類比推理在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

一、類比推理形式及合理性原則

類比推理是合情推理的一種形式.所謂類比就是把兩個或兩類不同的對象進行比較，然后根據(jù)這兩種對象在一系列屬性上的相似性，由其中一種對象所具有的其他屬性，推出另一種對象也具有相似屬性的結(jié)論.其基本原理可以用如下模式表示:A對象具有屬性a、b、c，另有屬性d，B對象也具有屬性a、b、c，所以，B對象具有屬性d.比如圓與球體，三角形與三棱錐，平面向量與空間向量等.類比推理的應(yīng)用場合是多種多樣的，很多數(shù)學(xué)問題都可通過類比推理來研究.

類比推理，作為一種推理方法，它是通過比較不同對象或不同領(lǐng)域之間的某些屬性相似，從而推導(dǎo)出另—屬性也相似.它既不同于演繹推理從一般推導(dǎo)到個別，也不同于歸納推理從個別推導(dǎo)到一般，而是從特定的對象或領(lǐng)域推導(dǎo)到另一特定對象或領(lǐng)域的推理方法.類比的結(jié)論是或然的，原因是對象之間不僅具有相同性，而且具有差異性.就是說，A，B兩類對象盡管在一系列屬性上是相似的，但由于它們是不同的兩個對象，總還有某些屬性是不同的.如果d屬性恰好是A對象異于B對象的特殊性，那么我們作出B對象也具有d屬性的結(jié)論，便是錯誤的.例如，三角形和三棱錐盡管它們在一系列屬性上是相似的，但是還有許多性質(zhì)不同，三角形有三條邊而三棱錐有四個面.另外，對象中并存的許多屬性，有些是對象的固有屬性，有些是對象的偶有屬性，如果作出類比推出的d屬性是某一對象的偶有屬性，那么另一對象很可能就不具有d屬性.

二、常用的類比方法

數(shù)學(xué)問題的解決通常是在通過類比、歸納等方法進行探測的基礎(chǔ)上，獲得有關(guān)問題的結(jié)論或解決方法的猜想，然后再設(shè)法證明或否定猜想，進而達到解決問題的目的.類比是獲得猜想的一個重要的方法，它是一種主觀而不充分的似真推理，因此，要確認其猜想的正確性，還需經(jīng)過嚴格的邏輯論證.類比推理的關(guān)鍵是尋找一個合適的類比對象，然后進行類比.按照類比對象的視角不同，類比常分為以下三種類型.

1.異維類比

將不同維空間中對象的性質(zhì)進行類比，此種類比方法即為異維類比.異維類比要充分利用相關(guān)對象性質(zhì)的相似性.這方面的例子很多，象圓與球，平面圖形與空間圖形等性質(zhì)都屬于異維類比.

2.結(jié)構(gòu)類比

所謂結(jié)構(gòu)類比就是通過觀察，憑借結(jié)構(gòu)上的相似性等尋找類比問題，并經(jīng)過適當?shù)拇鷵Q，將原問題轉(zhuǎn)化為類比問題來解決.象等差數(shù)列與等比數(shù)列性質(zhì)，甚至通過結(jié)構(gòu)類比還可探究等和數(shù)列和等積數(shù)列相關(guān)性質(zhì).

【例1】 (2003，全國)在平面幾何里，有勾股定理:“設(shè)△ABC的兩邊AB，AC相互垂直，則AB²+AC²=BC²”，拓展到空間，類比平面幾何的勾股定理，則可得出什么結(jié)論?

分析:顯然，通過結(jié)構(gòu)類比原理，不難得到如下真命題:“設(shè)三棱錐A-BCD的三個側(cè)面ABC、ACD、ADB兩兩相互垂直，則S²△ABC+S²△ACD+S²△ADB=S²△BCD”.

3.轉(zhuǎn)化類比

轉(zhuǎn)化類比就是將原命題類比到比原命題簡單的問題，以便提供解決思路和方法，最終獲得原命題的解決方案.比如可先將多元問題類比為少元問題，高次問題類比到低次問題，普遍問題類比為特殊問題，未知問題轉(zhuǎn)化到已知問題等.

【例2】 已知x，y，z∈R+，求證:x²-xy+y²+y²-yz+z²>z²-zx+x².

分析:要求證的式子結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，用常規(guī)方法證明很難奏效.觀察根式的結(jié)構(gòu)特征，有x²-xy+y²=x²+y²-2xycos60°，

運用數(shù)與形的類比，聯(lián)想到三角形的余弦定理，同理可得另外兩個式子.然后構(gòu)造一個三棱錐S-ABC如圖所示，

使∠ASB=∠BSC=∠CSA=60°，SA=x，SB=y，SC=z.

由余弦定理，有AB=x²-xy+y²，BC=y²-yz+z²，CA=z²-zx+x²

.

因為三角形兩邊之和大于第三邊，所以在△ABC中，有

AB+BC>CA，即x²-xy+y²+y²-yz+z²>z²-zx+x².

【例3】 設(shè)函數(shù)f(x)滿足f(x1+x2)=f(x1)f(x2)-1f(x1)f(x2)，且存在正常數(shù)a，使f(a)=1.求證:f(x)是周期函數(shù)，并求出周期.

分析:要證f(x)是周期函數(shù)，只能從定義出發(fā)，但本題中不能直接找到該函數(shù)的一個周期，故證明的關(guān)鍵在于直覺感知周期的取值.但從本質(zhì)上看很難直接找到函數(shù)的一個周期.觀察題設(shè)的結(jié)構(gòu)特征類比聯(lián)想到三角恒等式cot(α+β)=cotαcotβ-1cotα+cotβ，且有cotπ4=1

，由于f(α)cotα是周期函數(shù)且周期為π=4×π4，我們就猜想，f(x)是以4a為周期的周期函數(shù).在此猜想的基礎(chǔ)上，我們再對此題進行證明.

從數(shù)學(xué)問題的發(fā)現(xiàn)或提出新命題的過程來看，一般是從具體問題或素材出發(fā)，經(jīng)過類比、聯(lián)想、觀察、實驗、歸納等不同的途徑，形成命題并加以確認.因此在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常常運用類比推理，抓住其發(fā)生過程、內(nèi)涵、結(jié)構(gòu)、性質(zhì)等方面的相似性來解決問題.在自然科學(xué)發(fā)現(xiàn)中，類比推理也是一種被普遍應(yīng)用的方法.

(責(zé)任編輯 金 鈴)