平面向量幾何意義的應用

平面向量作為一種基本工具，在平面幾何問題的求解中有極其重要的地位和作用，尤其是平面向量的幾何意義，其中又有很多獨特之處，若在解題中能合理運用，必能起到化難為易、化繁為簡的作用.

【例1】 已知非零向量AB與AC滿足(AB|AB|+AC|AC|)#8226;BC=0且(AB|AB|#8226;AC|AC|)=12，則△ABC為().

A.三邊均不相等的三角形B.直角三角形

C.等腰非等邊三角形D.等邊三角形

分析:本題可先由條件的幾何意義得出AB=AC，再求得A=π3，即可得出答案.

解:因為非零向量AB與AC滿足(AB|AB|+AC|AC|)#8226;BC=0，

所以∠BAC的平分線垂直于BC，所以AB=AC.

又因為cos∠BAC=(AB|AB|#8226;AC|AC|)=12，

所以∠BAC=π3.

所以△ABC為等邊三角形，故選D.

【例2】 平面上的兩個向量OA，OB滿足|OA|=a，|OB|=b，且OA⊥OB，a²+b²=4，向量OP=xOA+yOB(x，y∈R)

且a²(x-12)²+b²(y-12)²=1.

(1)如果點M為線段AB的中點，求證:MP=(x-12)OA+(y-12)OB;

(2)求OP的最大值，并求此時四邊形OAPB面積的最大值.

分析:對第(1)問，可先求OM，在由條件即可得出結論.對第(2)問，先設點M為AB的中點，進而利用(1)的結論并由條件確定P，O，A，B四點共圓，結論即可得到.

解:(1)因為點M是AB的中點，

所以OM=12OA+12OB.

所以MP=OP-OM

=(xOA+yOB)-(12OA+12OB)

=(x-12)OA+(y-12)OB.

(2)設點M是AB的中點，

則由OA⊥OB

知

|MA|=|MB|=|MO|=12|AB|=1.

又由(1)及a²(x-12)²+b²(y-12)²=1得

|MP|²=|OP-OM|²

=(x-12)²|OA|²+(y-12)²|OB|²

=a²(x-12)²+b²(y-12)²

=1.

|MP|=|MA|=|MB|=|MO|=12|AB|=1.

故P，O，A，B四點都在以M為圓心，1為半徑的圓上，

所以當且僅當OP為圓M的直徑時，|OP|max=2.

此時四邊形OAPB為矩形，

則S四邊形OAPB=|OA||OB|=ab≤a²+b²2=2，

當且僅當a=b=2時，四邊形OAPB的面積最大，最大值為2.

(責任編輯 金 鈴)