淺談新課程下數學直覺思維能力的培養

摘要：培養直覺思維能力是社會發展的需要，是適應新時期社會對人才的需求。

關鍵詞：對數學直覺思維的認識和培養

我們在注重邏輯思維能力培養的同時，還應該注重觀察力、直覺力、想象力的培養。特別是直覺思維能力的培養，由于長期直覺思維得不到重視，學生在學習的過程中認為數學是枯燥乏味的，對數學的學習缺乏取得成功的必要的信心，從而喪失數學學習的興趣。過多地注重邏輯思維能力的培養，不利于思維能力的整體發展。培養直覺思維能力是社會發展的需要，是適應新時期社會對人才的需求。

一、對數學直覺思維的認識

1. 直覺是發明的源泉

偉大的數學家、物理學家和天文學家彭加勒說：“邏輯用于證明，直覺用于發明?！鼻疤K聯科學家凱德洛夫更明確地說：“沒有任何一個創造性行為能離開直覺活動?！敝庇X思維就是指人們不受邏輯規則約束直接領悟事物本質的一種思維方式。數學直覺思維是直接反映數學對象、結構以及關系的思維活動。思維者不是按部就班地推理，而是對思維對象從整體上進行考察，調動自身的全部知識經驗，通過豐富的想象作出的敏銳而迅速的假設，猜想或判斷，跳過若干中間步驟或放過個別細節而直接把握研究對象的本質和聯系。

2. 數學直覺思維的表現形式

數學直覺思維的表現形式是以人們已有的知識、經驗和技能為基礎，通過觀察、聯想、類比、歸納、猜測之后對所研究的事物作出一種比較迅速的、直接的綜合判斷，它不受固定的邏輯約束，以潛邏輯的形式進行。例如，等腰三角形的兩個底角相等，兩個角相等的三角形是等腰三角形等概念、性質的界定并沒有一個嚴格的證明，只是一種直觀形象的感知。而直覺的研究對象則是抽象的數學結構及其關系。龐加萊說：“直覺不必建立在感覺明白之上。感覺不久便會變的無能為力。例如，我們仍無法想象千角形，但我們能夠通過直覺一般地思考多角形，多角形把千角形作為一個特例包括進來。”由此可見直覺是一種深層次的心理活動，沒有具體的直觀形象和可操作的邏輯順序作思考的背景。正如迪瓦多內所說：“這些富有創造性的科學家與眾不同的地方，在于他們對研究的對象有一個活生生的構想和深刻的了解，這些構想和了解結合起來，就是所謂‘直覺’，因為它適用的對象，一般說來，在我們的感官世界中是看不見的。”

3. 數學直覺思維能力的提高有利于增強學生的自信力

數學直覺思維具有個體經驗性、突發性、偶然性、果斷性、創造性、迅速性、自由性、直觀性、自發性、不可靠性等特點。成功可以培養一個人的自信，直覺發現伴隨著很強的“自信心”。從馬斯洛的需要層次來看，它使學生的自我價值得以充分實現，也就是最高層次的需要得以實現，比起其他的物資獎勵和情感激勵，這種自信更穩定、更持久。布魯納認為學習的最好刺激是對教學材料的興趣。當一個問題不用通過邏輯證明的形式而是通過自己的直覺獲得，那么成功帶給他的震撼是巨大的，內心將會產生一種強大的學習鉆研動力。高斯在小學時就能解決問題“l+2+…+99+l00=?”，這是基于他對數的敏感性的超常把握，這對他一生的成功產生了不可磨滅的影響。

數學直覺思維還有利于提高學生的思維品質。直覺思維具有快速性，迅速肯定或否定某一思路或結論，給人以“發散”“放射”的感覺，一計不成又生一計。因此，加強直覺思維能力的訓練，對克服思維的單向性，提高思維品質是有利的。

二、數學直覺思維的培養

一個人的數學思維，判斷能力的高低主要取決于直覺思維能力的高低。徐利治教授指出：“數學直覺是可以后天培養的，實際上每個人的數學直覺也是不斷提高的?！睂τ谝粋€專業的數學工作者來說，他所具有的數學直覺顯然已不再是一種樸素意義上的原始直覺，而是一種精致化了的直覺，也即是通過多年的學習和研究才逐漸養成的。

扎實的基礎是產生直覺的源泉。迪瓦多內一語道破了直覺的產生過程：“我以為獲得‘直覺’的過程，必須經歷一個純形式表面理解的時期，然后逐步將理解提高、深化?！薄爸庇X”不是靠“機遇”，直覺的獲得雖然具有偶然性，但決不是無緣無故地憑空臆想，成功孕育于1％的靈感和99％的血汗中。阿提雅說：“一旦你真正感到弄懂了一樣東西，而且你通過大量例子以及通過與其他東西的聯系取得了處理那個問題的足夠多的經驗。對此你就會產生一種關于正在發展的過程是怎么回事以及什么結論應該是正確的直覺?！?/p>

1. 注重整體洞察，培養學生的整體直覺思維和觀察能力

直覺思維不同于邏輯思維，直覺思維是綜合的而不是分析的，它依賴于對事物全面和本質的理解，側重于整體上把握對象而不拘泥于細節的邏輯分析，它重視元素之間的聯系、系統的整體結構，從整體上把握研究的內容和方向。觀察是信息輸入的通道，是思維探索的大門。沒有觀察就沒有發現，更不能有創造。中學數學教學中圖形的識別，規律的發現以及理解能力、記憶能力、抽象能力、想象能力和運算能力等都離不開觀察。在觀察之前，要給學生提出明確而又具體的目的、任務和要求。指導學生從整體上觀察研究對象的特征，比如對于三角問題指導學生從角、函數名和形式進行觀察，注意幫助學生養成自問和反思的習慣，努力培養學生濃厚的觀察興趣。

2. 重視解題教學，注重培養學生數形結合思維

華羅庚說過：“數缺形時少直覺，形缺數時難入微?！蓖ㄟ^深入的觀察、聯想，由形思數，由數想形，利用圖形的直觀誘發直覺，對培養學生的幾何直覺思維大有幫助。教師應該把直覺思維在課堂教學中明確提出，制定相應的活動策略。重視數學思維方法的教學，諸如換元、數形結合、歸納猜想、反證法等，通過方法論的分析使數學中的發明、創造活動成為“可以理解的”“可以學到手的”和“可以加以推廣應用的”，以思想方法的分析去帶動具體知識內容的教學。教學中選擇適當的題目類型，有利于考察和培養學生的直覺思維。

3. 注重引導學生進行合理猜想，培養歸納直覺思維

歸納直覺是一種非邏輯思維，它需要有“理智的勇氣”“精明的誠實”“明智的克制”。在數學解題中，運用歸納直覺，雖然是冒風險的，但仍然值得重視。猜想是由己知原理、事實，對未知現象及其規律所作出的一種假設性的命題。在我們的數學教學中，培養學生進行猜想，是激發學生學習興趣，發展學生直覺思維，掌握探求知識方法的必要手段。作為一個教師，我們不僅應當注意“保護”學生已有的猜想能力和直覺能力，而且應更加注意幫助學生學會合理的猜想方法，并使他們的直覺思維不斷得到發展和趨向精致?！耙睂W生大膽設問；“引”學生各抒己見；“引”學生充分活動。

4. 注重滲透數學審美觀念，培養審美直覺思維

美的意識能喚起和支配數學直覺?？v觀古今，數學上的許多發現和創舉無論從宏觀還是微觀上看無不遵循美的創造規律。難怪數學大師阿達瑪認為，數學直覺的本質是某種“美感”或“美的意識”。美感和美的意識是數學直覺的本質。

5. 注重滲透數學的哲學觀點，加強在其他學科中應用的意識，提高信息處理能力

直覺的產生是基于對研究對象整體的把握，而哲學觀點有利于高屋建瓴地把握事物的本質。這些哲學觀點包括數學中普遍存在的對立統一、運動變化、相互轉化、對稱性等特點。

在教學中，應用數學知識處理各種各樣的信息也是非常重要的。如中考的一道題：如圖，小圓圈表示網絡的節點，節點之間的連線表承它們有網線相連。連線標注的數字表示該段網線單位時間內可以通過的最大信息量。

現從節點A向節點B傳遞

信息，信息可以分開沿不同

的路線同時傳遞。則單位時

間內傳遞的最大信息量為（ ）。

首先引導學生直覺地意識到單位時間內傳遞的最大信息量應為每條線路單位時間內傳遞的最大信息量之和，又每條線路中收到的信息量不超過每相鄰節點間可以通過信息量的最小值。因而最大信息量為3+4+6+6=19。

數學是一門滴水不漏的學科，許多直覺洞察的空隙必須要用邏輯推理來填補。對于直覺與非形式的強調是無可非議的，但是我們并不能以此去取代數學證明，而只能作為后者的必要補充。而“如果在解決問題的過程中總是滿足于不加證明的猜測，他們很快就會忘記在猜測與證明之間的區分”，而后者甚至可以說比根本不知道如何去解決問題更糟。直覺思維與邏輯思維同等重要，偏離任何一方都會制約一個人思維能力的發展。伊思·斯圖爾特曾經說過這樣一句話，“數學的全部力量就在于直覺和嚴格性巧妙地結合在一起，受控制的精神和富有靈感的邏輯。”受控制的精神和富有靈感的邏輯正是數學的魅力所在，也是數學教育者努力的方向。

（肇東綜合職教中心）