線性與非線性單方程時間序列建模在黃金現貨價格預測分析中的實證研究

[摘 要] 由于黃金現貨價格受到諸多經濟及政治因素的影響，其生成過程復雜，難以通過其影響因素的研究來對其進行預測分析。因此，本文試圖從黃金價格本身的時間序列著手，試圖利用線性的ARMA及非線性的GARCH模型族，利用單方程時間序列建模的方法對黃金現貨價格進行預測分析。研究發現線性的ARMA模型和非線性的GARCH-M模型都能較好地進行對倫敦黃金現貨價格進行預測，在研究的樣本中，兩者的向前一步預測誤差分別為0.06%和-0.03%。GARCH-M模型的預測效果較好。此外，還通過使用GARCH模型族分析了倫敦黃金現貨價格的信息不對稱性、風險收益特征和對系統性沖擊的反應，針對性地做出了結論和投資建議。

[關鍵詞] ARMA模型 GARCH模型族 黃金現貨價格 單方程時間序列建模 預測分析

一、前言

黃金作為人類的交易貨幣有著悠久的歷史。在19世紀初至20世紀30年代，世界主要國家實行了“金本位”制度，這不僅增加了黃金在經濟發展中的影響，還在國際貨幣體系的建立中起到了很大的作用。20世紀30年代的經濟危機使金本位制度徹底崩潰。在隨后的布雷頓森林體系中，黃金在流通和國際儲備方面的作用逐漸降低。但由于黃金儲備仍然是這一體系的最后支持，因此各國政府仍然禁止黃金在私人領域的買賣。20世紀60至70年代經濟危機的爆發使得布雷頓森林體系逐漸瓦解。在1976年的《牙買加協議》中，黃金的非貨幣化正式確定。時至今日，黃金仍然存在一定的貨幣職能。這主要體現在當信用貨幣發生危機時，黃金能成為最后支付的手段。同時，黃金仍然是國際貨幣基金組織、各主要國家中央銀行和歐元貨幣體系中占相當比例的官方儲備。

目前，隨著全球黃金市場的發展和信息化技術的應用，黃金的交易更加簡便。歐洲、亞洲、美洲不同時區的黃金交易所使得黃金交易得以24小時進行。黃金已成為重要的金融投資品。

進入2010年以來，隨著歐洲債務危機的加劇和全球通貨膨脹預期的出現，黃金作為保值和風險規避資產逐漸成為投資熱點，其價格在較為劇烈的波動中日趨堅挺。但由于黃金同時擁有商品屬性和貨幣屬性，使得黃金價格的預測變得非常復雜。難以確定黃金價格和哪些經濟和政治因素存在關系。因此，本研究試圖從黃金價格本身的時間序列進行研究，研究其內在的統計學特征，并建立相應的模型進行分析和預測。

下文將首先對特定樣本的黃金價格時間序列的原始數據進行檢驗，建立線性的ARMA模型(Auto-Regressive and Moving Average Model 自回歸移動平均模型)進行預測和分析。再針對建模結果，引入非線性的GARCH模型族(Generalized Autoregressive Conditionally Heteroscedastic 廣義自回歸條件異方差模型)進行預測和分析。最后進行兩者的比較，并得出研究結論。

二、樣本數據來源

本研究的黃金價格樣本數據來源于ECN trade 外匯交易平臺中的倫敦黃金現貨價格的每日收盤價。該價格采用美元/盎司表示，樣本區間為2007年2月1日至2010年7月30日，其中的節假日缺失數據采用線性插值代替，樣本數量是912個。該樣本區間的黃金價格走勢如圖1所示:

從圖一可以發現，在2007年底全球金融危機爆發后，黃金價格走勢呈上升趨勢。在2008年初達到一個區間高點后發生劇烈的波動，直到2008年底重新進入上升通道。從圖中可知，黃金的價格波動比較劇烈，這使得使用線性系統對黃金價格進行建模可能會遭到一定的困難。

黃金價格原始序列命名為GOLD。黃金價格的自然對數命名為LNGOLD。對黃金價格取自然對數是為了研究其收益率的變動。

三、平穩性檢驗和處理

在對黃金價格建模之前，首先要識別時間序列的平穩性。這是因為ARMA模型要求序列具有平穩性的特點。所謂平穩性就是指時間序列的均值和所有自協方差不受時間變化影響，同時要求隨機過程具有有限的均值和方差。

平穩性的檢驗通常使用ADF(Augmented Dickey-Fuller)單位根檢驗。該檢驗的原假設為存在一個單位根，使得序列不平穩。若拒絕原假設，則該序列平穩。對不平穩的時間序列可以采用差分法轉換成平穩序列。在進行ADF檢驗的模型設置時，通過作圖觀察確定是否加入截距項和趨勢項。

LNGOLD的ADF檢驗結果如表1所示，一階差分序列命名為D(LNGOLD):

表1 LNGOLD的ADF檢驗結果

序列檢驗模型設置概率結論

LNGOLD加入截距項和趨勢項P=0.2161不平穩

D(LNGOLD)無截距項和趨勢項P=0平穩

檢驗結果表明，LNGOLD是不平穩的，通過一階差分后，記為DLNGOLD，其為平穩時間序列，滿足ARMA建模的前提條件。

四、ARMA建模

本研究使用Box-Jenkins 方法進行ARMA建模。該方法根據時間序列的自相關函數(ACF)和偏自相關函數(PACF)的特征，確定ARMA(p，q)的自回歸階數p和移動平均階數q。若PACF截尾，ACF拖尾，則可建立AR模型。若PACF拖尾，ACF截尾，則可建立MA模型。若PACF和ACF均是拖尾，則可建立ARMA模型。此時需要對可能合適的模型都進行估計，然后根據模型系數的顯著性和AIC(Akaike information criterion)值確定最合適的模型。AIC值越小的模型越好。同時，還要保證模型的殘差符合白噪音的假設。

DLNGOLD序列的ACF和PACF檢驗結果如表2所示:

1.ACF和PACF的Q統計量都不顯著，一階差分的DLNGOLD可以用來建立模型，不必要進行二階差分。

2.純MA(q)過程的理論ACF應在滯后q期后截尾為0。純AR(p)過程的理論PACF應在滯后p期后截尾為0。這兩個現象都沒有出現，所以DLNGOLD適合于ARMA(p，q)模型。

3.ACF和PACF在滯后6期后迅速衰減，因此考慮p=6，q=6的情況。經過了試驗后，依次建立了如下三個模型:

模型A:

AR、MA倒數根都在單位圓內，AIC=-5.673703，所有Q-stat統計上不顯著。AR(2)、AR(5)、MA(2)、MA(5)和常數項的系數具有統計上的顯著性，其他項系數統計上不顯著。

模型B:

舍去了模型A中統計不顯著的系數，并重新估計了參數。

AR、MA倒數根都在單位圓內，AIC= -5.673343，Q-stat(6)至Q-stat(15)皆具有統計上的顯著性。常數項統計上不顯著，應予以舍去后重新估計參數。

模型C:

AR、MA倒數根都在單位圓內，AIC= -5.673458，Q-stat(6)至Q-stat(14)皆具有統計上的顯著性。

根據ARMA建模的判斷方法，模型A雖然有最小的AIC值，但部分系數不顯著，模型參數存在冗余。模型B常數項不顯著，并且Q統計量表明其殘差不符合白噪音的假設。模型C所以參數都顯著，但Q統計量表明其殘差不符合白噪音的假設。這意味著存在模型所不能解釋的系統性變動。如果只考慮AIC判斷準則和白噪音的假設，模型A較為符合要求。但根據Box-Jenkins方法的模型簡練原則，模型A冗余的參數使其還需要改進。

現在重新觀察DLNGOLD序列的ACF和PACF檢驗結果，可以發現滯后6階的ACF和PACF為單峰突起，因此考慮采用只含有、和常數項的模型，新建立的模型參數估計結果如下:

模型D:

AR、MA倒數根都在單位圓內，AIC= -5.681517，所有Q-stat統計上不顯著。所有參數統計上顯著。

易知，模型D的AIC值最小，殘差符合白噪音假設，該模型能充分反映系統性變動。為保守起見，還進行了其他模型的檢驗，最終確定模型D為最優。

五、ARMA模型預測

為了進一步檢驗模型，利用模型進行向前一步預測。預測結果如表3:

表3:ARMA模型預測結果

時間預測值實際值誤差

2010-8-21182.481181.830.06%

單位:美元/盎司

從表3可以看出，ARMA在短期預測方面非常準確。因此，分析結果認為本研究所建立的ARMA模型可以應用于短期的黃金價格預測。

六、GARCH模型族的檢驗

雖然已經證明了ARMA模型可以有效地應用于短期的黃金價格預測，然而由于黃金價格波動較大，可能存在非線性和條件異方差的現象。ARMA模型只能處理方差不變的線性時間序列，即市場風險恒定的時間序列。在遇到條件異方差的時間序列時，為了更精確地進行預測，需要引入ARCH模型(Autoregressive Conditionally Heteroscedastic 自回歸條件異方差)及其拓展——GARCH模型族。ARCH類模型的核心思想是殘差項的條件方差依賴于它的前期值。作為ARCH模型的拓展，GARCH模型族能較好地描述金融時間序列的異方差問題，成為金融市場分析中廣泛應用的模型。

要檢驗一個模型是否存在自回歸條件異方差的現象，需要進行殘差平方相關圖檢驗。表4是本研究所建立的ARMA模型的殘差平方相關圖:

從表4可以看到，模型殘差平方的ACF和PACF皆在統計上顯著地異于0，因此殘差序列存在自回歸條件異方差的現象。引入GARCH模型進行預測可能可以起到更好的效果。

七、GARCH模型族建模與篩選

本研究對2007年2月1日至2010年7月30日倫敦黃金現貨價格分別建立GARCH、EGARCH、TGARCH、GARCH-M、EGARCH-M、TGARCH-M模型 ，并根據各模型的特性和AIC信息準則確定最優的模型。EGARCH和TGARCH模型都是加入了考慮信息不對稱(即利好消息和利空消息的不同影響)的拓展模型，新的參數用θ表示。當θ<0時，利空消息比利好消息影響更大。GARCH-M、EGARCH-M和TGARCH-M模型，是在基礎模型中進一步考慮了風險和收益率的關系。新加入的參數為ψ，當ψ>0時，風險的增加可以增加收益率。當ψ<0時，風險的增加降低收益率。

各個模型的參數估計及檢驗結果如表5所示:

從表5中可以看出，除了考慮信息不對稱的系數θ不顯著異于0外，各個模型其他的參數都顯著異于0。因此不能拒絕LNGOLD序列不存在信息不對稱的原假設，即利空消息和利好消息能對黃金價格產生比較相同的影響。再考慮表示風險與收益率關系的系數ψ，該系數在所有模型中都顯著不為0，并且為正。因此可以認為黃金價格存在正的風險溢價，但是該溢價水平較低。當市場風險增加1個點時，黃金價格收益率增加大約0.06個百分點。

Engle和Chowdury(1992)證明，若，則沖擊對條件方差的影響是永遠的。本研究中所建立的GARCH模型族皆符合這一特征，這意味著一旦黃金市場出現較大的波動，該波動會產生持久影響。

綜合考慮參數的顯著性及AIC值最小的原則，選定GARCH-M(1，1)模型。

八、ARMA模型與GARCH-M模型預測效果比較

使用GARCH-M(1，1)模型進行向前一步預測，結果如表6所示:

表6 GARCH-M(1，1)模型預測結果

時間預測值實際值誤差

2010-8-21181.4841181.83-0.03%

單位:美元/盎司

對比ARMA模型的預測結果，GARCH-M模型更加精確，誤差僅為ARMA模型的50%。因此可以認為GARCH-M模型在倫敦黃金現貨價格的短期預測方面比ARMA模型更為出色。這與GARCH模型族在預測金融時間序列方面較好的表現是一致的。根本原因可能是倫敦黃金現貨價格存在非線性及自回歸條件異方差性。

九、結論與投資建議

本研究利用ARMA和GARCH-M模型對倫敦黃金現貨價格成功進行了建模，并進行了特征分析和預測，現得出以下主要結論:

1.雖然倫敦黃金現貨價格呈非線性形式，但仍然可以使用線性的ARMA模型進行較為精確向前一步預測。預測誤差小于1%，對指導投資能起到實際作用。當ARMA模型假設了黃金現貨價格在不同時間區間風險恒定，在風險及波動性分析上不能起到實際作用。

2.倫敦黃金現貨價格存在自回歸條件異方差的現象，因此使用GARCH模型族進行建模和預測更為科學。GARCH模型族能充分考慮黃金市場中變動的風險，更符合實際情況。實際GARCH建模和預測結果表明，GARCH-M(1，1)模型的向前一步預測比ARMA模型更加精確。在本研究的樣本中，GARCH-M(1，1)模型誤差僅為ARMA模型的50%。

3.通過建立GARCH模型族，研究發現倫敦黃金現貨價格不存在信息不對稱的情況，利空消息與利好消息能對市場造成相同影響。因此在進行投資活動時，建議對利空和利好消息施加同樣程度的關注。

4.通過建立GARCH模型族，研究發現倫敦黃金現貨價格存在較弱的正風險溢價。因此，若投資者是風險規避者，則不宜進入該市場。

5.GARCH模型族的結構參數α和β的估計值之和接近于1，這說明一旦倫敦黃金市場遭到外部沖擊，如金融危機爆發，則會產生持久的波動影響。這建議投資者應當對影響倫敦黃金市場的重大消息進行著重關注。

參考文獻:

[1] Box G P E， Jenkis G M. Time Series Analysis: Forecasting and Control [M]. San Francisco Press， 1978.

[2]Engle R.F.and M.chowdury， 1992， “Implied ARCH Models from Option Prices”， Journal of Econometrics 52:289-311.

[2][美]沃爾特#8226;恩德斯:《應用計量經濟學-時間序列分析(第2版)》[M].高等教育出版社，2006年6月

[3]張宗新:《金融計量學》[M]，中國金融出版社，2008年9月

[4]潘貴豪 胡乃聯 劉煥中 李國清:《基于ARMA-GARCH模型的黃金價格實證分析》[J]. 黃金，2010年第1期， 第5頁-第7頁

[5]王曉鵬 曹廣超 丁生喜:《基于Box-Jenkins方法的青南高原降水量時間序列分析建模與預測》[J].數理統計與管理，2008年04期，第565頁-第570頁

[6]王方 王倩 童行偉 宋俊峰:《鄭州期貨糖08年9月合約價格的分析與預測》[J].數理統計與管理，2010年02期，第205頁-217頁

[7]張波:《湖北省人均GDP時間序列模型及預測》[J].中南財經政法大學研究生學報，2006年02期，第95頁-第100頁

[8]趙進文 王倩:《上證180指數的GARCH族模型仿真研究——對上證300指數的間接實證建模分析》[J].財經問題研究，2008年03期，第47-第54頁