破解利用導數研究函數單調性的幾個著眼點

導數是近代數學的重要基礎，它體現了近代數學中的“逼近——極限”這一數學思想，是聯系初、高等數學的紐帶。它的引入為解決中學數學問題拓展了新的視野， 是研究函數性質、證明不等式、探求函數的極值與最值、求曲線的斜率和解決一些物理問題的有力工具。導數方法與初等方法相比，對解題技巧的要求較低，具有一定的可操作性。因此，它作為一種有效的工具，成為高中數學課程的必選內容，同時也是高考命題的熱點。筆者現就利用導數來研究函數的單調性結合具體實例予以介紹。

一、 分類討論法

例1 ：已知a是實數，函數f(x)=x2(x-a)，x∈[0，2]，試研究函數f(x)的單調性。

分析：此題研究函數在給定區間上的單調性，因含有參數，需進行必要的討論。解：f(x)=x3-ax2，x∈[0，2]，∴f'(x)=3x2-2ax=3x(x-)。 （1）當≤0即a≤0時，f'(x)≥0恒成立，所以函數f(x)在[0，2]上單調遞增；（2）當>0即a>0時，令f'(x)>0，得x>。①當≥2即a≥3時，f(x)在[0，2]上單調遞減；②當<2即0

二、 直接定號法

例2 ：已知函數f(x)=x2-alnx在(1，2]上是增函數，g(x)=x-a在(0，1)上是減函數。（I）求f(x)，g(x)的表達式；(II）當b>-1時，若f(x)≥2bx-在x∈(0，1]內恒成立，求b的取值范圍。

分析：（I）中建立兩不等式，利用夾逼思想可解決。 (II）中是一道恒成立問題，構造函數φ(x)后我們發現不等式φ(x)>0不可解，常規方法在這里行不通，但通過觀察與計算發現，φ(x)可直接定號，此法就起到了“柳暗花明又一村”的作用。解：（I）f'(x)=2x-依題意f'(x)>0，x∈[1，2]即a<2x2，x∈[1，2]。而2x2>2，∴a≤2，又g'(x)=1-，依題意g'(x)<0，x∈(0，1)即a>2，x∈(0，1).而2<2，∴a≥2② 由①②得a=2。∴f(x)=x2-2lnx，g(x)=x-2。（II）設φ(x)=x2-2lnx-2bx+ ，則φ'(x)=2x--2b-=2(x-)-2(+b)=2-2(+b)。因為x∈[0，1]，b>-1，∴2≤0，+b>-1=≥0，∴-2(+b)<0。∴φ(x)<0恒成立，∴φ(x)在（0，1]在上為減函數，∴φ(x)min=φ(1)=1-2b+1≥0，解得b≤1，又因為b>-1，所以-1

三、 二次求導法

例3： （2010年安徽高考題第 17題）設a為實數，函數f(x)=ex-2x+2a，x∈R。(Ⅰ)求f(x)的單調區間與極值；(Ⅱ)求證：當a>ln2-1且x>0時，ex>x2-2ax+1。

分析：（Ⅰ）中可通過解不等式求函數單調區間。 (Ⅱ)中構造函數g(x)后我們發現不等式g(x)>0不可解，直接定號法也失去了它的效用，因此考慮二次求導法，有利于問題解決。解：(Ⅰ)由題意知，f'(x)=ex-2，令f'(x)>0得x>ln2，∴f(x)在區間(ln2，+∞)上遞增，在區間(-∞，ln2)上遞減。且當x=ln2時，(f(x))極小值=2-2ln2+2a，無極大值。(Ⅱ)當x>0時，令g(x)=ex-x2+2ax-1，∴g'(x)=ex-x2+2a 。由(Ⅰ)知，(g(x))min=2-2ln2+2a>2-2ln2+2(ln2-1)=0，∴g'(x)>0在，即g(x)在(0，+∞)上遞增，又g(0)=0，∴x>0時，g(x)>g(0)，即ex-2+2ax-1>0，∴ex>x2-2ax+1。評注：本題若將第一問去除，則給解題增加不少難度。不少同學都知道構造函數利用導數去求函數的單調增、減區間，但該題中不等式g'(x)>0不可解，所以我們考慮二次求導，目的是通過再次求導判斷導函數的符號（恒正），即可得原函數在(0，+∞)上單調遞增，于是問題迎刃而解。

四、 部分求導法

例4:（2010年全國卷2第22題第一問）設函數f(x)=1-e-x。證明：當x>-1時，f(x)≥。

分析：此題常規思維是構造函數，利用導數求新函數的單調區間，此題和上一題一樣遭遇相同困境，無法求出函數的單調區間，且直接定號法，二次求導法均不可行。能否有別的出路？證明：f(x)-=.令g(x)=ex-x-1，∴g'(x)=ex-1，令g'(x)>0，得x>0，∴g(x)在(0，+∞)上遞增，在（-1，0）上遞減。∴g(x)在x=0處取得最小值，因而當x>-1時，g(x)≥g(0)，而g(0)=0，∴ex-x-1≥0，∴f(x)-≥0，即f(x)≥。

總之，利用導數研究函數的單調性是高中階段討論函數“變化”的最基本的方法，教師在教學過程中應注重學生的參與，引發認知沖突，教會學生思考問題，培養學生思維的發散性、靈活性，激發學生獨立思考，培養其探究能力，讓學生充分體驗成功的喜悅。

（南通市天星湖中學）