巧思妙想

數學學科歷來是學生學習投入多和學習成績低下情況較為嚴重的學科之一。對于職業中學的部分學生尤其如此，他們往往在小學開始學數學時成績還可以，到初中時已經稍感吃力，到了高中已是不堪重負，甚至厭惡數學。造成這種現象的原因除了學生自身的智力因素以外，而其中沒有掌握恰當的學習方法是主要原因。

數學技能的形成與能力培養離不開數學解題。有效地培養數學解題的能力，除了做好審題，制訂解題方案，解答表達等工作外，解題后的反思也是一個不可缺少的重要環節。美籍匈牙利數學家波利亞說過:“數學問題的解決僅僅只是一半，更重要的是解題之后的回顧”。解題本身不是學習的目的，而只是一種訓練手段。進行解題后的小結或反思，會有益于我們總結經驗、發現規律、形成技能技巧，從而把解題真正變成一種強有力的訓練手段。

由于認知結構水平的限制，經常表現出:一些學生對知識不求甚解，熱衷于做大量題，不善于解題后對題目進行反思，普遍欠缺一個提高解題能力的重要環節，也不善于糾正和找出自己的錯誤;也有一些學生即使想反思，也不知如何反思或反思的層面很淺，缺乏解題方法、數學思維的概括，掌握知識的系統性較弱、結構性較差。由于上述現象逐步造成了學生的數學成績不好、失去學習興趣、甚至厭煩數學、最后不學數學。所以缺乏解題后的反思是形成職高生數學學習現狀的主要原因之一。為此筆者結合平時的教學實踐對解題后的反思、以及如何“巧思妙想”談一些膚淺的認識。

在經過一番艱辛，苦思冥想解出一道數學題答案后，必須認真進行如下反思:

一、解題后要“巧思”

命題的意圖是什么?考核的概念、知識和能力是什么?驗證解題結論是否正確，命題所提供的條件的應用是否完備?求解論證過程是否判斷有據，嚴密完善?本題有無其他解法一題多解?多題一解?

1.一思解題過程，查缺補漏

解數學題，有時由于審題思路不正確，概念不清，忽視條件，套用相近知識，考慮不周或計算出錯，難免產生這樣或那樣的錯誤，即學生解數學題，不能保證一次性正確和完善。所以解題后，必須對解題過程進行回顧和評價，對結論的正確性和合理性進行驗證?？墒且恍┩瑢W把完成作業當成是趕任務，解完題目萬事大吉，頭也不回，揚長而去。由此產生大量謬誤，應該引起重視，加以克制，引以為戒。如:(1)結論荒唐，成為笑柄。(2) 以特殊代替一般;(3) 臆造“定理”，判斷無據，以日常概念代替科學概念。以上常見的錯誤，不勝枚舉。通過上述反思可以明確概念、掌握知識點、熟悉考點、清晰思維、提高數學解題的正確性、合理性。

2.二思解題方法，探求一題多解和多題一解

數學知識有機聯系、縱橫交錯，解題思路靈活多樣，解題方法途徑繁多，但最終卻能殊路同歸。即使一次性解題合理正確，也未必能保證一次性解題就是最佳思路、最優、最簡捷的解法。不能解完題就此罷手，如釋重負。應該進一步反思，探求一題多解、多題一解的問題，開拓思路，溝通知識，掌握規律，權衡解法可能用到不同章節的知識，這樣以來可以復習相關知識，掌握不同解法技巧，同時每一種解法又能解很多道題，然后比較眾多解法中對這一道題哪一種最簡捷，最合理?

例1:求證:(探索一題多解)

把本題的每一種解法和結論進一步推廣，同時既可看到知識的內在聯系、巧妙轉化和靈活運用，又可梳理出推證恒等式的一般方法和思路:從左到右、從右到左、中間會師、轉化條件等，善于總結，掌握規律，探求共性，再由共性指導我們去解決碰到的這類問題，便可以不變應萬變，問題自然迎刃而解，這對提高數學解題能力尤其重要。

二、解題后要“妙想”

1.一想此題能否使重要數學方法、公式、定理的應用規律條理化

在問題解決之后，要不斷地反思:解題過程是否浪費了重要信息，能否開辟新的解題通道?解題過程多走了哪些思維思路，思維、運算能否變得更簡捷?是否拘泥于思維定勢，照搬了熟悉的解法?還有沒有方法上的創新?通過這樣不斷地質疑、不斷改進，讓解題過程更具有合理性、科學性、簡捷性。

例2:求證:正四面體和正八面體相鄰兩側所成的二面角互補。

此題有常規的解題思路:分別求出兩個多面體的二面角的值，再求和。這也是一般參考書上的解法。探索解題過程，總感覺這樣解題比較笨拙，缺少靈氣!不能反映兩個多面體的巧妙結構。事實上，問題隱含了“結構”這個重要信息，那么，能否把“結構”作為切入點去探究問題呢?

2.二想此題能否把知識進行遷移和應用，探究問題所含的系統性

解題后，要不斷地解決探究問題的知識結構和系統性。能否對問題蘊含的知識進行縱向深入地探究?能否加強知識的橫向聯系?把問題所蘊含的孤立的知識“點”，擴展到系統的知識“面”。通過不斷地拓展、聯系、加強對知識結構的理解，進而形成認知結構中知識的系統性 。對每個問題都要尋根問底，能否得到一般性的結論，有無規律性的發現?能否形成獨到的見解，有自己的小發明?點滴的發現，都能喚起學生的成就感，激發學生進一步探索問題的興趣。長期的積累，更有利于促進學生認知結構的個性特征的形成，并增加知識的存儲量。

3.三想此題能否整合知識、創新設問

要讓學生明白，問題與問題之間不是孤立的，許多表面上看似無關的問題卻有著內在聯系，解題不能就題論題，要尋找問題與問題之間本質的聯系，要質疑為什么有這樣的問題?它和哪些問題有聯系?能否受這個問題啟發?將一些重要的數學思想、數學方法進行有效的整合，創造性設問?讓學生在不斷的知識聯系和知識整合中，豐富認知結構中的內容，體驗“創造”帶來的樂趣，這對培養學生的創造思維是非常有利的。

同一類型的問題，解題方法往往有其規律性，因此當一個問題解決后，要不失時機地引導學生反思解題方法，認真總結解題規律，力圖從解決問題中找出新的普遍適用的東西，以現在解決問題的經驗幫助今后類似問題的解決，提高學生的解題效率。通過解題后反思改進解題過程、探討知識聯系、知識整合、探究規律等一系列思維活動，讓學生的思維在解題后繼續飛翔，“八方聯系，渾然一體，漫江碧透，魚翔淺底”。這是解題過程中更高一級的思維活動。為了讓學生思維繼續飛翔，提高數學解題能力，在教學中應該倡導和訓練學生進行有效的解題反思。

總之，解題后引導學生“巧思妙想”，不斷地對問題進行觀察分析、歸納類比、抽象概括，對問題中所蘊含的數學方法、數學思想進行不斷地思考并做出新的判斷，可以讓學生體會解題帶來的快樂，享受探究帶來的成就感，始終保持學生學習數學的激情。常此以往，逐步養成學生獨立思考、積極探究的習慣，并懂得如何學數學，從而有效地培養和提高學生的數學解題能力。

(作者單位:江蘇省銅山縣職業教育中心)