數(shù)學(xué)文化觀下的極限概念

極限概念是分析數(shù)學(xué)中最基本的概念之一，用以描述變量在一定變化過程中的終極狀態(tài)。極限理論是微積分學(xué)的基礎(chǔ)，它從方法論上突出地表現(xiàn)了微積分學(xué)不同于初等數(shù)學(xué)的特點(diǎn)，極限思想(方法)揭示了變量與常量、無限與有限的對(duì)立統(tǒng)一關(guān)系，是唯物辯證法的對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的應(yīng)用，借助于極限思想(方法)，人們可以從有限認(rèn)識(shí)無限，從“不變”認(rèn)識(shí)“變”，從直線形認(rèn)識(shí)曲線形，從量變認(rèn)識(shí)質(zhì)變，從近似認(rèn)識(shí)準(zhǔn)確，所以，在物理、生物、經(jīng)濟(jì)等學(xué)科中有廣泛的應(yīng)用，這是由其本身固有的思維功能所決定。深刻理解極限概念，有助于我們提升觀點(diǎn)和能力。

但是，極限的定義，術(shù)語抽象、符號(hào)陌生，其中的辯證關(guān)系不易搞清，初學(xué)者總是會(huì)問:為什么要搞個(gè)定義?數(shù)學(xué)家怎么會(huì)想出這種“古怪而討厭”的定義?正如R·柯朗與H·羅賓所說:“初次遇到它時(shí)暫時(shí)不理解是不足為怪的，遺憾的是某些課本的作者故弄玄虛，他們不作充分的準(zhǔn)備，而只是把這個(gè)定義直接向讀者列出，好像作些解釋就有損于數(shù)學(xué)家的身份似的。”

從古至今，人們對(duì)于極限概念的認(rèn)識(shí)經(jīng)歷了一段漫長的過程。從最初時(shí)期樸素、直觀的極限觀經(jīng)過了2000多年的發(fā)展，演變成為近代嚴(yán)格的極限理論，在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中，人們又引進(jìn)了更廣泛和更一般的極限概念。這其中的思想演變是漸進(jìn)的、相互推動(dòng)的。

一、樸素的、直觀的極限

這種極限觀在我國古代的文獻(xiàn)中就有記載，最著名的是《莊子·天下篇》中記載的惠施(約前370～約前310)的一段話:“一尺之錘，日取其半，萬世不竭。”[1]公元3世紀(jì)，中國數(shù)學(xué)家劉徽(263年左右)成功地把極限思想應(yīng)用于實(shí)踐，其中最典型的方法就是在計(jì)算圓的面積時(shí)建立的“割圓術(shù)”。由于劉徽所采用的圓的半徑為1，這樣圓的面積在數(shù)值上即等于圓周率，所以說劉微成功地創(chuàng)立了科學(xué)的求圓周率的方法。劉徽采用的具體做法是:在半徑為一尺的圓內(nèi)，作圓的內(nèi)接正六邊形，然后倍增邊數(shù)，依次算出內(nèi)接正6邊形、正12邊形、…、算到直至(3072)邊形的面積，得到，稱為“徽率”。劉徽認(rèn)為:“‘割之彌細(xì)，所失彌少。割之又割，以至于不可割，則與圓和體，而無所失矣。’劉徽以不可割的極限狀態(tài)證明了與圓周合為一體的正多邊形的面積就是圓面積。”[2]這就是割圓術(shù)所反映的樸素的極限思想。

劉徽的極限觀念與古希臘的安蒂豐(Antiphon，約前480～約前410)不謀而合。安蒂豐在討論化圓為方的問題時(shí)想到用邊數(shù)不斷增加的內(nèi)接正多邊形面積來接近圓面積，當(dāng)多邊形的邊數(shù)不斷增加時(shí)，最后一定能“耗盡”多邊形與圓之間空隙的面積，因而達(dá)到圓面積成方(求積)的目的。著名希臘數(shù)學(xué)家阿基米德(Archimede，約前287～約前212)在幾何學(xué)方面成功地導(dǎo)出了曲邊圖形的面積和曲面立方體的體積的計(jì)算公式，在推演這些公式的過程中，他創(chuàng)立了“窮竭法”，類似于現(xiàn)代微積分中所說的極微分割、逐步近似求極限的方法。阿基米德的數(shù)學(xué)思想中蘊(yùn)涵著微積分的思想，窮竭法所蘊(yùn)涵的思想就是近代極限概念的雛形，但他沒有極限概念，他是根據(jù)力學(xué)原理去發(fā)現(xiàn)問題，然后用歸謬法來證明有關(guān)結(jié)論的。“由于希臘人‘對(duì)無限的恐懼’，他們避免明顯地‘取極限’，而是借助于簡接證法——?dú)w謬法完成有關(guān)證明。”[3]

縱觀這一段時(shí)期，無論是中國古代還是古希臘數(shù)學(xué)家們對(duì)極限的理解都是比較初步的，形成的極限觀念也是十分樸素和直觀的。在對(duì)窮竭法的運(yùn)用中，還沒有擺脫幾何形式的束縛。但是這些不足卻為后來的數(shù)學(xué)家們?nèi)ソ徊教剿骶_的極限概念產(chǎn)生了一定的推動(dòng)作用。

二、現(xiàn)代數(shù)學(xué)的極限

首次給出極限描述性定義的是法國數(shù)學(xué)家達(dá)朗貝爾(D′Alembert，1717～1783)。他認(rèn)為:“一個(gè)變量趨于一個(gè)固定量，趨于程度小于任何給定量，且變量永遠(yuǎn)達(dá)不到固定量。”[4]

嚴(yán)格的極限理論是由法國數(shù)學(xué)家柯西(Cauchy，1789～1857)初建，1821年，柯西定義:“當(dāng)一個(gè)變量逐次所取的值無限趨于一個(gè)定值，最終使變量的值和該定值之差要多小有多小，這個(gè)定值叫做所有其它值的極限。”[5]柯西提出了極限理論的方法，把整個(gè)極限用不等式來刻畫。他引入“l(fā)im”來表示極限，并且用希臘字母表示任意小的差。以極限的算術(shù)定義為基礎(chǔ)，柯西給出了無窮小，無窮大的定義:“當(dāng)一個(gè)變量的數(shù)值這樣地?zé)o限減小，使之收斂到極限零，那么這個(gè)變量就叫做無窮小;當(dāng)變量的數(shù)值這樣地?zé)o限的增大，使該變量收斂到極限∞，那么該變量就成為無窮大。”[6]

德國數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯(Weierstrass，1815～1897)對(duì)柯西的方法進(jìn)行了改造。魏爾斯特拉斯反對(duì)“一個(gè)變量趨于一個(gè)極限”的說法，因?yàn)檫@種說法使人們想起了時(shí)間和運(yùn)動(dòng)。他把一個(gè)變量簡單的解釋成一個(gè)字母，該字母代表它可以取值的集合中的任意數(shù)，這樣運(yùn)動(dòng)就消除了。一個(gè)連續(xù)變量是這樣一個(gè)變量，若是該變量的集合中的任一值而是任意正數(shù)，則一定有變量的其它值在區(qū)間中。他給出了相當(dāng)完備的方法，即設(shè)是函數(shù)定義域內(nèi)的一點(diǎn)，若對(duì)給定的任一隨意小的數(shù)，可求得另一正數(shù)，使得與之差小于的一切值，和另一數(shù)A的差小于，則數(shù)A是函數(shù)于點(diǎn)的極限。這就是當(dāng)今通用的的定義“，當(dāng)時(shí)，有。”這樣，整個(gè)極限的運(yùn)算就成為一串不等式的推導(dǎo)，極限概念的算術(shù)化就實(shí)現(xiàn)了。

關(guān)于序列極限的正確概念早在1655年由英國數(shù)學(xué)家沃利斯(Wallis，1616～1703)給出，但是后來未被人們采用。捷克數(shù)學(xué)家波爾查諾(Bernard Bolzano，1781～1848)在1817年也給出了序列收斂條件的正確表達(dá)。柯西后來重新得到了這些結(jié)果，現(xiàn)在把序列收斂的判別準(zhǔn)則歸功于柯西，稱為柯西收斂準(zhǔn)則。19世紀(jì)的數(shù)學(xué)家終于消除了長久以來極限概念的不明確性給人們帶來的種種困惑，建立了嚴(yán)格的極限理論，極限的定義一直延續(xù)到今天。

三、對(duì)極限概念的理解

我們的微積分教科書在“數(shù)列極限”一節(jié)開篇總有“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”的說法。就是這種繼續(xù)不斷、沒完沒了的過程，數(shù)學(xué)上稱之為“潛在的無限”，它永遠(yuǎn)是現(xiàn)在進(jìn)行時(shí)，每一步都是有限的，卻永遠(yuǎn)不會(huì)結(jié)束。

然而，數(shù)學(xué)所研究的另一種無限是“實(shí)無限”，其實(shí)，初等數(shù)學(xué)里實(shí)無限已經(jīng)是研究對(duì)象了:幾何學(xué)中的曲線，由無限多個(gè)點(diǎn)組成;說到自然數(shù)集N，它含有全體自然數(shù);閉區(qū)間中所有實(shí)數(shù)等等。都是一個(gè)真實(shí)的“無限集”。理解極限的困難，其實(shí)是由實(shí)無限所引起的。我們也應(yīng)該把極限過程看作完成了的無限過程，看作一個(gè)整體，看作實(shí)無限，是“從延伸到窮竭的產(chǎn)物”。極限本質(zhì)上具有二重性，是一種“雙相無限結(jié)構(gòu)”。

當(dāng)研究時(shí)，應(yīng)當(dāng)采取雙相無窮論觀。因?yàn)椤啊奔劝瑵摕o限性質(zhì)，又包含實(shí)無限性質(zhì)，它在本質(zhì)上具有雙相無限性，而這里的極限，確實(shí)達(dá)到了，這里確確實(shí)實(shí)是一個(gè)精確的等式。徐利治教授指出:實(shí)無限是要通過潛無限來刻畫(表現(xiàn))的，……，但僅僅靠內(nèi)蘊(yùn)性和潛無限性質(zhì)絕對(duì)不可能完成極限過程，必須把潛無限和實(shí)無限結(jié)合起來，才能完成極限過程，這一點(diǎn)是至關(guān)重要的。正是在這至關(guān)重要的一點(diǎn)上，我們的微積分教學(xué)沒有處理好，它一直在向師生滲透潛無窮觀，它一直在用潛無限性理解極限過程，因此，教學(xué)的都是未完成的極限過程。

極限是為積分學(xué)承上啟下的概念，是微積分知識(shí)和方法的核心，因而，正確處理和理解極限概念，是微積分學(xué)習(xí)成敗得失的關(guān)鍵問題。

參考文獻(xiàn):

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(上冊)[M].北京:高等教育出版社，2001.

[2]傅海倫.中外數(shù)學(xué)史概率[M].北京:科學(xué)出版社，2007.

[3]劉云章.極限法的哲學(xué)思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2002(7):1-3.

[4]李文林.數(shù)學(xué)珍寶[M].北京:科學(xué)出版社，1998.

[5]杜石然，孔國平.世界數(shù)學(xué)史[M].長春:吉林教育出版社，1996.

[6]杜瑞芝.數(shù)學(xué)史辭典[M].濟(jì)南:山東教育出版社，2000.

作者簡介:房元霞(1966—)，女，山東鄒平人，聊城大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院教師，主要從事數(shù)學(xué)教學(xué)論、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課的教學(xué)和研究。