關于熱力學第一定律的兩點討論

熱力學第一定律的表達式為ΔU=Q+W，其中Q表示系統從外界吸收的熱量，W表示外界對系統做的功。現在有兩個問題:1、從功能關系的角度來看，在力學中每一種具體的能量的變化，只用對應的一種力的功來量度(如重力勢能的變化用重力功量度)，為什么在熱學中內能改變有兩種方式?2、在具體問題中，如何計算那些改變系統內能的功?在下文中，我們將圍繞這兩個問題，討論功和熱量的統一性以及功計算的復雜性。

1 功和熱量在微觀上的統一性

做功和熱傳遞在宏觀上是改變內能的不同方式;在微觀上，它們具有相同的意義，功和熱量都是系統內大量分子與外界(分子)的相互作用中傳遞的能量。

我們以理想氣體的絕熱膨脹過程為例，證明在絕熱膨脹過程中，體積功等于大量與器壁碰撞的分子在碰撞過程中損失的動能的總和。如圖1所示，設靜止在水平地面的絕熱容器中密封一定質量的理想氣體A，當活塞在以速度u緩慢上升的過程中，在極短的時間dt內，活塞從位置P上升到位置P′。在此過程中，分子與容器側壁和容器底的彈性碰撞中沒有動能損失，與運動的活塞發生彈性碰撞時有動能損失。設大量分子與活塞碰撞過程中損失的動能的總和為ΔEk，活塞的面積為S，分子質量為m，分子數密度為n，把所有分子按豎直方向分速的大小分成若干組，每一組分子運動的豎直分速設為vxi，豎直分速在vxi~vxi +dvxi的分子數密度為ni，這些分子碰后速度的豎直分量為v′ix，則有

ΔEk=∑iΔEki①

其中ΔEki表示速度在vxi~vxi+dvxi的分子在碰撞中損失的動能總和。在dt時間內速度為vxi~vxi+dvxi的分子與活塞相撞的數目為niSvixdt，則有

ΔEki=12niSvixdtm(vix2-v′ix2)②

由于碰撞是完全彈性的，所以分子彈回時的豎直分速

v′ix=vix-u③

根據①②③三式，得

ΔEk=∑i12niSvixdtm(2vixu-u2)④

考慮到活塞移動速度u很小，遠小于分子運動速率vxi

所以ΔEk=∑i12niSvixdtm#8226;2vixu⑤

其中氣體的體積增量dV=Sudt

所以，ΔEk=dVm∑inivix2

=dVmn∑inivix2n⑥

其中∑inivix2n為分子速度在豎直方向分速的平方平均值，故有

∑inivix2n=vix2=13v2⑦

根據⑥⑦兩式，得

ΔEk=mnv23dV⑧

其中mnv23正是氣體壓強p的統計值，所以，ΔEk=pdV⑨

⑨式說明，在絕熱膨脹過程中，體積功等于大量分子在與活塞碰撞中損失的的分子動能的總和。由于每個分子在一次碰撞中的動能損失等于這次碰撞中活塞對分子所做的微觀功(這是活塞對分子的作用力做的功，這是一個微觀物理量，故稱之為微觀功)，所以，體積功的微觀意義是外界對大量分子所做微觀功的總和。

熱量的微觀意義，可以從熱傳導現象中得到定性的解釋，溫度不同的物體相互接觸，由于高溫物體的分子的平均動能大，而低溫物體的分子的平均動能小，在兩物體的接觸面上兩種分子在碰撞過程中，相互作用力對兩種分子做微觀功，使得高溫物體的分子的平均動能減小，低溫物體的分子的平均動能增大，從而使能量從高溫物體轉移到低溫物體。所以，從熱傳導來看，熱量的微觀意義是外界與系統的分子在碰撞中所做微觀功的總和。可見，熱量和功在微觀上具有統一性，它們都是外界與系統的分子在碰撞中通過微觀功來轉移或轉化的能量。

2 功的計算的復雜性

系統在力的作用下經歷某一過程，這些力對系統做功，有些功改變了系統的機械運動狀態，即改變了系統的機械能;有些功則改變了系統的熱力學狀態，即改變了系統的內能，而定律中的功指的是后者。所以，要準確計算某一過程中的功，就要確定那些改變內能的功。下面，我們通過兩個問題，體會做功的復雜性。

問題1 (第一屆國際奧林匹克物理競賽試題)給定兩個同樣的球，其一放在水平面上，另一個以細線懸掛，如圖2所示。供給兩球相同的熱量，問兩球溫度是否趨于相同?說明你的理由。(忽略各種熱量損失)

解析 考慮到供給兩球熱量過程中，兩球的體積膨脹，膨脹后球的大小和重心的高度將發生變化，如圖2中虛線所示。為討論方便，有關a、b兩球的物理量分別以下標1、2區分。設a球重心上升了Δh1，b球重心下降了Δh2。

a球作為力學研究對象，這一過程應滿足動能定理，有

-mgΔh1+WN+ρgVΔh1+W1=0-0①

其中重力做的負功為-mgΔh1;水平面的彈力不做功WN=0;空氣浮力做的正功為ρgVΔh1，因浮力遠小于重力，所以浮力功遠小于克服重力所做的功，可忽略不計。為使總功為零，還應有系統內力的功W1，且有W1=mgΔh1，說明內力功W1在數值上等于重力勢能的增加量，內力功W1可以理解為內部分子力的所做微觀功的宏觀表現，是量度內能減少量的功。

同時，a球作為熱學研究對象，這一過程應滿足熱力學第一定律，有

ΔU1=Q-W1-p0ΔV1②

其中W1=mgΔh1，設大氣壓強為p0，體積膨脹了ΔV1，則因體積膨脹而對外做的功為-p0ΔV1，所以ΔU1=Q-mgΔh1-p0ΔV1③

同理，對b球，應用動能定理有

mgΔh2+WT-ρgVΔh2+W2=0-0④

應用熱力學第一定律有

ΔU2=Q-W2-p0ΔV2⑤

所以ΔU2=Q+mgΔh2-p0ΔV2⑥

對同樣的球，其體積增加量、重心升高的高度及內能的增加量都隨溫度升高而增大，比較③⑥兩式，應有ΔU2>ΔU1，即用細線懸掛的小球b溫度稍高于放在水平地面上的小球a。通過這個問題，要指出的是，改變小球內能的功，除了體積功p0ΔV1、p0ΔV2外，還有系統的內力功W1、W2。

問題2 如圖3甲所示，固定的絕熱容器用隔板分成左右兩室，左室中密封一定質量的實際氣體，右室為真空，當抽去隔板后，氣體向真空做自由膨脹，試分析氣體在自由膨脹過程中的內能的變化情況。

解析 如圖3乙所示，在自由膨脹前把左室中氣體等分為左右兩部分A1、A2，圖乙所示為剛抽去隔板的瞬間，圖丙表示氣體碰到右側器壁的前一瞬間，圖丁是最終的新平衡態。

對A1部分，在從圖乙到圖丙的過程中，體積迅速膨脹并對A2做功，內能將減小;對A2部分，在A1氣體對其水平向右的力作用下，向右發生定向運動增加了機械能。所以，在從圖乙到圖丙的過程中，系統的內能轉化為機械能。在這一過程中外界既沒有對系統做功，也沒有向系統傳熱，改變系統內能的功，同樣是系統的內力功。從圖丙到圖丁的過程中，氣體分子的定向運動又轉化為熱運動，通過內力做功使機械能又重新轉化為內能，最終達到新的平衡狀態。

問題1、2的討論結果表明，定律中的功有兩類:一是系統與外界在相互作用中的體積功，體積功使系統與外界發生能量交換;二是組成系統的大量分子在相互作用中的內力功，內力功使系統自身的內能與機械能發生相互轉化。

參考文獻:

[1]李椿.熱學.北京:高等教育出版社，1997.

(欄目編輯陳 潔)