考。有意思的是，通過采訪佩雷爾曼的眾多同學，格森發現他似乎是個異類。與佩雷爾曼同窗長達十年的戈諾瓦洛夫(Golovanov)是典型的代數型， 他很肯定地說佩雷爾曼是幾何型的，理由是佩雷爾曼解一道幾何題所用的時間僅夠他看明白這道題說的是什么。而幾何型的蘇達科夫(Sudakov)卻一口咬定佩雷爾曼是代數型的，因為在他們共同訓練和比賽的六年多里，兩人對同一數學問題的思考過程及解決方法幾乎毫無共同之處。總之，佩雷爾曼的思維方式對很多人而言都是一個謎。面對一道道難題，他通常連紙筆都不用，整個運算全在腦子里進行，然后將答案準確無誤地寫出來，就像一臺解題機器。

佩雷爾曼從小在解數學題時就追求完美和嚴格，有時候甚至顯得有些迂。在全國數學奧林匹克選拔賽(前六名可獲得代表蘇聯參加國際數學奧林匹克大賽的資格)上，每名參賽者先拿到一道題，做完后需舉手示意，然后會被帶到另一間屋子里向兩位教授解釋他的答案，如果正確，就能拿到下一題，否則只能繼續做原來的題。佩雷爾曼在解釋了他的一道題之后，教授們表示答案正確，讓他回去做下一題，可他居然揪住教授的衣服不放，說這道題還有其他三個解，非要教授們聽他講完另外的解不可!參加過數學比賽的人都知道，多幾分鐘往往就可能決定勝負，而佩雷爾曼顯然認為完美和嚴格比勝負更重要。

在蘇聯，猶太人一直遭遇某種程度的歧視，特別是在升學與就業等方面經常受到不公平的對待。例如著名的列寧格勒大學數學力學系就規定每年只能錄取兩名猶太裔學生，甚至有的人只因名字像猶太人而被拒之門外。佩雷爾曼雖然是猶太人，但在他成長的過程中卻從未感受到這類歧視。幾位對他的數學天賦極為賞識的老師努力為他搭建了一層保護網，使他不必直接面對社會的丑惡，并能充分自由地發展其數學才能。其中最重要的一個人是謝爾蓋·儒克辛。佩雷爾曼五年級時進入儒克辛當教練的列寧格勒(現在的圣彼得堡)先鋒宮數學俱樂部。那時儒克辛也不過才十九歲，還在大學里讀書，是兼職教練。這個數學俱樂部在儒克辛領導下，在其后的半個多世紀里為蘇聯/俄國贏得了七十多枚國際數學奧林匹克獎章(其中包括四十多枚金質獎章)。作為俄國最有成就的數學競賽教練，儒克辛發現人才的“嗅覺”是極為靈敏的。佩雷爾曼剛進先鋒宮數學俱樂部的頭幾年，從比賽成績上看，并不是最拔尖的。可儒克辛幾乎在第一時間就認定他是真正的天才，前途無可限量。從佩雷爾曼一進入俱樂部，儒克辛就開始了塑造天才的工程。他不但要將佩雷爾曼培養成頂尖的數學競賽高手，而且要為其鋪設一條通往列寧格勒大學數學力學系的最保險的道路——拿下國際數學奧林匹克獎章(蘇聯規定凡獲獎者不論族裔可以免試進入蘇聯的任何一所大學)。儒克辛對佩雷爾曼的塑造遠不僅止于數學方面，還包括欣賞古典音樂、詩歌，教他英語，甚至讓他放棄練了多年的小提琴而改習聲樂。為了創造一個最佳的學習環境，儒克辛說服二三九中學(列寧格勒最著名的明星中學)的校長，讓佩雷爾曼那一屆的數學俱樂部成員集體進入該校就讀。佩雷爾曼也不負所望，一路過關斬將以滿分的成績拿下一九八二年國際數學奧林匹克金獎，順利進入列寧格勒大學數學力學系。

佩雷爾曼一路走來都有“貴人”相助。除了儒克辛，賽格勒(Zalgaller，佩雷爾曼大學時的導師)培養了他解決問題的技巧并把他引薦給了亞歷山德羅夫(Alexandrov)和博瑞古(Burago，佩雷爾曼的博士論文導師);亞歷山德羅夫一手將他送入研究生院;博瑞古則把他介紹給在國際數學界享有很高聲望的格羅莫夫(Gromov);格羅莫夫最終把他推向了世界。這些人都遵循了一條培養天才的重要原則:盡可能地保證其自由發展的空間。其中一個關鍵人物是亞歷山德羅夫，他曾任列寧格勒大學校長，是蘇聯著名的數學家和物理學家，科學院資深院士。沒有他的鼎力相助，猶太裔的佩雷爾曼是很難進入頂尖的斯捷克洛夫數學研究所讀博士研究生的。

佩雷爾曼在取得博士學位時就已經嶄露頭角，發表了一系列高水平的論文。在格羅莫夫的推薦下，他又去美國紐約大學和紐約州立大學石溪分校進行了一年多的博士后研究。這期間，他在研究亞歷山德羅夫空間方面取得了突破性的進展，從而成為數學界的一顆新星。一九九五年佩雷爾曼返回俄國。由于蘇聯解體，那時的斯捷克洛夫數學研究所已經陷于半癱瘓狀態，工資少得可憐，研究人員很少去上班，想干什么就可以干什么。佩雷爾曼卻正好得其所哉，他終于可以擺脫掉所有以前不得不面對的干擾——比賽、考試、論文、教課，從而全身心地投入到數學王國之中。從一九九五到二○○二這七年間，沒人知道也沒人過問他在干什么，直到他突然在互聯網上發表了那三篇震驚數學界的文章。由于圈內人都知道他在數學問題上從不犯錯，文章立即引起了同行們的高度重視。美國麻省理工學院和紐約州立大學石溪分校馬上邀請他到兩校各辦兩星期的講習班，專門研討那篇文章。在美國期間，許多著名大學許諾給他極為優厚的待遇，希望能把他挖過去，可他均不屑一顧。回俄國后，他依舊獨往獨來。直到二○○五年十二月的一天，他走進所長辦公室，很平靜地說:“我對這里的人并不反感，不過也沒有朋友。總之，我對數學感到失望，想去做點別的事情。我辭職了。”沒人確切知道是什么原因使他“對數學感到失望”。可能是攀上高峰后對數學感到了厭倦?抑或是對數學界中顯現出的商業氣息越來越無法接受?還是像格森推斷的那樣——他可能患有亞斯伯格癥(一種沒有智能障礙的自閉癥)?反正他與數學(實際上也與整個社會)分道揚鑣了。

我倒是覺得有一種解釋可能更說得通:在數學世界里，對就是對，錯就是錯，絕沒有什么似是而非的灰色地帶。佩雷爾曼長期埋頭于這樣一個世界里，使他形成了一種非黑即白的價值判定觀，因而容不得半點虛假——不僅對數學而且對社會。格森的書里有不少這方面的例子:僅僅因為一條腳注就和自己的恩師博瑞古(佩雷爾曼畢業后一直在他的研究室工作，并合作發表過很重要的文章)徹底鬧翻;為了研究所把一點結余的科研經費加到他的工資里而大發雷霆。……總而言之，當他的那些保護神們不再能替他遮風擋雨時，面對社會上眾多他無法接受的現實(其中很多在常人看來也許是很自然的)，他選擇了最容易的對策——逃避。

佩雷爾曼的故事也讓我想起上大學時幾個頗有天賦的同學。其一是我剛進中國科技大學七八級時同班的××，他當時是少年班出來的年齡最小的學生、全國聞名的“神童”。可大學畢業后一直不順，聽說幾年前出家當了和尚。另一位是我跳級到七七級之后一直很要好的同班同學，也是出自少年班。他一九八一年考上科學院理論物理所研究生，卻處不好與導師的關系。后來到美國一所大學讀書，可能是覺得懷才不遇，心情不好，以致患了臆病，最后連學業也無法順利完成。佩雷爾曼和我的這些同學，在現實生活中，他們的命運，大概都屬于天才的悲劇，不同之處僅在成名與否而已。

生為“神童”、天才，幸耶?不幸耶?真是難說得很。