從微分學三大中值定理的教學探討備課與上課的要求

[摘要] 《數學分析》是數學專業學生的專業基礎課。通過對《數學分析》內容的教學，提出對教師的備課和上課兩個主要環節的要求。通過分析《數學分析》中微分學三大中值定理之間內在的、本質的聯系，揭示教師對教材必須有全面的理解;通過分析Rolle中值定理的三個重要條件，來揭示教師必須對教材有深刻的理解;通過分析Lagrange中值定理的證明過程，要求教師上課必須做到思路清晰;最后，通過書寫Cauchy中值定理的證明過程，要求老師板書過程必須條理清楚。

[關鍵詞] 數學分析 Rolle中值定理 Lagrange中值定理 Cauchy中值定理

一、備課

教師自己對教材必須要有一個全面的、深刻的理解。所謂“全面”，就是要精通所任課的總體脈絡，甚至于與其他課程之間的聯系與區別。例如，《數學分析》這門課程，是為了創立黎曼積分而建立起來的一整套理論體系。首先，要讓學生了解它的發展背景，這就需要對數學發展史有一定的了解，這也是增加數學涵養的一方面。另外，《數學分析》與其他課程有什么聯系和區別呢?比如，與《高等數學》，有人認為它們是同一門課程，回答是否定的。雖然內容是大部分是相同的，但也有很大的區別?！稊祵W分析》偏重于理論、偏重于證明、偏重于基礎，也就是不但要知其然，更要知其所以然。因此，比較適合于數學專業的學生學習，而《高等數學》則更注重應用，更偏重于計算，因此，較適合于工科類、經濟類學生學習。再比如，《數學分析》與《實變函數》又有什么關系呢?可以認為后者是前者的后繼課程，隨著科學技術的發展，《數學分析》中建立的黎曼積分有一定的局限性，有些函數按照黎曼積分定義不可積，這時就迫切需要找到一種更優越的積分，我們期望它既與黎曼積分具有一致性，但又比黎曼積分應用更廣泛。能否找到呢?這就是勒貝格所創立的勒貝格積分理論體系，這也是《實變函數》的主題內容。另一方面，就某一課程的內容而言，也要全面的理解其內在聯系。例如，《數學分析》中微分學三大中值定理成立的條件、結論以及它們之間到底有什么樣的聯系和區別呢?它們有哪些方面的應用等。例如，必須理解三大中值定理是溝通了函數在區間上的宏觀的、整體的性質與函數在某一點的微觀的、局部的性質之間的一座橋梁。三個中值定理之間也存在著必然的聯系即Lagrange中值定理是Rolle中值定理的推廣，Cauchy中值定理又是Lagrange中值定理的推廣。

全面理解掌握一門課程的主題思想，讓學生理解并掌握，一方面，可以激發學生對數學學習的興趣，便于學生形成知識的網絡結構，從而容易理解，不易忘卻。另一方面，可以使學生提高數學素養，增強對數學的理解。數學做題固然重要，但一定要避免一味地做題，陷入題海，而對課程的總體脈絡根本不了解。這樣就會導致“只見樹木，不見森林。”

上面提到的所謂“深刻”，就是要求教師精深地理解所任課程中的每個概念的，甚至于概念中的每個關鍵字、每個定理，每個定理成立的條件和證明、每個推論、公式等。我們仍然舉三大微分學中值定理之Rolle中值定理為例:Rolle中值定理內容敘述如下:

所以，老師在備課過程中要深刻地加以推敲，這樣在講課過程中才能運用自如，使學生能夠充分理解基本概念、基本理論。

二、上課

上課要做到“目標明確，思路清晰，條理清楚。”

所謂“目標明確”，就是每一節課必須解決什么問題要非常明確，要引導學生朝哪個方向去。這一點要讓學生明白。這才能使學生清楚這節課要學什么內容，為什么要學這個內容。而不至于使大部分學生一節課聽下來非常的迷茫，不知道重點是什么，特別是具有抽象性的數學。例如:對于Lagrange中值定理的課堂教學，一開始對學生講清楚這節課要解決的問題就是在前面學習Rolle中值定理的基礎上把Rolle中值定理的第三個條件去掉，自然而然便引入了Lagrange中值定理及其應用。

所謂“思路清晰”，就是怎樣有計劃、有步驟的解決已設定的明確問題。比如可以通過把一個大問題分解成若干個子問題來解決，在備課的過程當中要有意識的創設問題情境，多提問，這樣才能吸引學生的注意力。我們仍然舉Lagrange中值定理的課堂教學，我們可以引導學生:羅爾定理中f(a)=f(b)這個條件是相當特殊的，它使羅爾定理的應用受到限制，如果我們去掉這個條件而只保留前兩個條件，我們會得到什么樣的結論呢?這樣可以促使學生畫圖去猜想。另外，對于Lagrange中值定理的證明，也可以有步驟的引導學生:既然Lagrange中值定理是Rolle中值定理的推廣，那么我們能不能用Rolle中值定理來證明Lagrange中值定理呢?這樣一來又促使學生從已知條件去構造Rolle中值定理滿足的條件，因此自然而然的就想到構造輔助函數:

這樣一來，思路非常地清晰，學生順理成章就接受了。所謂“條理清楚”，首先，講解和板書的設計要做到有條有理。講解的過程中要做到語言組織簡潔、嚴密、邏輯性強、層次分明。其次，證明的書寫過程要條理清楚，結構嚴密。最后，可以根據不同的課型需要設計不同的板書形式如條塊順序狀、或左寫知識重點，右寫配套例題等。另外，板書的字跡書寫要工整。如下例:

堅持不懈地做到這一點，才可以使學生真正理解數學的嚴密與簡潔，使學生明白數學更是一門藝術。

教師的教學是一個日積月累、循序漸進、不斷總結的過程。在每一次教學過程中，都有不同的感受和心得體會，教師必須善于及時地總結，這樣才能不斷地提高和完善自己的業務水平。

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