曲線上的點到直線之距的最值問題

在解析幾何中，曲線上的點到直線的最短(長)距離或求動點到直線的最短(長)距離，是我們經常遇到的一個難題，要解決它，可以從兩方面入手:可歸結為求函數的最值問題;可借助于圖形的性質。以下是我針對以上兩點舉例說明。

例1:求曲線x=2cosθy=2sinθ(θ為參數)上一點到直線y=5-x的距離的最小值。

方法一:用函數的最值問題來解決。

解:∵點A坐標為(2cosθ，2sinθ)，直線方程為x-y-5=0。

∴利用點到直線的距離公式可以得到

d==

當30°-θ=90°時sin(30°-θ)=1，此時d有最值dmin==

方法二:借助圖形，即利用數形結合的方法。

解:把參數方程x=2cosθy=2sinθ化為一般式，

消參得到方程2+2=1

即為+=1

如圖1:虛線為與橢圓相切且與直線y=5-x平行的直線，而此直線與y=5-x之距即為所求。

設虛線的直線方程為y=x+b

∴+=1y=x+b

化簡得4x2+2bx+b2-12=0

∵相切∴△=0

∴b=±4

由圖可知b=-4

∴圖中兩直線之距為d==

∴dmin=

例2:曲線c是中心在原點，焦點在X軸上的雙曲線的右支，已知它的右準線方程為λ∶x=，一條漸近線的方程為y=x，線段PQ是過曲線c右焦點F的一條弦，R是弦PQ的中點:①求曲線方程; ②當點P在曲線c上運動時，求點R到y軸距離的最小值。

解:①用待定系數法

設曲線c的方程-=1(x≥)，其中λ>0

則它的右準線方程為x===∴λ=1

故所求曲線c的方程為x2-=1 (x≥1)

②方法一:由①知，曲線c的右焦點F的坐標為(2，0)，若弦PQ的斜率存在，則弦PQ的方程為y=k(x-2)。

代入雙曲線方程得(3-k2)x2+4k2x-4k2-3=0。

設點P(x1，y1)，Q(x2，y2)

由△>0x1+x2=>0x1x2=->0，解得k2>3

點R到y軸距離|xR|===2+>2

而當弦PQ的斜率不存在時，點R到y軸之距|xR|=2。

∴點R到y軸的最短距離為2。

方法二:R為P，Q的中點，我們可以先求出R點的軌跡方程，再求距離的最小值。

∵F2(2，0)，∴直線PQ的方程設為y=k(x-2)=kx-2k。

∴由x2-=1y=kx-2k整理得(3-k2)x2+4k2x-4k2-3=0

∴x1+x2=同理得y1+y2=

∴中點R的坐標為x=，y=

消k得到中點R的軌跡方程為 (x-1)2- =1(x≥1)

圖2為中點R的軌跡方程所對應圖形，

從圖中可以看出它到y軸的最短距離為它

的頂點到y軸之距。

∵頂點坐標為(2，0)

∴R到y軸的最短距離為dmin=2

綜上所述，要解決曲線上的點到直線距離的最值問題，既可以用代數方法，也可以用幾何方法，當然也可以用到數形結合的方法。而要掌握這些方法，就需要我們在平時的學習中不斷的積累學習經驗。

(拉薩市第二高級中學)