數學問題解決的教育功能探析

摘要：問題解決是數學教育的中心環節和目的所在，重視問題解決能力是數學教育改革和發展的方向，問題解決教學具有重要的教育功能，能激發對數學的情感，促進學生對數學學習的興趣，形成正確的數學觀。

關鍵詞：數學問題問題解決教學教育功能

20世紀80年代以來，問題解決已成為國際數學教育的一種潮流。什么是數學問題解決呢？美國數學教師全國委員會1980年出版的用以指導80年代學校數學教育的綱領性文件《行動的議程》指出：“問題解決包括數學應用于現實世界，包括現時和將來出現的科學理論與實際服務，也包括解決拓廣數學科學本身前沿的問題；問題解決從本質上說是一種創造性的活動，問題解決能力的發展，其基礎是虛心，是好奇和探索的態度，是進行試驗和猜測的意向”。同時，明確提出了應當以“問題解決作為學校數學教育的中心”，這與波利亞在《數學的發現》中的觀點是完全一致的。波利亞指出“關于數學教學的目標，我有一種老式的想法，即首先和主要的是必須教會那些年青人去思考……”教會思考“意味著數學教師不僅僅應該傳授知識，而且也應當去發展學生運用所傳授的知識的能力：他應當強調由實踐而來的能力，有益地思考方式及應有的思想習慣。”

1988年，發表的美國《21世紀的數學基礎》更是明確提出“數學問題解決是把前面學到的知識用到新的和不熟悉的情景中的過程，而學習數學的主要目的在于問題解決。”

一、數學問題與數學問題解決教學

1.數學問題

張奠宙教授認為，“數學問題”解決中的問題大致可分為以下三類：

一是可以構建數學模型的非常規的實際問題。非常規的問題往往不是純數學化的問題模式，而是一種情境，一種實際需求，只是為了克服實際碰到的困難。數學模型可以有效地描述自然現象和社會現象，數學問題要能夠給學生提供嘗試建立數學模型的機會。所謂建立數學模型，即把研究對象用數學語言和方法表述為具有一定結構的數學體系，讓學生根據觀察和實驗的結果嘗試運數學思想以及歸納、類比的方法得出猜想，然后再進行證明。最后，將經證明正確的結論再回歸到實際情境中去。

二是探究性問題。所謂探究性問題是指通過一定的探索、研究去深入了解和認識數學對象的性質，發現數學規律和真理的問題。這里對于對象之間的數量關系、圖形性質及其變化規律、數學公式、法則、命題、定理等的探索和發現，雖然只是對前人工作的一種重復和再現，但知識形成、發展過程的意義則被學習者重新建構。

三是開放性問題。開放性問題旨在培養學生思維的靈活性、發散性，因而也有利培養學的創新精神、創新意識。

數學問題來源于人類的生產、生活實踐，來源于人們了解自然、認識自然的科技活動。數學問題和數學“問題解決”是數學活動的核心所在，希爾伯特說：“某類問題對于一般數學進展的深遠意義以及它們在研究者個人的工作中所起的作用是不可否認的。只要一門科學分支能提出大量問題，它就充滿著活力；而問題缺乏則預示著獨立發展的衰亡或終止。正如人類每項事業都追求著確定的目標一樣，數學研究也需要自己的問題。正是通過這些問題的解決，研究者鍛煉其鋼鐵意志，發現新方法和新觀點，達到更為廣闊和自由的境界。”

2.數學問題解決教學

數學問題解決一般方法是通過對所給問題的分析，理解問題背景的意義，從中找出它們認識結構中已有數學知識的聯系，在此基礎上構建相關數學模型，使非常規問題變成常規問題，然后運用數學思想、方法及數學知識對建立的數學模型求解，最后再將求解結果返回到實際問題中去進行檢驗。

建立數學模型解決實際問題的一般過程可用框圖表述如下：

數學問題解決教學是通過創設情境，激發求知欲望，使學生親身感受和體驗分析問題解決問題的全過程。它強調使用數學的意識，培訓學生的探索精神，合作意識和實際操作能力。通過問題解決教學能使學生對數學知識形成深刻的、結構化的理解，形成自己的、可以遷移的問題解決策略，從而產生更為濃厚的學習數學的興趣、形成認真求知的科學態度和勇于進取的堅定信念。

關于數學問題解決教學，鄭毓信教授認為：“問題解決”應當成為數學教育的中心環節。數學教育應以幫助學生學會數學地思維作為主要目標，并以“問題解決”促進具體數學知識和技能的學習。對大多數學生來說，解決問題的能力不會“自然而然”地形成，需要長期的、充分的實踐和適當的教學。

二、問題解決教學的教育功能

1.激發對數學的情感，提高學習數學的興趣和品質。

在數學教學實踐中，常常有學生會問：“為什么要學數學，學了數學有什么用？”認為“學習了數學除了應付考試以外沒有任何價值”，許多教師往往會教育學生數學知識很重要，數學方法很有用，但到底有什么用又說不清楚，導致學生對數學缺少情感，對數學學習缺乏興趣。

數學問題具有非常規性、探究性及開放性特征。非常規性的問題往往不是純數學化的問題模式，而是一種情境，一種實際需求，只是為了克服實際碰到的實際困難。學習者親身經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用的過程，在獲得對數學理解的同時，學習者在思維能力、情感態度與價值觀等方面也將會有進一步的發展。

數學問題的探究性特征，決定了學習者對于對象間的數量關系、圖形性質及其變化規律、數學公式、法則、命題、定理等的探索和發現，雖然只是對前人工作的重復和再現，但知識的形成、發展過程被學習者有意義的重新構建。“數學學習過程充滿著觀察、實驗、模擬、推斷等探索性和挑戰性活動。教師要改變以例題、示范、講解為主的教學方式，引導學生投入到探索交流的學習之中。”

通過探究，不僅可以培養學生的數學思維能力、科學探索精神，而且可以使學生在數學學習活動中獲得成功的體驗，從而建立自信心，這對于培育學生形成完整獨立的人格具有重要的作用。

《課程標準》建議教材可以“提供一些開放性（在問題條件、結論、解題策略或應用等方面具有一定的開放程度）的問題，使學生在探索過程中進一步理解所學知識”，許多開放性問題的探討與解決過程會綜合運用許多不同學科的不思想方法，表現出思維的多向性、靈活性和創造性，有利于培養學生的創新精神、創新意識，從而養成思維的靈活性、發散性。

2.促進正確數學觀的建立和形成

所謂數學觀即關于“數學是什么”的問題的具體分析。我們應當樹立這樣的觀念：應把數學看成是人類的一種創造性活動，而不應把數它看成是某些凝固的、僵化的“知識”（包括概念、命題、算法、解題技巧等）的簡單匯集。

就數學活動的具體內容而言，其直接表現形式即可說是“問題解決”。但是，如果從更深的層次去分析，我們則又應當明確強調“模式”的概念在數學中的核心地位。這就是說，在數學中，我們是通過相對獨立的量化模式的建構，并以此為直接對象從事客觀世界量性規律的研究——從而，在這樣的意義上，我也可以說，數學即是“模式的科學”。

另外，數學一向以嚴謹的演繹思維、慎密的邏輯推理將知識和方法展現給世界。課本中演繹性的表述掩蓋了數學知識發生和發展的過程。荷蘭著名數學家弗賴登塔爾說：“沒有一種數學的思想以它被發現時的那個樣子公開發表。一個問題被解決后，相應地發展成為一種形式化的技巧，結果是把求解過程丟在一邊，使火熱的發明變成冰冷的美麗。”數學知識發生和發展的過程充滿著實踐和不斷的反復，在建立一個成熟的結構和理論之前，實踐和歸納起著決定性的作用。數學知識既有演繹的一面，又有實踐的一面，數學的實踐性決定了數學的應用價值。數學以嚴謹的邏輯思維為手段的研究方式充分發揮了人的心智的功能，使數學具備了理性價值。

在問題解決過程中，把數學的形式化的邏輯鏈條恢復為當初數學發明創造的火熱思考，展現數學家的思維過程，讓學生體會到創造過程活的思維，認識到數學正是在猜想、證明、錯誤中發展進化的，數學的進步對傳統觀念的革新，從而激發學生的非常規思維，使他們感受到抓住恰當的、有價值的問題將是激動人心的事情，而問題解決的過程正是上班述過程的縮影或延續，使學生全面理解、正確認識數學。

三、“問題解決”背景下的數學課堂教學

一種普遍認同的觀點，在數學教學中，學生處于主體地位，教師發揮主導作用。問題是如何理解學生的“主體地位”、教師在教學中如何發揮“主導作用”？

傳統的教學是這樣的：先由教師給出問題，學生則被要求去求出解答。學生在從事解題活動時，可以作出如下假設：這一問題具有唯一的、確定的解答，而且這一解答可以用新學過的算法去求得。他們并認定教師將按照他們在表面是否努力工作及在表面上是否成功對他們作出評價。他們還可以認定教師早已知道了答案，而自己則可以通過提問由教師處獲得關于解答的提示；他們可由教師的表情和態度等知道自己是否正沿著正確的道路前進。

與此相對照，美國數學家舍弗爾德給出“解決問題”背景下數學教學的描述是這樣的。教學主要由“全班性的討論”和“分組工作”組成，教師在此則主要是從啟發法和“調節”的高度進行指導的幫助。

具體地說，當全班一起進行工作時，教師的作用就如一個樂隊指揮，即是如何對學生的建議進行協調，而并非是要把學生引向某個事先確定的解法。對于那些學生已經具備了足夠的數學背景的問題，教師的責任主要就在“調節的方面作出示范。”通過啟發引導，使學生認識到：在冒然地投入到解題活動之前，應當首先，弄清題意。另外，在學生關于解題的最初建議確定可行的情況下，教師也應要求學生提出更多的可能的解法。如有三四種不同的建議，這時教師就可以組織學生對應作怎樣的選擇和為什么作這樣的選擇進行討論，并建議學生思考“現在看來這條路是否行得通？我們是否應當試一試其它的途徑？”最后，一旦取得了結果，全班則又應當進行進一步的討論：先是對所已進行的工作進行總結，并指明可以改進的地方；另外，如果在此是采用某一建議而獲得成功，全班則又應當考慮其它建議能否提供不同的解法。另外，在采取“分組工作”的形式時，教師的作用就像是一個“解題教練”。具體地說，在此所涉及的既有啟發法方面的問題，也有“調節”方面的問題。就前者而言，應當注意的是，如果學生有足夠的理由去作某件事，那么無論這是否與啟發性原則相一致，都應讓他們按自己的選擇去作業；而如果缺乏這種充足的理由，教師則可應用啟發法去幫助他們進行選擇。另外，與啟發法相比，“調節”方面的問題應當說是更為復雜的，因為學生的調節行為常常是不明顯的、并且沒有能夠得到足夠的重視。這時，教師應當經常向學生提出以下三個問題：你現在在干什么？你為什么要這樣做？它事實上起到了什么樣的作用？通常在開始時，學生并不能對這些問題做出明確的解答，然而通過一段時間的堅持，學生即能逐步回答這些問題，直到最后逐漸形成向自己提出這些問題的好習慣。

參考文獻：

[1]張奠宙，戴再平.中學數學問題集.上海：華東師范大學出版社.

[2]劉云章，馬復.數學直覺與發現.江蘇教育出版社.

[3]鄭毓信.問題解決與數學教育.江蘇教育出版社.