例談有理數中的數學思想

摘 要: 數學海洋浩瀚無邊，數學問題千變萬化，但蘊含在數學題目中的思想方法卻貫徹始終并不改變，它是數學的精髓，是解決數學問題的金鑰匙。然而數學思想方法卻蘊含在數學知識的體系里，是“無形”的，那么如何使這隱藏的思想顯現出來呢?本文以初一起始章有理數為載體，探討數學思想的培養。

關鍵詞: 初一數學 數學思想 數形結合 分類討論

初一年級是小學向中學過渡的重要階段，是學生從形象思維到抽象思維重要過渡期，也是教師滲透數學思想方法的契機。然而如何向學生灌輸數學思想一直是擺在教學工作者面前的重要課題。作為一名一線教師，我覺得有以下兩方面值得注意。

首先，數學思想方法的滲透要深入鉆研教材，努力挖掘教材中可以進行數學思想方法滲透的各種因素，對于每一章節，都要考慮如何結合具體內容進行數學思想方法滲透，滲透哪些數學思想方法，怎么滲透，滲透到什么程度，應有一個總體設計，提出不同階段的具體教學要求。

然后，數學思想方法的教學必須通過具體的教學過程加以實現。因此，必須把握好教學過程中進行數學思想方法教學的契機——概念形成的過程，結論推導的過程，方法思考的過程，思路探索的過程，規律揭示的過程等。

我結合初一數學一些經典實例，由淺入深地探討了教師應該如何培養學生的數學思想。

一、數軸——滲透數形結合思想

數軸是一個十分重要的數學工具，它使數和最簡單的圖形——直線上的點建立對應關系，揭示了數與形之間的聯系，是數形結合研究數學問題的基礎。在介紹數軸概念的時候，教師可以滲透數形結合的思想。因為剛接觸數學思想方法，學生接受有一定的難度，為使學生初步確立起數形結合的思想方法，教師可以進行一些“數”與“形”的翻譯訓練。比如:①快速在數軸上找點;②數A小于數B在數軸上體現為:點A在點B的左邊;③在數軸上找與原點距離為2的數。

在學生對數軸熟練以后，可以利用數軸解決一些問題進一步滲透數形結合思想。

例1:若a>0，b<0，且|a|>|b|，試用“<”號連接a，b，-a，-b。

分析:對于用字母表示的有理數進行大小比較，借助數軸就直觀多了。

解:根據題意:將a，b，-a，-b在數軸上表示，如圖1。

圖1

因為數軸上右邊的數總比左邊的數大，所以-a

用數軸解決此類問題體現了數形結合思想的應用，可以收到準確直觀的效果。

二、絕對值——滲透分類討論的思想

有時將問題看成一個整體時無從下手，若分而治之，各個擊破，則能柳暗花明。分類討論正是這一種思想，也是一種重要的數學思想方法，為了解決問題，將問題所涉及的對象不遺漏地分成若干類問題，然后逐一解決，從而達到最終解決整個問題的目的。而絕對值的定義正好為介紹分類討論的思想提供了很好的契機。

教師可以先引導學生進行有條件的絕對值的化簡。

例2:化簡:①當a>0時，|2a|=?搖?搖?搖?搖;②當a>1時，|1-a|=?搖?搖?搖?搖。

分析:由絕對值的定義，根據條件可直接進行化簡。

解:①當a>0時，2a>0。由絕對值的定義，|2a|=2a。

②當a>1時，1-a<0，由絕對值的定義，|1-a|=a-1。

在熟悉絕對值定義后，可根據絕對值的定義進行分類討論。

例3:化簡|x-1|。

分析:由于不知道絕對值內代數式的符號，因此要進行分類討論。在例2的鋪墊下，這一點學生比較容易想到。而決定符號的關鍵就是看x與1的大小比較。

解:當x>1時，x-1>0，|x-1|=x-1，

當x=1時，x-1=0，|x-1|=0，

當x<1時，x-1<0，|x-1|=1-x。

在此基礎上可進行有一定難度的題目，提高學生綜合分析的能力。

例4:非零有理數a，b，c，d，e滿足|abcde|=-abcde。

試求:S=++++的最大值。

分析:|abcde|=-abcde，說明這五個字母中有奇數個負數;有1，-1兩種情況，可據此分類討論。

解:由題設條件知:abcde<0可分三種情況:

①四正一負;②兩正三負;③五負。

又因為對任意非零有理數a，有:

=1(a>0)-1(a<0)，

故S最大值在四正一負時取得，即S=4-1=3。

此外，本章中相反數，有理數乘方、運算符號法則，有理數的意義都用到了分類的思想。

通過以上兩個實例，學生在學習過程中將對“數形結合”和“分類討論”知識點理解更加深刻，尤為重要的是學生在學習過程中可形成數學思想，并更易將這些思想應用于以后的學習過程中。七年級是數學學習的一個關鍵時期，對于剛升入初中的學生來說，學習內容、學習方法，以及研究方法都是個轉折點，尤其是數學思想認識會產生質的飛躍。七年級有理數這章數學教材蘊含了很多的數學思想，這些數學思想在學生今后的數學學習中會不斷地被運用、拓展。因此，在數學教學中教師更需要深入挖掘教材中的數學思想，使數學思想貫穿于課堂教學，幫助學生活學活用，這樣才能達到事半功倍的效果。

參考文獻:

[1]王工一.數學教育新視野[M].浙江:浙江大學出版社，2006.

[2]丁邦平.國際科學教育導論[M].山西:山西教育出版社，2000.

[3]葉立軍.新課程教學研究[M].浙江:杭州出版社，2005.

[4]王傳增.初中數學中的數學思想教學.教學與管理，2007，(2).