電磁感應現象中的“雙桿”問題

電磁感應現象部分的知識歷來是高考的重點。有關題目可將力學、電磁學等知識融于一體，從而很好地考查學生的理解、推理、分析綜合及應用數學知識處理物理問題的能力。導體桿在磁場中運動切割磁感線產生電磁感應現象，是歷年高考的一個熱點。筆者通過對近年高考題的研究，發現每年都有“桿+導軌”模型的高考題。因此在高二復習階段教師有必要對此類問題進行歸類總結，使學生更好地掌握、理解它的內涵。解決此類問題的基本物理公式是E=BLv，因此對導體桿運動狀態的分析便極為重要。筆者將兩根導體桿在導軌上切割磁感線的問題，從運動學的角度作一個粗淺的歸類，請讀者批評指正。

1 一桿靜止，另一桿作勻速直線運動

分析 只有一根桿切割磁感線，因此電路中只會產生一個感應電動勢。根據公式E=BLv可知電路中感應電動勢為一恒定值，若電路中電阻保持不變，則感應電流也為一恒定的值。再由公式F=BIL，可知兩桿所受的安培力為一恒定值。

例1 如圖1所示，豎直放置在勻強磁場中的固定光滑長直導軌，若自身的電阻不計，磁場方向垂直于紙面向里，磁感應強度B=0.50T。兩導體棒ab、cd的長度和導軌寬度相同，為l=0.20m，電阻均為r=0.10Ω，重量均為G=0.10N，導體棒與導軌接觸良好。現用豎直向上的推力F推ab，使它勻速上升，此時觀察到cd處于靜止狀態。有下列說法:

①ab受到的推力F大小為0.10N;②ab上升的速度為2.0m/s;③2.0s內回路中產生的電能為0.40J;④2.0s內cd上產生的電熱為0.40J。以上說法中正確的有( )

A.①④ B.②③ C.①③ D.②④

解析 cd桿靜止不動，則cd桿受力平衡。

安培力與重力平衡mg=BIl，解得:

I=mgBl=0.10.5×0.2=1A。

再根據左手定則可判斷出電流為逆時針方向。

ab桿作勻速直線運動，則ab桿受力也平衡。根據左手定則ab桿所受安培力向下，則:

F=mg+BIl=0.1+0.5×1×0.2

=0.2N;

由E=Blv=I2r，得ab桿運動的速度:

v=I2rBl=1×2×0.10.5×0.2=2m/s。

2.0s內回路中產生的電能全部轉化為內能，

則:E=Q=I22rt=12×2×0.1×2

=0.4J，

Qcd=I2rt=12×0.1×2=0.2J。

因此B選項正確。

2 一桿靜止，另一桿作勻加速直線運動

分析 只有一根桿切割磁感線，因此電路中只會產生一個感應電動勢。但因為桿作勻加速直線運動，導體桿切割磁感線的速度在不斷變化，根據公式E=BLv，可知電路中感應電動勢也在不斷變化。若電路中電阻保持不變，則感應電流、兩桿所受的安培力均是變化的，各個不同時刻具有不同的數值。

例2 如圖2所示，在方向豎直向上的磁感應強度為B的勻強磁場中，有兩條足夠長的平行金屬導軌，其電阻不計，間距為L，導軌平面與磁場方向垂直。ab、cd為兩根垂直導軌放置的、電阻都為R、質量都為m的金屬棒。棒cd用能承受最大拉力為T0的水平細線拉住，棒cd與導軌間的最大靜摩擦力為f。棒ab與導軌間的摩擦不計，在水平拉力F的作用下以加速度a由靜止開始向右作勻加速直線運動。求:

(1)細線斷以前水平拉力F隨時間t的變化規律;

(2)經多長時間細線將被拉斷。

解析 (1)在時刻t，ab棒的速度v=at，

ab棒中感應電動勢為E=BLv=BLat，

兩棒中的感應電流為I=E2R=BLat2R。

ab棒作勻加速直線運動，由牛頓第二定律得:F-BIL=ma，

解得F隨時間變化的規律為:

F=B2L2a2Rt+ma。

(2)細線拉斷時cd棒的受力滿足:

BIL=f+T0，即:B2L2a2Rt=f+T0，

解得:t=2R(f+T0)B2L2a。

3 兩桿都作勻速直線運動

分析 兩桿同時切割磁感線，在電路中會產生兩個感應電動勢，但兩桿產生的感應電動勢可能相互疊加，也可能相互抵消。若同向切割磁感線，則E=E2-E1=BLv2-BLv1(v2>v1);若反向切割磁感線，則E=E2+E1=BLv2+BLv1。在具體問題中要根據兩桿的速度方向并用右手定則才能判定。

例3 兩根相距L的平行金屬長導軌固定在同一水平面內，并處于豎直向上磁感應強度為B的勻強磁場中。導軌上面放著兩根金屬桿，構成矩形回路，每條細桿的電阻為r，回路中其余部分的電阻不計。已知兩金屬桿在平行導軌的拉力作用下沿導軌朝相反方向勻速平移，速度大小都是v，不計任何摩擦阻力。則作用于每條細桿上的拉力大小為______。

解析 兩桿均作勻速直線運動，則兩桿所受拉力與安培力平衡，F=BIL。兩桿向相反方向運動切割磁感線，則根據右手定則兩桿產生的感應電動勢相互疊加，總電動勢為:E=2BLv。

電流為:I=E2r=FBL，

即I=2BLv2r=FBL，

解得:F=B2L2vr。

4 一桿作勻速直線運動，另一桿作勻加速直線運動

分析 電路中兩桿同時切割磁感線，都會產生感應電動勢。其中一根作勻速直線運動的桿切割磁感線產生感應電動勢不變，另一根作勻加速直線運動的桿切割磁感線產生的感應電動勢是變化的，而電路中的總電動勢是兩桿疊加的結果，因此總電動勢一定是變化的。若電路的總電阻保持不變，則流過兩桿的感應電流和兩桿所受的安培力也都是變化的。

例4 如圖4所示，水平面上固定有平行導軌，磁感應強度為B的勻強磁場方向豎直向下。同種材料制做的導體棒ab、cd垂直于導軌橫放在導軌上，組成水平的矩形回路。導體棒ab、cd的長度和導軌的寬相等均為L，質量均為m，電阻均為r，與導軌間的動摩擦因數均為μ。求:(1)要使ab棒以v0的速度向右勻速直線運動，則cd棒運動的速度為多大?(2)若在(1)所述的運動過程中，cd棒在外力作用下突然轉變為作加速度為a的勻加速直線運動，但仍然要保持ab棒以v0的速度向右運動，則在ab棒上應施加一怎樣的力?

解析 (1)ab棒以v0的速度作勻速直線運動，則它所受安培力與摩擦力平衡:BLI=μmg，解得I=μmgBL。電路中的電流恒定，且方向由a指向b，所以cd棒也應該作勻速直線運動，由右手定則可得向右運動。

I=ER=Ecd-Eab2r

=BLv-BLv02r=μmgBL，

解得:v=2rμmgB2L2+v0。

因此cd棒以v=2rμmgB2L2+v0的速度向右作勻速直線運動。

(2)因為cd棒作初速度為v，加速度為a的勻加速直線運動，但ab棒仍以v0的速度向右作勻速直線運動，則電路中感應電流的關系轉變為:I=ER=Ecd-Eab2r

=BL(v+at)-BLv02r。感應電流隨時間的推移在不斷增大。

因為ab棒以v0的速度向右作勻速直線運動，受力平衡:

則:F=BLI+μmg

=BLBL(v+at)-BLv02r+μmg。

將v=2rμmgB2L2+v0代入上式得:

F=B2L2at2r+2μmg。

5 兩桿都作勻加速直線運動

分析 電路中兩桿同時切割磁感線，都會產生感應電動勢，且兩根桿切割磁感線產生的感應電動勢都在變化。電路中的總電動勢是兩桿感應電動勢疊加的結果，但總電動勢不一定是變化的，要視具體情況而定。

例5 足夠長的光滑金屬導軌EF、PQ水平放置，質量為m電阻為R的相同金屬棒ab、cd與導軌垂直且接觸良好，磁感應強度為B的勻強磁場垂直導軌平面向里，如圖5所示。

現用恒力F作用于ab棒上，使它向右運動。則( )

A.安培力對cd棒做正功使它向右加速運動

B.外力F做的功等于克服ab棒上安培力的所做的功

C.外力做的功等于回路產生的總熱量和系統的動能增量

D.回路電動勢先增后減兩棒共速時為零

解析 開始時ab棒在外力F作用下向右切割磁感線產生電磁感應，ab棒相當于電源。由右手定則可知，b端電勢較低，a端電勢較高，形成由bacdb逆時針方向的電流。電流通過ab棒和cd棒，由左手定則知，ab棒所受安培力向左，做負功，阻礙速度v1的增加;cd棒所受安培力向右，做正功，使cd棒動能增加，速度v2增大。外力除克服ab棒上安培力做功外，還要對cd棒做正功，故A對B錯。由于外力和安培力的共同作用，開始時ab棒加速度大于cd棒，兩者速度差增大，回路感應電動勢E=Bl(v1-v2)增大，感應電流增大，ab加速度減小，cd加速度增大。當兩棒加速度相等時，速度差最大，回路感應電動勢最大。此后ab棒和cd棒在外力F作用下以相同的加速度運動，速度差恒定但不可能共速，電動勢恒定但不會等于零，故D錯。根據能量守恒定律可知，整個過程外力做的功等于回路產生的總熱量和系統的總動能，C選項正確。所以正確選項為A、C。

方法歸納

學生在平時的學習中需要重視基礎知識的理解和學習能力的培養。

(1)全面掌握相關知識。由于“雙桿+導軌”模型題目涉及的知識點很多，如力學問題、電路問題、磁場問題及能量問題等，學生要順利解題就需全面理解相關知識。常用的基本規律有法拉第電磁感應定律、楞次定律、左(右)手定則、歐姆定律及力學中的運動學規律、動力學規律、動量定理、動能定理、動量守恒定律、能量轉化和守恒定律等。

(2)準確分析問題，找到解題的切入點:受力分析，運動分析，過程分析，能量分析。

(3)自主開展研究性學習。學生平時應該用研究性的思路考慮問題，可做一些不同類型、不同變化點組合的試題。并注意不斷總結，主動變換題設條件進行研究性學習，這樣在高考時碰到自己研究過的不同變化點組合的題目就不會感到陌生了。

“雙桿+導軌”模型問題的物理情境變化空間大，題目綜合性強，所以該模型問題是高考的熱點，同時也是難點。從這個意義上講重視和加強此類問題的探究是十分必要且有意義的。另外，還可起到觸類旁通的作用，讓學生具備解決“桿+導軌”等其它模型問題的能力。

(欄目編輯羅琬華)