解含參數的一元二次不等式的分類方法

含參數的一元二次不等式的解法是學生學習的難點，解含參的一元二次不等式，通常情況下，要進行分類討論，下面舉例說明.

一、平方項系數不含參數

1.根據對應方程根的大小分類

【例1】 解不等式x²+(a²+a)x+a3>0.

分析:先利用因式分解確定一元二次方程的兩根，對兩根的大小進行分類討論.

解:原不等式可化為(x+a)(x+a²)>0.

①當-a>-a²，即a2，即a>1或a<0時，原不等式解集為{x|x>-a或x<-a²｝;

②-a=-a²，即a=1或a=0時，

(ⅰ)當a=1時，原不等式解集為{x|x∈R，且x≠-1｝;

(ⅱ)當a=0時，原不等式解集為{x|x∈R，且x≠0｝.

③當-a<-a²，即a>a²，即0-a²或x<-a｝.

綜上所述:當a2時，原不等式解集為{x|x>-a或x<-a²｝;

當a=1時，原不等式解集為{x|x∈R，且x≠-1｝;

當a=0時，原不等式解集為{x|x∈R，且x≠0｝;

當0-a²或x<-a｝.

2.根據對應方程判別式的符號分類

【例2】 解不等式x²+ax+4<0.

分析:顯然不等號的左邊代數式不能因式分解，所以應該考察相應一元二次方程x²+ax+4=0的根的判別式的符號，進一步判斷根的情況.

解:一元二次方程x²+ax+4=0的根的判別式Δ=a²-4×1×4=a²-16.

①當Δ>0，即a<-4或a>4時，一元二次方程x²+ax+4=0的兩根分別為-a-a²-162和-a+a²-162，原不等式解集為{x|-a-a²-1622-162｝

;

②當Δ=0，即a=-4或a=4時，原不等式可化為(x±2)²<0，原不等式解集為;

③當Δ<0，即-4

綜上所述:

當a<-4或a>4時，原不等式解集為{x|-a-a²-1622-162｝;

當-4≤a≤4時，原不等式解集為.

二、平方項系數含參數

1.根據平方項系數的符號分類

【例3】 若不等式(m+3)x²-5(m+3)x+4<0的解集是R，則實數m的取值范圍是 .

解:①當m+3=0，即m=-3時，原不等式可化為-4<0，顯然解集是R;

②當m+3≠0，要使不等式(m+3)x²-5(m+3)x-4<0的解集是R，只須有m+3<0，Δ<0，

即m<-3，25(m+3)²+16(m+3)<0，解

得-9125

綜上得實數m的取值范圍是-9125

2.根據平方項系數的符號和對應方程根的大小綜合分類

【例4】 解不等式mx²+(m-2)x-2>0.

分析:因為平方項系數含參數m，且對應方程根的大小也與m有關，所以必須對平方項系數m和對應方程根的大小進行綜合分類.

解:(1)當m=0時，原不等式可化為-2x-2>0，即x<-1;

(2)當m≠0時，原不等式可化為(mx-2)(x+1)>0，

①當m>0時，不等式(mx-2)(x+1)>0可化為(x-2m)(x+1)>0，

原不等式解集為{x|x>2m或x<-1｝;

②當m<0時，不等式(mx-2)(x+1)>0，可化為(x-2m)(x+1)<0，

由于2m與-1無法比較大小，故又分三種情況:

(ⅰ)當2m>-1即m<-2時，原不等式解集為{x|-1

(ⅱ)當2m<-1即-2

(ⅲ)當2m=-1即m=-2時，原不等式可化為(x+1)²>0，原不等式解集為.

綜上所述:當m<-2時，原不等式解集為{x|-1

當m=-2時，原不等式解集為;

當-2

當m=0時，原不等式解集為{x|x<-1｝;

當m>0時，原不等式解集為{x|x>2m或x<-1｝.

(責任編輯 金 鈴)