論多元微分學中重要概念之間的相互關系
2010-12-31 00:00:00姚宗靜余強
現代商貿工業 2010年9期
摘 要:總結有關多元函數微分學中幾個重要概念的關系，通過理論或反例驗證多元函數的連續、偏導數、可微等概念之間的關系，對有效的理解和掌握多元微分學起到重要作用。
關鍵詞:連續;偏導數;可微分
中圖分類號:O172
文獻標識碼:A
文章編號:1672-3198(2010)09-0211-01
1 問題的提出
多元函數是一元函數的推廣，學習多元函數微分學，一定要弄清連續、偏導數、全微分之間的關系，才能更好地掌握和使用這些基本概念。本文通過作者幾年的教學實踐經驗，以二元函數為例，總結和完善了多元微分學幾個概念間的關系和實例說明，以便給廣大教師提供更有價值的參考，同時若能給正在學習的新生和正在考研的學生以點撥，將會起到很大的效果。
2 幾個重要概念間的相互關系及其反例
本節首先對教材中的結果，以定理的形式加以總結，使結論更加簡潔明了。并以推論的形式給出了二元函數在點(x0，y0)處連續、偏導數、可微間的關系，并給出具有代表性的例子以驗證推論的正確性，使結果更加具有說服力。
定理1若函數z=f(x，y)在點(x，y)處可微，則函數z=f(x，y)在點(x，y)處
(1)連續;
(2)偏導數存在，且dz=zxdx+zydy
說明:這個定理給出了全微分存在的必要條件，作為教材上的結果，本文不再加以證明。與一元函數不同，這些條件都不是充分條件。由此得到以下七個推論:
推論1:對多元函數，連續未必偏導數存在，從而也未必可微。
反例:函數f(x，y)=|x|，在(0，0)點顯然連續，但fx(0，0)卻不存在。
推論2:對多元函數，偏導數存在未必連續。
例如:函數
f(x，y)=xyx2+y2，x2+y2≠00，x2+y2=0
依定義知在(0，0)處，fx(0，0)=fy(0，0)=0但函數在該點處并不連續.
推論3:偏導數存在未必可微。
例如:函數
f(x，y)=xyx2+y2 x2+y2≠00 x2+y2=0
依定義知在(0，0)處，fx(0，0)=fy(0，0)=0但函數在該點處并不可微。說明如下:
Δz-[fx(0，0)#8226;Δx+fy(0，0)#8226;Δy]=Δx#8226;Δy(Δx)2+(Δy)2)，
P′(Δx，Δy)如果考慮點沿著直線y=x趨近于(0，0)，則
Δx#8226;Δy(Δx)2+(Δy)2ρ=Δx#8226;Δx(Δx)2+(Δx)2=12，
說明它不能隨著ρ→0而趨于0，當ρ→0時
Δz-[fx(0，0)#8226;Δx+fy(0，0)#8226;Δy]≠O(ρ)，
因此函數在點(0，0)處不可微。
盡管偏導數存在未必可微，但在偏導數都存在且連續的時候函數一定可微。即
定理2:若函數z=f(x，y)在點(x，y)處偏導數存在且偏導數連續，則函數z=f(x，y)在點(x，y)處一定可微。
推論4:函數f(x，y0)在點x=x0連續，函數f(x0，y)在點y=y0也連續，但函數f(x，y)在點(x0，y0)不一定連續。
例如:f(x，y)=0 xy≠01 xy=0.在原點就是這樣。
3 結束語
正是因為由函數在某個方向上的極限存在性，并不能推出其二重極限的存在性，導致了二元函數諸多關系的復雜性。事實上，關于二元函數在點(x0，y0)處極限、連續、偏導數、可微、方向導數間的關系，可以看到反例的討論基本都在轉折點(特殊點)處。這與我們所學知識是依存的，在學習每個概念的初始階段，我們都在強調，對于特殊點處的性質，只能按照定義去進行討論，因特殊點處是最容易出現以外的地方。
參考文獻
[1]華東師范大學數學系.數學分析[M].北京:高等教育出版社，2001.
[2]裴禮文.數學分析中的典型問題與方法[M].北京:高等教育出版社，2003.
[3]何鵬，俞文輝，雷敏劍.二元函數連續、可偏導、可微等諸條件間關系的研究[J].南昌高專學報，2005，(6).
[4]全生寅.多元微分學中幾個重要概念間的因果關系[J].高等數學研究，2004，(3).
[5]徐屹，趙曉萍.多元微分學中幾個概念間的關系[J].東北電力學院學報，2005，25(4).
