構建與解讀“單擺模型”

摘要:本文詳細闡述了“單擺”模型如何構建及其應用，其目的是有針對性地幫助學生有效解決“單擺模型”這類題目。

關鍵詞:構建;解讀;“單擺模型”

中圖分類號:G633.7 文獻標識碼:A文章編號:1003-6148(2010)9(S)-0013-3

1 構建

1.1 作用特征

細線懸掛小球在豎直平面內擺動，如果細線的質量與小球的質量相比可以忽略，球的直徑與線的長度相比也可以忽略，這樣的裝置叫“單擺”。簡而言之，“輕繩+質點”就組成了一個單擺。單擺在小角度擺動時所作的運動為簡諧運動。我們平時說的“單擺模型”是指“單擺在小角度擺動時作簡諧運動的模型”。

1.2 遵循規律

(1)如圖1所示， 擺球受到重力G與繩子拉力FT的作用

FT-Gcosθ=mv2l

Gsinθ=-kx

即重力沿切向的一個分力提供回復力。

(2)單擺模型運動的周期

T=2πlg

1.3 模型變形

(1)半徑很大的圓弧面+半徑很小的球

例1 如圖2所示，曲面AO是一段半徑為2m的光滑圓弧面，圓弧與水平面相切于O點，AO弧長為10cm，現將小球先后從曲面的頂端A和AO的中點B由靜止釋放，則到達底端O的速度分別為v1和v2，經歷的時間分別為t1和t2，那么( )

A.v1>v2，t1>t2

B.v1>v2，t1=t2

C.v1=v2，t1=t2

D.v1>v2，t1

解析 如圖3所示，圓弧面上運動小球的受力情況與單擺擺球運動時的受力情況相似，故小球在圓弧面上小角度的運動時，小球的運動是一個單擺模型。小球從A端靜止釋放和從B端靜止釋放到達O端的時間t1=t2=14T;由于A端與底端之間的高度差較大，故小球從A端到底端O的速度v1 較大，故此題選B。

(2)彈性很好的細竹片+塑料夾

例2 圖4所示為一個自制的振動系統。在泡沫上插兩根彈性很好的細竹片，并用塑料夾夾在細竹片上端制成兩個“單擺”A和B，A、B除塑料夾高低不同外，其他條件均相同。當底座沿某一方向做周期性振動時，擺A和B也跟著振動起來。下述說法正確的有( )

A.擺A的固有頻率比B的大

B.當底座做周期性振動時，擺A的振動頻率比B的大

C.當底座振動頻率由零開始從小到大變化(保持振幅不變)時，擺B開始振幅大，隨著頻率變大，擺A的振幅比B的大

D.當底座振動頻率由零開始從小到大變化(保持振幅不變)時，擺A開始振幅大，隨著頻率變大，擺B的振幅比A的大

解析 將塑料夾夾在細竹片上，當細竹片晃動時，帶動塑料夾擺動， 塑料夾的受力情況如圖5所示，重力G的分力G2提供向心力，F與重力G的分力G1的合力提供回復力，塑料夾的運動為簡諧運動。塑料夾在細竹片上夾得越高，其擺長亦越長，周期越大，頻率越小。擺A的固有頻率比B的大，當底座做周期性振動時，擺A與擺B都作受迫振動，擺A的振動頻率與擺B的相同。當底座振動頻率由零開始從小到大變化(保持振幅不變)時，擺B開始振幅大，隨著頻率變大，擺A的振幅比B的大。故選AC。

2 解讀

單擺模型的應用主要在公式T=2πlg的應用上，可以利用此公式求單擺的周期;亦根據T=2πlg變形得到g=4π2lT2，可利用此公式測重力加速度g ，具體應用如下:

2.1 擺長“l”的變形

(1)擺長發生變化

例3 如圖6所示，一單擺懸于O點，擺長為L，若在O點的豎直線上的O′點釘一個釘子，使OO′=L/2，將單擺拉至A處釋放，小球將在A、B、C間來回振動，若振動中擺線與豎直方向夾角小于10°，則此擺的周期是( )

A.2πLgB.2πL2g

C.2π(Lg+L2g)D.π(Lg+L2g)

解析 單擺在擺動過程中，擺長發生了變化，左邊的擺長為L/2， 右邊的擺長為L， 故可求得周期為π(Lg+L2g) 。

(2)擺長不確定

例4 用一個質量不均勻的擺球做測定重力加速度的實驗。第一次懸線長為L1，測得振動周期為T1;第二次改變懸線長度為L2，并且測得此時單擺的振動周期為T2，試計算重力加速度值。

解析 由于擺球的質量不均勻，故擺長的精確值不能確定，設不規則形狀的石塊的重心與繩的下端之間的距離為r，則

T1=2πL1+rg，T2=2πL2+rg

由以上兩式可得

g=4π2(L1-L2)T12-T22

2.2 加速度“g”的變形

(1)超重、失重狀態

例5 一個擺長為L的單擺掛在電梯內，電梯向上作加速度為a的勻加速運動，則單擺的周期是多少?

解析 在向上勻加速運動的電梯內

g等效=g-a，

故T=2πLg-a

在超重狀態下等效的重力加速度

g等效=g+a

在失重狀態下等效的重力加速度

g等效=g-a

(2)不同星球表面

例6 發射人造地球衛星、載人航天和太空測量是人類航天活動的三大領域。重返月球，開發月球資源，建立月球基地已成為世界航天活動的必然趨勢和競爭熱點。中國探月是我國自主對月球的探索和觀察，又叫嫦娥工程。設在“長征”火箭上搭載一單擺，擺長為l。火箭最終降落到月球的表面。已知月球的質量是地球的k倍，半徑是地球的n 倍，試求在月球上的單擺的周期。

解析 在月球表面上

g月=GM月R月2=GkM地(nR地)2=kn2g地

故在月球上單擺的周期為

T=2πln2kg

評:在不同的天體的表面，g的值亦發生相應的變化，其公式為g=GMR2

(3)復合場中

例7 如圖7所示的擺球，由于受到橫向風力的作用，偏過θ角。若繩長為L，擺球質量為m，且風力恒定，則當擺球在平衡位置附近在紙面內做小角度振動時，其周期為( )

A.2πLg

B.2πLcosθg

C.2πLsinθg

D.2πL(1-cosθ)g

解析 擺球在平衡位置的受力情況如圖8所示，擺球處于重力場與“風力”場的合場強中，其等效重力加速度等于擺球不擺動時，所受的拉力F與擺球質量的比值，即g等效=Fm=F合m=mgmcosθ=gcosθ

故正確選項為B。

2.3 周期性的應用

例8 如圖9所示，一個光滑的圓弧形槽半徑為R，圓弧所對的圓心角小于5°，AD長為s，今有一個小球m1沿AD方向以初速度v從A點開始運動，要使小球m1可以與固定在D點的小球m2相碰撞，那么小球的速度v應滿足什么條件?

解析 小球不僅擺動，小球在AD方向同時作勻速直線運動，這兩個運動具有獨立性和等時性。

根據:T=2πRg①

t=sv=nT②

由①②兩式可得:

v=s2nπgR (n=1，2，3…)

3 小結

解題的關鍵在于尋找“單擺模型”，確定擺長l 與重力加速度g ， 然后再利用公式T=2πlg來處理具體的問題。

(欄目編輯趙保鋼)