優化思維品質 突顯解題能力

充分暴露思維過程是數學教學的重要指導原則，優化的思維品質，更是數學教學的精髓.選擇恰當的解題方法，更是數學品位能力的再現.眾所周知，反證法也是一種非常重要的數學思想方法，它在數學命題的證明中有更獨到的作用，特別是在對平面幾何、立體幾何、解析幾何問題的求解中特別突出.當問題正面求解或證明存在較大難度或是繁瑣復雜時，它的互為逆否命題“挺身而出”，往往能達到“事半功倍”“柳暗花明又一村”的功效.下面結合幾例具有代表性的例題加以說明.

一、證明幾何量之間的關系

在幾何命題中，有些問題的已知條件和結論之間視乎無法聯系，僅從現有條件出發，正面很難確定是這些幾何量之間的明確關系，這時，我們可以嘗試一下反證法的妙用，也正是反證法的魅力所在.

圖1

【例1】 已知:四邊形ABCD中，E、F分別是AD、BC的中點，EF=12(AB+CD).

求證:AB∥CD.

證明:假設AB不平行于CD.

如圖1，連結AC，取AC的中點G，連結EG、FG.

∵E、F、G分別是AD、BC、AC的中點，

∴GE∥CD，GE=12CD;

GF∥AB，GF=12AB.

∵AB不平行于CD，

∴GE和GF不共線，GE、GF、EF組成一個三角形.

∴GE+GF>EF. ①

但GE+GF=12(AB+CD)=EF. ②

∴①與②矛盾.

∴AB∥CD.

圖2

【例2】 直線PO與平面α相交于O，過點O在平面α內引直線OA、OB、OC，

∠POA=∠POB=∠POC.

求證:PO⊥α.

證明:假設PO不垂直平面α.

作PH⊥α并與平面α相交于H，此時H、O不重合，連結OH.

由P作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，

根據三垂線定理可知，HE⊥OA，HF⊥OB.

∴∠POA=∠POB，PO是公共邊，

∴Rt△POE≌Rt△POF.

∴OE=OF.

又OH=OH，

∴Rt△OFH≌Rt△OEH.

∴∠FOH=∠EOH.

因此，OH是∠AOB的平分線.

同理可證，OH是∠AOC的平分線.

但是，OB和OC是兩條不重合的直線，OH不可能同時是∠AOB和∠AOC的平分線，故矛盾.

∴PO⊥α.

二、證明“唯一性”問題

如果問題的結論單一，直接證明往往相當困難，這時可以嘗試反證法.

【例3】 過平面α上的點A的直線a⊥α，求證:a是唯一的.

證明:假設a不是唯一的，則過A至少還有一條直線b，且b⊥α.

∵a、b是相交直線，

∴a、b可以確定一個平面β.

設α和β相交于過點A的直線c.

∵a⊥α，b⊥α，

∴a⊥c，b⊥c.

這樣在平面β內，過點A就有兩條直線垂直于c，這與定理產生矛盾.

所以，a是唯一的.

【例4】 試證明:在平面上所有通過點(2，0)的直線中，至少通過兩個有理點(有理點指坐標x、

y均為有理數的點)的直線有一條且只有一條.

證明:先證存在性.

因為直線y=0，顯然通過點(2，0)，且直線y=0至少通過兩個有理點，例如它通過(0，0)和(1，0).這說明滿足條件的直線有一條.

再證唯一性.

假設除了直線y=0外還存在一條直線y=kx+b(k≠0或b≠0)通過點(2，0)，且該直線通過有理點A(x1，y1)與B(x2，y2)，其中x1、y1、x2、y2均為有理數.

因為直線y=kx+b通過點(2，0)，所以b=-2k，于是y=k(x-2)，且k≠0.又直線通過A(x1，y1)與B(x2，y2)兩點，

所以y1=k(x1-2)，①

y2=k(x2-2)，②

①-②，得y1-y2=k(x1-x2).③

因為A、B是兩個不同的點，且k≠0，所以x1≠x2，y1≠y2，

由③，得k=y1-y2x1-x2，且k是不等于零的有理數.

由①，得2=x1-y1k.

此式的左邊是無理數，右邊是有理數，出現了矛盾.

所以，平面上通過點(2，0)的直線中，至少通過兩個有理點的直線只有一條.

綜上所述，滿足上述條件的直線有一條且只有一條.

關于唯一性的問題，在幾何中有，在代數、三角等內容中也有.這類題目用直接證法證明相當困難，因此一般情況下都采用間接證法，即反證法.

三、證明不可能問題

幾何中有一類問題，要證明某個圖形不可能有某種性質或證明具有某種性質的圖形不存在時，它們的結論命題都是以否定形式出現的，這時若用直接證法證明有一定的困難.而它的否定命題則是某個圖形具有某種性質或具有某種性質的圖形存在，這類問題則非常適宜用反證法.

【例5】 求證:拋物線沒有漸近線.

證明:設拋物線的方程是y²=2px(p≠0).

假設拋物有漸近線，漸近線的方程是y=ax+b，易知a、b都不為0.因為漸近線與拋物線相切于無窮遠點，于是方程組

y²=2px， ①y=ax+b ②

的兩組解的倒數都是0.

將②代①，得

a²x²+2(ab-p)x+b²=0.③

設x1、x2是③的兩個根，由韋達定理，可知

x1+x2=-2(ab-p)a²，

x1#8226;x2=b²a²，

則1x1+1x2=x1+x2x1x2=-2(ab-p)b²

=0， ④

1x1#8226;1x2=1x1x2=a²b²=0，

由④、⑤可推得p=0，

這與假設p≠0矛盾.

所以，拋物線沒有漸近線.

關于不可能問題是幾何中最常見也是非常重要的一種類型.由于它的結論是以否定形式出現，采用直接證法有困難，所以這類問題一般都使用反證法加以證明.

四、證明“至少存在”或“不多于”問題

在幾何中存在一類很特殊的問題，就是證明具有某種性質的圖形至少有一個或不多于幾個.由于這類問題能找到直接論證的理論根據很少，用直接證法有一定困難.如果采用反證法，添加了否定結論這個新的假設，就可以推出更多的結論，使問題迎刃而解.

【例6】 已知:四邊形ABCD中，對角線AC=BD=1.

求證:四邊形中至少有一條邊不小于22.

證明:假設四邊形的邊都小于22，由于四邊形中至少有一個角不是鈍角(這一結論也可用反證法證明)，不妨設∠A≤90°，

根據余弦定理，得

BD²=AD²+AB²-2AD#8226;AB#8226;cosA，

∴BD²≤AD²+AB²，

即BD≤AD²+AB²<(22)²+(22)²=1.

這與已知四邊形BD=1矛盾.所以，四邊形中至少有一條邊不小于22.

總之，反證法是一種極其重要的數學思想方法，它不僅在幾何領域中有得天獨厚的作用，在其他領域也是獨樹一幟，這都有待于我們在今后的學習或工作中進一步探究.

(責任編輯 金 鈴)