試論弗賴登塔爾的數學素養觀及對數學課堂教學的啟示

[摘要] 新一輪數學課程改革后，學生數學素養的培養進一步得到重視。從弗賴登塔爾的教育理論出發，對數學素養進行界定，進一步給出新課改下數學課堂教學的實施建議。

[關鍵詞] 弗賴登塔爾 數學素養 數學課程改革 數學課堂教學

弗賴登塔爾是荷蘭著名的數學教育家，它的研究成果和實踐經驗改變了荷蘭數學教育的面貌，同時也極大推動了國際數學教育的發展。尤其是弗賴登塔爾在他的著作《REVISITING MATHEMATICS EDUCATION》提到了學習過程本身不是學習的目的，從中培養的素養才是孩子們一生的方法和技能。這與中國數學新課程改革中強調的“使學生獲得適應未來社會生活和進一步發展所需要的數學知識”的教學目標是一致的。但是，在閱讀了相關的研究論文及論著后，發現對于什么是數學素養，目前還沒有明確的界定。本文通過剖析弗賴登塔爾的數學素養觀，從五個方面界定數學素養，進一步探討它對我國新課改下數學課堂教學的啟示。

一、弗賴登塔爾的數學素養觀

1.表達

數學語言是以數學符號為主要詞匯，表達數學思維的一種科學語言。弗賴登塔爾認為，每一個數學符號都不是干巴巴的，而是富有生命情趣，蘊含豐富的文化意義的。通過對數學文化知識的學習，發現數學的美，“用它特定的符號、詞匯和句法去認識世界?！崩斫鈹祵W的思想方法才是數學語言的真諦。

具體來說，數學語言表達分為兩方面。第一，符號表達。例如，學習集合時，就要學會用圖形語言(Venn圖)、集合語言(列舉法或描述法)描述不同的集合問題;學習函數時，要學會根據不同的需要選擇用圖像法、列舉法或解析法表示函數;學習算法時，要學會用程序框圖及程序語句表示算法過程等。

第二，交流。弗賴登塔爾認為，語言這種工具是為了交流的需要而產生的。交流的開展，使參與者不得不反思自己語言的準確性，從而加深了對數學本身的理解。

2.現實

數學來源于現實，也必須扎根于現實，并且應用于現實，這是弗賴登塔爾的基本思想。而在弗賴登塔爾的現實理論中，“情景問題是最基本、最重要的概念之一。所謂情景問題是指來自學生熟悉的現實生活中的問題，也就是數學常識問題。”同時，弗賴登塔爾指出“數學常識是可靠的、準確的，它不像一些物理現象(通常鐵比木冷，而受熱后鐵就比木熱)會把人引入歧途?！?/p>

數學與現實的密切聯系決定了數學不能太抽象。弗賴登塔爾認為，數學不是少數人的特權，應該是屬于所有人的。M.Fasheh曾經提到:“在脫離現實情景的情況下教授數學，宣稱數學知識是絕對的、抽象的、統一的，這正是導致多數學生在數學學習上的失敗，并最終遠離數學的主要原因”。

那么，數學學習者應該主動從現實生活中抓住有用的常識，把這些常識經過提煉和組織形成一定法則，進而在高一層次里成為常識，即系統化的常識。例如，矩形的周長等于四條邊的和，這是常識，經過提煉組織，矩形周長等于長與寬的和的2倍，這就形成了系統化的常識。數學的學習就是這樣呈現層次性，而學生應該具備從低層次的常識，達到新層次的能力。

3.再創造

弗賴登塔爾指出，學習數學的唯一正確的方法，就是實行“再創造”，其依據是數學常識的可靠性。整個過程就是學生進行“數學化”的過程，即從一個具體的情景問題出發，最終得到一個抽象的數學概念?？煞譃閮蓚€層次:水平數學化與垂直數學化。水平數學化是指由現實問題抽象為數學問題的過程。例如，一個工人要給一間屋子鋪瓷磚，卻不知道屋子的大小，他量出屋子的長是5米，寬是4米，能否得到屋子的大小?數學化的問題為:一個長方形長是5米，寬是4米，面積是多少?垂直數學化是指對已經符號化了的數學問題進一步抽象化的過程，是從“符號”到“概念”的轉化。例如，上述問題，就轉化為長方形的面積等于長與寬的乘積。

由水平數學化到垂直數學化，整個過程都是由學生發現、創造，進而得到結果。這與傳統的將數學當作一個現成的形式理論的教學方法是截然不同的。在這里，教師的任務是引導和幫助學生進行這種再創造工作，而不是把現成的知識灌輸給學生。

目前，數學教學中確實開始重視學生的“發現”過程，然而目前的這種教學方式仍然停留在由教師事先設計好一個個問題，像設置“圈套”似地牽著學生的鼻子走，學生還是處于被動狀態，所以也許可以把這種“發現”過程理解為帶有一定限制條件的“再創造”。而弗賴登塔爾的再創造，學生擁有自由廣闊的天地，各種不同思維、不同方法可以自由發展。教師決不可對內容作任何限制，更不應對其發現作任何預置的“圈套”。

4.反思

反思是自覺地對教學認識活動進行考察、分析、總結、評價、調節的過程。在《標準》中，將學生能否不斷反思自己的數學學習過程，并改進學習方法作為評價標準之一。

弗賴登塔爾指出，反思是數學思維活動的核心和動力，反思也是數學化過程中的一種重要活動。數學的不少發現來自于現實中的常識，而分析常識形成的原因是通向數學化的道路。必須讓學生學會反思，對自己的判斷與活動甚至語言表達進行思考并加以證實，以便有意識地了解行為背后潛藏的實質，進而變潛意識運用數學概念、性質為顯意識運用，變盲目嘗試為有目的、有策略地運用，變機械做題為探究性鉆研。

因此，反思是學生應該具備的一種良好的思維品質。反思包括了一個人對一個問題的認識、理解、探究、整合等多種心理活動。通過反思，人們可以及時調整思維進程，改進思維方法和解決問題的手段，從而提高思維活動的有效性、自覺性和正確性。

5.嚴謹性

數學是嚴謹的。在數學中，每一個定理、公式都要嚴格地從邏輯上加以證明以后才能夠確立;數學的推理步驟必須嚴格遵守諸法則，每一個步驟都是在邏輯上準確無誤的。然而，這樣一個問題，中獎率為1/1000的彩票，買1000張卻不一定中獎。這是否說明數學不是嚴謹的呢?答案當然是否定的。那么，在具體運用時，如何正確把握數學的嚴謹性，如何判斷所學的數學是否嚴密呢?弗賴登塔爾指出，嚴謹性應該是相對的，必須根據具體的問題做出判斷。

例如，統計人數、統計交通事故數，只要精確到個位數字即可;統計財政收支、消費品零售額(以億元為單位時)，通常精確到十分位或者百分位;而銀行的存款月利率卻要精確到千分位等。因此，嚴謹性有不同的級別，每個題材有適合于它的嚴謹性級別。因此，在量化數學的過程中，學生應該具備在現有水平上，根據不同的目的，不同級別，理解并獲得自己的嚴謹性，準確量化數學的能力。

二、弗賴登塔爾的數學素養觀對新課改下數學課堂教學的啟示

弗賴登塔爾的數學教育思想，不僅有了在荷蘭的成功實踐，并在美國等其它國家內得到嘗試。在我國的數學課程改革中，弗賴登塔爾的數學素養觀值得我們參考和借鑒。以上是對數學素養的界定，那么，如何在課堂教學中逐步培養學生的數學素養，這里給出幾點建議:

1.教學對象的轉變

摒棄只為少數人升學而進行的教學，分數不再是評價學生的唯一標準;我們要將數學教給所有的人。因此，在數學教學中，要堅持“構建共同基礎，關注個性選擇”的原則。

首先讓學生獲得必需的數學，滿足未來公民的基本數學需求。然而，每個人都有自己生活、工作和思考著的特定客觀世界以及反映這個客觀世界的各種數學概念，運算方法和知識結構。而數學課程必須對學生的當下與未來生活有意義，因此，又要關注個性發展，為每個人提供適合于他從事的專業所必需的數學技能，使其能順利地處理有關的各種數學問題。

2.教與學方式的轉變

要培養學生的數學素養，就不能再堅持傳統的“灌輸式”教學，教師和學生的身份都要發生改變。教師要由傳統的知識傳授者向活動的參與者、引導者、合作者轉變;由傳統的教學支配者、控制者向學生學習的組織者、促進者和指導者轉變;由傳統的靜態知識占有者向動態的研究者轉變。學生也要由被動接受知識的容器轉變為主動學習的設計者、主持者、參與者。

在教學中，首先，教師要創造一個寬松、和諧、民主的教學氛圍。留一些余地，給學生思考的空間和時間，并引導學生多想一點、多問一點、多寫一點，鼓勵學生進行反思，培養學生自主學習的能力。其次，鼓勵學生改變孤軍奮戰的習慣，多交流，由單一學習轉變為合作學習。

3.數學現實的轉變

數學與社會生活、生產實踐密切相關。目前，教師也嘗試在教學中通過情景引入教學。然而仍存在兩個問題:一是教師使用的情景與學生的現實相差甚遠，或者說，該情景是成人世界的現實而不是一個中學生的現實;二是由于不同學生的生活環境、教育背景的不同，僅用一個情景材料不能滿足所有學生的需求。因此，一方面，數學教師要走進學生的現實，從學生的實際出發;另一方面，強調情景材料的豐富性和靈活性。從情景材料出發，進而引導學生進行再創造。

總之，在課堂上，數學教師應以教師的師愛調動學生，以教師的情感感染學生，以教師的語言鼓舞學生，以教師的評價激勵學生，以教師的人格影響學生，淡化分數，強化素養，為學生的現在負責，為學生的未來負責。

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