淺談數(shù)學(xué)概念教學(xué)

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的聯(lián)結(jié)點(diǎn)，由其反映的數(shù)學(xué)思想方法是聯(lián)系數(shù)學(xué)知識(shí)的強(qiáng)力紐帶。教學(xué)目標(biāo)的制定，教學(xué)方法的選擇，教學(xué)過程的設(shè)計(jì)直至教學(xué)效果的評(píng)價(jià)等，都圍繞著數(shù)學(xué)概念。同時(shí)它也是學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的一個(gè)不可替代的重點(diǎn)，是同化其他數(shù)學(xué)知識(shí)的出發(fā)點(diǎn)。下面是筆者的幾點(diǎn)體會(huì)。

一、直觀教學(xué)，由感性上升到理性

數(shù)學(xué)中的概念是抽象的，倘若拋開直觀材料直接講授概念，教學(xué)效果必定不會(huì)理想。不妨從一些學(xué)生比較熟悉的具體實(shí)物、實(shí)例和已有的知識(shí)出發(fā)。

例如在引入函數(shù)連續(xù)的定義時(shí)，舉一實(shí)例，這里有一條通往A、B兩地的道路，如果這條道路是暢通無阻地，我們就說通往A、B兩地的道路是連續(xù)的(對(duì)連續(xù)概念獲得初步感性認(rèn)識(shí))。如果有一天，你在這條路的C路段，看到豎一木牌，木牌上寫著:“前方施工，請(qǐng)繞行”。我們就斷定這條路不連續(xù)了，確切地說在C路段不連續(xù)(即中斷了)。

與此相似，若一個(gè)函數(shù)的圖像在某一范圍內(nèi)是綿延不斷的，那么這個(gè)函數(shù)就是連續(xù)的(自然過渡，感性認(rèn)識(shí)逐漸深化)，接著給出四個(gè)函數(shù):

讓學(xué)生由圖像觀察哪個(gè)函數(shù)在區(qū)間(-∞，+∞)內(nèi)是連續(xù)的。學(xué)生很快得出結(jié)論:函數(shù)(1)連續(xù)，(2)、(3)、(4)都在 這點(diǎn)不連續(xù) 。然后提出問題:①分析在 x=1點(diǎn)，函數(shù)(2)、(3)、(4)與函數(shù)(1)的不同。②概括函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)滿足的條件。逐一分析、啟發(fā)、歸納出函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)須滿足三個(gè)條件。

二、類比引入，促成知識(shí)的遷移

在教學(xué)中，類比法是最常用的，最有效的思維方法之一。通過類比，可以發(fā)現(xiàn)新舊知識(shí)的相同點(diǎn)，突破思維障礙。如，類比分?jǐn)?shù)的定義和性質(zhì)，引入分式的定義和性質(zhì);類比平面幾何中兩條直線的位置關(guān)系，引入空間兩條直線位置關(guān)系。又如微積分中，原函數(shù)的概念比較抽象，在引入概念時(shí)，除了要充分講清原函數(shù)與導(dǎo)數(shù)互逆關(guān)系外，類比學(xué)生已經(jīng)掌握了的乘方與開方是十分有益的。

三、注重內(nèi)涵及外延，全面掌握概念

要想從本質(zhì)上而不是形式上理解概念，就要充分揭示概念的內(nèi)涵，即對(duì)基本內(nèi)涵的重要的常用的等價(jià)形式加以揭示。如果僅僅知道“兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形”，而不知道“兩組對(duì)邊分別相等的四邊形”，“兩組對(duì)邊分別相等的四邊形”等都是平行四邊形，能否說對(duì)平行四邊形的概念已經(jīng)清楚了呢?顯然不能。另外在重視概念的同時(shí)，也不要忽視外延。如學(xué)了空間直線，可進(jìn)行分類(圖1)，這有助于學(xué)生明確概念間的邏輯關(guān)系，深化對(duì)概念的認(rèn)識(shí)。

四、反例解析，加深對(duì)概念的理解

反例是強(qiáng)化概念、定理的重要手段，它具有突出、直觀、說服力強(qiáng)等突出特點(diǎn)，且能養(yǎng)成雙向考慮問題的習(xí)慣。

如學(xué)生對(duì)指數(shù)函數(shù)y=ax的定義中a>0且a≠1的規(guī)定不理解，可列舉反例，若a=0，當(dāng)x>0時(shí)，ax恒等于0，函數(shù)y=ax的圖像為x軸的正半軸，無研究的必要，當(dāng)x≤0時(shí)，ax無意義;若a<0，比如y=(-2)x，這時(shí)取……時(shí)，函數(shù)值不存在;若a恒為1，則函數(shù)的圖像為一直線，無研究的必要，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到，a>0且a≠1這一條件不可缺少。

五、數(shù)形結(jié)合，有助于概念的形象化

“數(shù)”與“形”是數(shù)學(xué)中的兩個(gè)基本概念，也是數(shù)學(xué)發(fā)展進(jìn)程中的兩大柱石，數(shù)量關(guān)系借助圖形的性質(zhì)可使許多抽象概念直觀、形象、簡單。

如定積分概念，通常用曲邊梯形面積引入，借助于下面三個(gè)圖形(圖2)能較方便地抽象出定積分概念。

又如，不等式的解的討論，可借用圖象記憶。

六、辨異比較，準(zhǔn)確掌握概念

有許多數(shù)學(xué)概念，或形式相近、相似，或內(nèi)容相近、相似，然而實(shí)質(zhì)不同。學(xué)生往往容易產(chǎn)生混淆。因此在教學(xué)中須謹(jǐn)記以下兩點(diǎn)。

一是注意辯析屬性相近容易產(chǎn)生的混淆。如對(duì)應(yīng)與一一對(duì)應(yīng)對(duì)比;弧度與角度對(duì)比;指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)對(duì)比;增函數(shù)與正反比例函數(shù)對(duì)比等。

學(xué)習(xí)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)后，學(xué)生把符號(hào)與混為一談。為澄清模糊認(rèn)識(shí)，可通過比較加以區(qū)別。符號(hào)是指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，表示x的函數(shù)，是變量;而是指函數(shù)在點(diǎn)x0的導(dǎo)數(shù)值，是常量，但二者又有聯(lián)系，后者是前者在點(diǎn)x0的函數(shù)值。這樣使學(xué)生加深對(duì)兩概念內(nèi)涵的區(qū)別及聯(lián)系。

二是注意辯異和防止產(chǎn)生錯(cuò)覺。如，受乘法分配律m(a+b)=ma+mb的思維定勢，容易得出lg(a+b)=lga+lgb ;由的負(fù)遷移，易得出::等諸如此類的錯(cuò)誤。此時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生判別概念、公式、法則之間的不同結(jié)構(gòu)，揭示其本質(zhì)屬性。

七、創(chuàng)設(shè)意境，激發(fā)思維的積極性

課堂氣氛往往決定著學(xué)生精力投入和知識(shí)吸收的程度，創(chuàng)設(shè)意境的形式多種多樣，有妙趣橫生的游戲，促人深省的發(fā)問、背景豐富的實(shí)例、引人入勝故事、笑話、簡單明了的實(shí)驗(yàn)等多。

在獨(dú)立事件教學(xué)中，引用一則笑話:一個(gè)醫(yī)生準(zhǔn)備給手術(shù)臺(tái)上的病人做手術(shù)，醫(yī)生對(duì)病人說:“放心好啦，這種手術(shù)的死亡率是十分之九，你前面九個(gè)病人全死了，而你是第十個(gè)，因此你是絕對(duì)安全的了。”

這則笑話緊扣獨(dú)立事件的含義，使學(xué)生在大笑中得到啟迪，對(duì)抽象的概念產(chǎn)生親切感，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。

八、溫故知新，使所學(xué)知識(shí)更鞏固扎實(shí)

數(shù)學(xué)的邏輯性是很強(qiáng)的，一切概念都毫無例外地互相依賴與轉(zhuǎn)化。新知識(shí)是在舊知識(shí)的基礎(chǔ)上，加以繼承和擴(kuò)充發(fā)展。所以教師在講授新知識(shí)的同時(shí)，要有計(jì)劃地補(bǔ)習(xí)和復(fù)習(xí)舊知識(shí)。

可以采用“以舊引新”。如，講函數(shù)、冪函數(shù)之前，可以安排復(fù)習(xí)初中學(xué)過的函數(shù)概念、正(反)比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)的內(nèi)容;在角的概念的推廣、任意角的三角函數(shù)前，先復(fù)習(xí)初中學(xué)習(xí)的三角函數(shù)概念等內(nèi)容。

也可以“講舊代新”。如，講集合的交、并、補(bǔ)集可結(jié)合例題習(xí)題復(fù)習(xí)定義域、不等式(組)、數(shù)的概念等。

另外，每講完一章或單元，要對(duì)學(xué)過的概念、類型、性質(zhì)、研究方法進(jìn)行系統(tǒng)整理。經(jīng)過這樣反復(fù)循環(huán)螺旋上升，不僅使所學(xué)知識(shí)更鞏固扎實(shí)，同時(shí)有利于提高學(xué)生綜合運(yùn)用概念的能力。

九、借助于多媒體，簡化繁瑣講解

在概念講解時(shí)，語言文字的表達(dá)很難觸及到其實(shí)質(zhì)，此時(shí)如果能結(jié)合數(shù)學(xué)應(yīng)用軟件則可達(dá)到事半功倍的作用。如，用二分法求方程組的近似解，借助“幾何畫板”顯示實(shí)數(shù)解的求解過程。

十、引入示錯(cuò)式，激發(fā)學(xué)生的興趣

學(xué)生的學(xué)習(xí)過程是由未知到已知，從片面到完整，從膚淺到深刻的過程。通過錯(cuò)式——糾錯(cuò)——醒悟的教學(xué)過程，既能調(diào)節(jié)課堂氣氛，又能讓學(xué)生在誤中思，在思中悟。如在教學(xué)反函數(shù)時(shí)，為強(qiáng)調(diào)定義域的重要性，可設(shè)計(jì)題目:求函數(shù)的反函數(shù)。讓學(xué)生分組解決。根據(jù)結(jié)果，為所求，反問學(xué)生“反函數(shù)的定義”，從而指出函數(shù)在內(nèi)(-∞，+∞)無反函數(shù)。但若給定區(qū)間x∈(-∞，0)或x∈(0，+∞)，則在這兩區(qū)間內(nèi)均存在反函數(shù)，此時(shí)得到的課堂效果是不言而喻的。

(作者單位:山東省濟(jì)寧技術(shù)學(xué)院)