一種新的復合重心有理Hermite插值方法

摘要：本文用切觸插值連分式對重心有理Hermite插值進行復合，構造出了一種新的復合重心有理Hermite插值方法。與傳統的切觸插值連分式相比，該方法具有更好的靈活性。

關鍵詞：重心有理Hermite插值 復合 逼近

0 引言

有理插值和逼近是非線性逼近的一種典型方法，重心有理插值的研究始于lagrange插值多項式，把有理插值改為重心形式具有許多顯著的優點，如無極點、數值穩定性好等等。切觸有理插值是Hermite插值的一種推廣，1984年W.Werner第一次給出了重心有理插值方法[1，3]，1991年C.Schneider和W.Werner 提出了重心有理Hermite插值方法[2]。重心形式的有理插值方法的獨有優點使得重心有理插值和重心有理Hermite插值成為當前插值問題中的一個研究熱點[4-5]。

1 重心有理Hermite插值

設有理函數r（x） r（x）∈Rn，n，Rn，n為一有理函數集合，其元素是由分子和分母次數不超過n次的多項式構成。給定重心有理Hermite插值公式如下：

對于有序實數對（xi，fi （j）），j=0，1，2…si-1，i=0，1，2…n，當i≠j時，xi≠xj。

2 一種新的復合重心有理Hermite插值方法

2.1 基于切觸插值連分式的復合重心有理Hermite插值方法

設已知x0＜x1＜…＜xn，f （j）（xi）=fi （j），（j=0，1，…，si-1；i=0，1，…，n），為了構造滿足插值條件的復合重心有理Hermite插值公式，我們首先介紹一下文獻[6]中的切觸插值連分式方法：

設x0＜x1＜…＜xn，f （k）（xi）=fi （k），（k=0，1，…，si-1；i=0，1，…，n），則Thiele型切觸插值連分式

滿足Ii(s -1)(k)(xi)=fi(k)，(k=0，1，…，si-1)。其中ai0，ai1，…ai （s -1），（i=0，1，…n）可由Viscovatov算法確定，記cik=f （k）(xi)/k!，該算法可表示如下

ai0=ci0，ai1=1/ci1，aij=ci1 /ci1，（j=2，…，si-1），cik=-，（k=1，…，si-1），cik=c(j-2) -aijc(j-1) ，（k=1，…，si-1），（j=2，…，si-1）。

則基于切觸插值連分式的復合重心有理Hermite插值可構造如下：

其中，節點x0，x1，…，xn對應的插值權wik（i=0，1，…，n；k=0，1，…，si-1）滿足

下面，對公式(3)我們可以證明滿足插值條件。

2.2 滿足插值條件

定理1. 若wi，s -1≠0，則由(3)式得到的r(x)滿足所有插值條件，即

證明 我們先證明si=2的情形:

①首先證r(xi)=f(xi)由(3)式知

所以r(xi)=f(xi)。

同理可證，（i=0，1，…，n，j=1，2，…，si-1）。

3 結論

本文用切觸插值連分式與重心有理Hermite插值進行復合構造出了一種新的復合重心有理Hermite插值函數，該方法既具有連分式所特有的循環、遞歸性質又承襲了重心有理Hermite插值所獨有的算法特性，有利于程序的實現。

參考文獻：

[1]Berrut J.-P.，Trefethen，L.N.，Barycentric Lagrange interpolation. SIAM Rev.46 (2004)501-517.

[2]C.Schneider and W.Werner，Hermite Interpolation:The Barycentric Approach.comp.，46，35-51 (1991).

[3]C.Schneider and W.Werner，Some new aspects of rational interpolation，Math.Comp.，47 (1986)，no.175， 285-299.

[4]Luc Knockaert，Senior Member，A Simple accurate algorithm for barycentric rational interpolation，IEEE Signal processing letters，vol.15，2008:156-157.

[5]HT Nguyen，A Cuyt，OS Celis，Shape Control in Multivariate Barycentric Rational Interpolation.International Conference of Numerical Analysis and Applied Mathematics September 30，2010 Volume1281，pp.543-548.

[6]Herbert E.Salzer，Note on Oscuatory Rational Interpolation，Math.Comp.，Vol.16，No.80 (Oct.，1962)，pp.486-491.

基金項目：本文得到國家自然科學基金(60973050，30570431，60873144)， 安徽省教育廳自然科學基金項目(KJ2009A50，KJ2007B173)，安徽省優秀人才基金，教育部新世紀優秀人才支持計劃 (NCET-06-0555)， 國家863高技術研究發展計劃項目基金(2006AA01Z104) 資助。