“萬有引力”復習“一二三四”

“萬有引力”是圓周運動的一個實際應用，其教學一直是個難點，究其原因，無非是公式復雜，知識點多且易混淆，學生對各個概念、公式處于一種分散雜亂的狀態，在做題目時有很大的偶然性和盲目性.故建立清晰的知識體系，掌握有效的解題方法顯得尤為重要。

一、一個定律

對萬有引力定律要理解并會靈活運用。知道該定律的適用條件和每個字母的含義。會用割補法求引力。

二、兩個原理

原理一:隨地球一起自轉的物體，其重力近似等于萬有引力。

根據這個原理，可以求兩種重力加速度。

設某行星表面的重力加速度為g0，表面物體受到行星的引力大小等于物體在該行星表面的重力，故mg0=GMmR²;離地高為h處，有mg=GMm(R+h)²，故gg0=R²(R+h)²。

設某行星表面的重力加速度為g1，質量為M1，半徑為R1，另一行星表面的重力加速度為g2，質量為M2，半徑為R2，則:mg1=GM1mR²1，mg2=GM2mR²2，故g1g2=M1R²2M2R²1。

原理二:衛星繞地球做勻速圓周運動的向心力是由它們之間的萬有引力提供的，萬有引力就是重力。

GMmr²=mv²r=mrω²=mr4π²T²=mg=ma

故v=GMr，ω=GMr3，T=2πr3GM，a=GMr²。

∴r增大時，v減小，ω減小，T增大，a減小。

三、三種速度

第一宇宙速度(又稱環繞速度):物體圍繞地球做勻速圓周運動所需要的最小發射速度，同時又是最大的環繞速度，其值為:v1=7.9km/s?？捎蒅MmR²=mv²R或mg=mv²R得到。

第二宇宙速度(又稱脫離速度):物體脫離地球引力進入行星軌道所需要的最小發射速度，其值為v2=11.2km/s。

第三宇宙速度(又稱逃逸速度):物體掙脫太陽系而飛向太陽系以外的宇宙空間所需要的最小發射速度，其值為:v3=16.7km/s。

四、四個注意點

1.開普勒行星運動三大定律

知道開普勒常量只與中心天體質量有關。要理解并會運用開普勒第三定律解題。

2.同步衛星

特點:相對靜止在地球上空，運動周期為T=24h。

軌道平面:一定是在赤道平面內。

設同步衛星距離地面的高度為h，地球半徑為R，則有:

GMm(h+R)²=4mπ²T²(h+R)，可以得到:

h=3GMT²4π²-R，代入數據可得:h=35.6×103km。

3.雙星模型

兩個星體繞連線上的共同一點一起做勻速圓周運動，有GMmr²1=mr24π²T²，公式中的r1和r2有不同的含義，r1是指兩個星體中心間的距離(一般也寫成L)，而r2則是對應的星體的軌道半徑。這類星體運動特點為兩星及軌道圓心三點必成一線，即兩個星運行的角速度(周期)應該是相同的。兩星的軌道半徑之和等于兩星間的距離，這是這類星體運動模型隱含的兩個條件。根據這兩個條件結合其他規律可分析出雙星體運行時軌道半徑與星體質量是成正比的，即兩個星體質量差別越大，繞行中心離質量大的那個星體越近。

4.區分三種加速度

在“萬有引力”中經常牽涉到的加速度有三個，它們分別是重力加速度g，質點(衛星)圓周運動的向心加速度a′以及萬有引力加速度a。三個加速度之間存在聯系也有明顯的區別，而且在不同的條件下它們間的關系是不一樣的。

一般分為兩種不同情況:

第一種情況是研究靜止在地面上的質點因為隨地球自轉做勻速圓周運動，則g和a′與a之間是的分矢量和合矢量之間的關系。在兩極時a′=0，則g=a=GM/R²，而在赤道時，三矢量在同一直線上，有a=a′+g。這種情況下g除了與緯度有關以外還與地球的自轉有關。

第二種情況是質點離開地面后繞地心做勻速圓周運動(即人造衛星的運行)情況下，三個加速度是相同的。即a=a′=g，這里的g是指離地面一定高度處的重力加速度。這種情況下地球自轉不影響質點的運行了。但要注意一種情況，即正常運行衛星變軌瞬間，則萬有引力加速度和向心加速度是不一樣的。萬有引力加速度就是衛星實際運行的加速度，而向心加速度只是萬有引力加速度的一個向心分量，用來改變速度的方向，另一個分量應為切向分量，用來改變速度的大小。

兩種情況的結合點的問題主要有兩種:一種是“地球自轉角速度達到多少，可以使赤道上的物體漂起來”這類問題，二是比較同步衛星向心加速度，放在地球赤道上的物體隨地球自轉的向心加速度，以及在赤道平面上空做勻速圓周運動的近地衛星的向心加速度的大小關系。如果不能理解三個加速度間的關系，學生很難掌握這種問題的解決方法。

如果以上內容都理清楚了，就掌握了本章的主體知識，解決其他問題如求天體質量、密度，超重和失重，推導第一宇宙速度，變軌問題，黑洞等將更輕而易舉。

(責任編輯 黃春香)