福建省高考課標卷中函數試題的分析與思考

函數是高中數學的主要內容，是學生進一步學習數學的基礎，能充分體現數學的思想方法，體現出數學的廣泛的應用性和人文價值，函數部分的內容包含函數的概念與性質、初等函數的圖像與性質、導數及其應用三大塊，根據所涉及的函數類型，除了對初等函數(一次、二次、三次函數、一、二次分式函數、冪函數、指數函數、對數函數、三角函數)進行研究外，還拓展到對抽象函數、分段函數、初等函數的四則運算函數及復合函數的研究，函數部分的核心問題是函數的圖像和性質，函數的一般概念和性質則提供基本定義和基本研究工具，導數也是作為函數的研究工具存在，研究函數的一般思路是根據不同的函數采用不同的具體方法，大體可分成抽象函數、初等函數、復合函數、初等函數的四則運算函數等四大類的研究方法。

近年來隨著課標課程對學生學習主動性、探究性要求的提高，在高考命題上，相應地對數學的綜合性、探究性的考查也有所加強，除了隨機性地考察單一的函數知識點外，把各函數知識點與其它知識點進行綜合考察已成為高考考查學生數學能力的一個主要方式，因此下面將主要考察與函數相關的知識點之間有哪些類型的結合方式及其考查目標。

1、函數試題分類、整理、分析

1.1 選擇題、填空題

去年(理1)兩個三角函數積的最小值、(理4)余弦函數的定積分、(理5)四種函數(反比例、二次、指數、對數函數)的單調性(單調性新定義)、(理10)二次函數的零點分布、(理14)三次函數與對數函數的和函數的切線性質及函數零點存在性。

今年(理4)分段函數(二次、對數函數)的零點存在、(理10)多種函數(二次、冪、指數、對數函數及其四則運算函數)的“分漸近線性質”(性質新定義)、(理14)兩個三角函數的對稱軸與值域的比較，(理15)新函數(一次函數按指數型規律定義生成)的函數性質研究。

通過試題表述比較可發現：

(1)把兩個甚至多個初等函數通過四則運算、分段、生成的方式，或形成新函數，或引入新性質等進行綜合研究，其中去年(理10)、今年(理15)兩試題中的函數是復合函數的一種新的變化形式。

(2)新函數或新性質的引入定義，主要是或以比教材更加數學化、抽象化、一般化的形式表述，如用邏輯語言“任意”“存在”、文字語言用數學符號代替等，或是把教材中直觀描述的一些“邊緣”函數性質(如漸近線、夾值、凹凸性、拐點等)給予嚴謹的數學形式表述，大大增強了試題的高數含量。

(3)函數性質考查在去年試題中一般為每題為1至2個，在今年試題中則變為多個性質同時考查。

(4)為了控制選擇、填空試題的難度，采用一個函數多個性質、或多個函數一個性質，較少多個函數多個性質綜合，最多2個函數2個性質。

通過試題解題過程比較可發現：

(1)新函數或創新函數性質問題的解決，首要的任務是數學符號、數學用語的理解，用以考查學生基本數學素養，在此基礎上或采用特殊值法，或采用歸納法，或采用轉化法、或采用類比法，用以考查學生的數學基本知識、基本方法的掌握程度和數學能力，也就是把對基本函數掌握程度的考查置于新環境且有一定綜合的復雜的情境中進行，考查學生利用已有知識理解新問題，并轉化成常規問題，達到解決新問題的能力。

(2)一個函數多個性質的試題一般考查學生對函數性質的理解程度，考查學生對基本函數研究方法的掌握程度，特別地，表面上是考查1個函數1個性質的試題，比如去年(理10)，并不是簡單地考查學生對函數基本性質的理解，而是會隱含多個函數性質之間的綜合應用，如函數的奇偶性與對稱性，函數對稱性與零點分布、函數對稱性與單調性、函數單調性與極值等，當然為了控制試題難度，往往用到的性質為2-3個。

(3)多個函數1個性質的試題一般考查學生對各個函數的圖像性質，特別是對稱性、周期性、極限位置等的掌握程度。

(4)相比于課標課程之前以及其他省市的試題，函數圖像的直接考查較少。

1.2 解答題

去年(理20)以3次函數為背景，考查利用導數研究函數單調性、切線，考查對直線與線段的相交情況的探究。

今年(理20)以3次函數為背景，考查利用導數研究函數單調性，考查利用積分求解曲邊多邊形面積。

通過試題表述比較可發現：

(1)課標課程的2年涉及的函數解答題都是以簡單的3次函數為背景，綜合考查學生對導數、積分在研究函數性質中應用。

(2)為了提高得分率或降低難度而增加了第1小問求函數的單調區間，這也體現了導數在求函數單調區間中的工具性，以及函數單調性在研究函數性質中的關鍵性。

(3)試題都是以3問形式出現，第(2)、(3)問以函數圖象性質的存在性、唯一性等探究性問題為主，考查學生運用類比法和歸納法提出數學結論的能力，考查學生運用導數、積分工具對結論進行論證的能力，去年(理20)題導數的應用主要是利用函數單調性、極值研究函數零點存在性的綜合應用，提高要求層次到運用二階導數對切線函數及原函數性質的研究，今年(理20)題則考查了積分的應用(求封閉圖形的面積)，(2)(3)兩問的兩個層次的考查區別在于對不同復雜程度的函數利用相同的積分方法求面積。

通過試題解題過程比較可發現：

(1)2年的函數解答題都是整卷的壓軸題，難度體現在從或復雜、或深刻的問題中發現問題、解決問題的能力，凡是能夠在有限的時間里能夠完整解答的，對于函數解答題的解題思路除了要求清晰外，還要根據解題過程中的類似的、相同的求解求證方法，能采用同理可得、同理可證的數學類比的思維方式，達到簡化解題過程、降低復雜程度的效果，這是建立在學生對數學深刻認識基礎上，有較高數學素養的一種顯著表現，體現了壓軸題對于數學區分度的重要作用。

(2)導數、積分成為壓軸題的主要組成部分，要求學生能夠深刻理解導數、積分的幾何意義，并能進行準確、快速的計算，在較高層次上考查學生對數學中幾何代數相互轉化的掌握程度，考查學生對數形結合數學思想方法的理解程度。

1.3 與函數知識點有關聯的試題

去年(理18)第二問以應用題為背景，求兩折線段長之和的最大值；(文22)以橢圓為背景的線段長最小值問題；

今年(理3)求數列前n項和的最小值；(理7)求兩向量數量積的取值范圍；(理8)求線段長的最小值；(理18、文20)以幾何體體積為背景的幾何概率最大值問題；(理19、文21)以應用題為背景，兩點間距離最小值問題；(理21-(3)不等式選做)絕對值函數不等式問題；

通過試題表述比較可發現：

(1)與函數有關聯的試題，從簡單的基礎題到綜合程度較高的難題均有分布。

(2)與函數有交叉知識點的試題，一般以其他知識點為問題背景，以求最值和取值范圍這兩個函數知識點設問的題型結構出現。

通過試題解題過程比較可發現：

(1)求最值或取值范圍的問題，這兩年的考查，主要從代數法的角度上思考，通常要先把問題轉化成代數式、函數解析式、不等式、方程，再利用不等式性質或函數性質求出相應量的最值或取值范圍；而從幾何角度上直接思考最值或取值范圍的情況較少涉及；

(2)這類與函數有關的問題，主要考查學生對于運動變化關系的理解和轉化，變量選擇的不同，導致了問題是否能得到解決，以及解決的難易復雜程度，因此這類題型考查了學生對于其他知識點與函數知識(特別是最值)之間交叉關系的觀察、判斷、轉換的熟悉程度。

(3)這類題型一般所涉及的轉換只有一層轉換，很少涉及兩層及多層轉換。

2、結論與建議

2.1 基本結論

(1)基本初等函數的考查幾乎不再進行單一考查，而是通過分段函數、新定義概念等題型對基本函數進行考查，解決函數類型覆蓋問題，這類問題的考查可以說是在橫向上對函數的基本知識進行全面考查。

(2)最值問題是高考試卷中多次出現的問題，取值范圍問題實際上也可轉化成最值問題，除了函數的最值在應用題中得到考查外，更多的是把最值的意義推廣到數列、立體幾何、概率、解析幾何等問題中，解題方法除了用圖象法和求導法外，還應用了比較法、基本不等式法等方法，這類考查可以說是在縱向上對函數知識的應用、函數的思想方法進行深入考查。

(3)函數性質的研究方法，如果把它大約分成基本概念法和導數積分法，那么把兩者結合起來，靈活應用于函數研究，就是函數的最高要求了。

(4)函數的圖象在這兩年的試卷中減少了直接考查，函數的圖象存在于對函數性質的描述中。

2.2 教學建議

(1)初等函數的定義要引起高度重視，對于一般化的線性函數、指數型函數、對數型函數、周期型函數等概念，首先要從形式上掌握初等函數的定義，并在熟練掌握函數的圖象、性質后，通過比較、歸納，抽象出一般化的概念，然后再對抽象函數進行深入研究。

(2)以絕對值函數為例，形成分段函數性質的一般研究方法，分段函數可以看成各段函數的“并集”，而每一段函數實際上就是一個帶有限制定義域的函數，因此要掌握好分段函數，需要掌握帶限制定義域的函數的研究，會懂得把分段函數“分”成幾個帶限制定義域的函數，進一步在此基礎上，理解函數的“并”所帶來的函數性質的變化，能把得到的分段函數的性質用準確的數學語言表達出來，從這個角度看，分段函數對于學生的數學基礎知識的掌握程度和數學思維能力的要求是比較高的。

(3)以初等函數的研究為例，形成研究函數的一般方式和方法，熟練掌握特殊值、特殊點、特殊函數法，熟練掌握函數性質的幾何圖形特點和代數語言特點，并能進行相互轉換，以此不斷提高學生對于函數思想方法的理解和應用能力，不斷提高學生對于數形結合數學思想方法的理解。

3、思 考

3.1 如果把函數概念作為考察的中心，函數概念的生成過程就是一個數學建模過程，從實際問題抽象形成數學符號的過程，而函數性質以及與其他知識的交匯就是形式化的數學推演，從近幾年的高考函數試題特別是理科試題看，大有弱化前者深化后者的趨勢，雖然從選拔的角度看，這樣的試題所篩選出的學生數學能力特別是“純”數學能力更強，但是畢竟絕大部分學生以后所要從事的是應用數學，而非純數學研究，這樣的命題導向會導致弱化數學與其他學科、學生生活實際的聯系，弱化數學來源于生活又應用于生活這一數學本源，這種趨勢是否與課標課程理念相背離?

3.2 從兩年的高考應用題實測情況看，應用題確實是中國學生的弱點，屬于一考就倒的情況，但高考試題是否能因為函數應用題的實測難度大而放棄?能否通過一題多問來降低應用題難度，從而達到考查學生的數學應用能力?

3.3 作為考察學生數學能力的方式之一知識交匯點命題，是否只在各數學知識塊之間進行?能否以生活實際情境為背景，進行函數與其他知識塊的交匯，進而全面提高對函數意義的考查?

參考文獻：

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