淺談高等數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)建模思想

[摘要] 本文首先提出了在高等數(shù)學(xué)中數(shù)學(xué)建模的重要性，然后著重探討了如何在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中利用數(shù)學(xué)建模的思想和方法。

[關(guān)鍵詞] 高等數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)建模 創(chuàng)新能力

數(shù)學(xué)建模，就是用數(shù)學(xué)語言去描述或模擬實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系，一旦數(shù)學(xué)模型建立起來，實(shí)際的問題就轉(zhuǎn)化成了等價(jià)(或基本等價(jià))的數(shù)學(xué)問題。數(shù)學(xué)建模活動(dòng)是一個(gè)多次循環(huán)、反復(fù)驗(yàn)證的過程，是應(yīng)用數(shù)學(xué)的語言和方法解決實(shí)際問題的過程，也是一個(gè)創(chuàng)造過程和培養(yǎng)創(chuàng)新能力的綜合過程。20世紀(jì)六七十年代西方國家的一些大學(xué)開始設(shè)置數(shù)學(xué)建模課程，80年代初數(shù)學(xué)建模課程開始進(jìn)入我國大學(xué)的課堂。1985年美國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽開始舉辦，1989年起我國部分高校選派代表隊(duì)參加這項(xiàng)競賽。1992年開始由中國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)(CSTAM)舉辦我國自己的全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽(CMCM)。1994年改由國家教委高教司和中圍工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)共同舉辦。實(shí)踐表明，數(shù)學(xué)建模是對大學(xué)生進(jìn)行創(chuàng)新教育的有效途徑之一。

一、數(shù)學(xué)建模的過程及步驟

為把數(shù)學(xué)建模的思想和方法滲透到高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中去，通常應(yīng)該在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的過程中增加一些關(guān)于數(shù)學(xué)建模的概述，也可以平行地開一門關(guān)于數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的課程，讓學(xué)生熟悉數(shù)學(xué)建模的全過程。通常在教學(xué)和科研中常常使用的是八步建模法，主要包括以下八個(gè)步驟:

1.問題的提出。提出問題是解決問題的關(guān)鍵一步，很多問題沒有得到很好解決，其原因是問題沒有提好。問題的提出是在面對實(shí)際的研究對象時(shí)，能夠很快弄清楚問題的來龍去脈，抓住問題的本質(zhì)，確定問題的已知和目標(biāo)。

2.量的分析。數(shù)學(xué)的一項(xiàng)主要任務(wù)就是研究數(shù)量之間的關(guān)系，數(shù)學(xué)建模過程就是要搞清楚這些量之間的關(guān)系。

3.模型假設(shè)。模型假設(shè)是建立數(shù)學(xué)模型的前提和已知條件。為了準(zhǔn)確把握實(shí)際問題的本質(zhì)屬性，必須將問題理想化、簡單化，抓住問題的本質(zhì)和主要因素，進(jìn)行必要的假設(shè)。

4.模型建立。在前三步的基礎(chǔ)上，根據(jù)某種規(guī)律，依據(jù)模型假設(shè)，建立變量和參數(shù)間的函數(shù)關(guān)系。

5.模型求解。建模是為了解決實(shí)際問題，所以還要對上述建立的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行數(shù)學(xué)上的求解，包括計(jì)算機(jī)技術(shù)的應(yīng)用。

6.模型分析。根據(jù)建模的目的要求，對模型求得的結(jié)果進(jìn)行數(shù)學(xué)上的分析，利用相關(guān)知識(shí)結(jié)合研究對象的特點(diǎn)進(jìn)行模型合理性分析。

7.模型檢驗(yàn)。建模是否正確，還必須進(jìn)行模型的檢驗(yàn)。模型檢驗(yàn)有兩種方法:一是實(shí)際檢驗(yàn)，就是回到客觀實(shí)際中對模型進(jìn)行檢驗(yàn);二是邏輯檢驗(yàn)，這一檢驗(yàn)法主要是找出矛盾，否定模型。究竟選用哪種檢驗(yàn)方法，應(yīng)視具體情況而定。

8.模型應(yīng)用。模型應(yīng)用是數(shù)學(xué)建模的宗旨，也是對模型的最客觀、最公正的檢驗(yàn)。

二、培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模思維

數(shù)學(xué)建模中關(guān)鍵的思想方法就是通過對現(xiàn)實(shí)問題的觀察、歸納和假設(shè)，將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)學(xué)問題，得到所求的解。但這還只是完成了數(shù)學(xué)建模的一方面，在實(shí)際問題中看能否解釋實(shí)際問題，能否與實(shí)際經(jīng)驗(yàn)或數(shù)據(jù)相吻合，若吻合數(shù)學(xué)建模過程就完成了，否則還需要修正假設(shè)并重新提出經(jīng)修正的數(shù)學(xué)模型。因此數(shù)學(xué)建模中數(shù)學(xué)建模思維能力特別重要，如果不能把實(shí)際問題用數(shù)學(xué)語言翻譯出來，那么，整個(gè)數(shù)學(xué)建模就無法進(jìn)行。如果不能把數(shù)學(xué)建模的結(jié)果用普通人能懂的語言表述出來，那就可能大大地降低它的應(yīng)用價(jià)值。對于現(xiàn)實(shí)中的實(shí)際問題，如何抓住問題的實(shí)質(zhì)進(jìn)行一定的抽象、簡化，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)出來，是解決問題的首要步驟，這種翻譯能力在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中是有要求的，從而也是學(xué)生易于掌握的。但是對于后一種翻譯能力卻要求甚少，因此，對應(yīng)用數(shù)學(xué)方法推理或計(jì)算得到的結(jié)果，不僅要重視解釋、檢驗(yàn)、討論，更重要的是能用語言表達(dá)出來，或能結(jié)合實(shí)際解釋其意義。

三、數(shù)學(xué)建模思想在教學(xué)中的滲透

大量的實(shí)踐表明，人們一旦掌握了數(shù)學(xué)建模的思想和方法，將會(huì)在處理實(shí)際問題中如虎添翼，受益無窮。因此，教師在教學(xué)中就更應(yīng)該注重?cái)?shù)學(xué)建模思想的滲透以及數(shù)學(xué)方法的介紹，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用性。培養(yǎng)學(xué)生自覺運(yùn)用數(shù)學(xué)建模的思想和方法去解決實(shí)際問題的應(yīng)用意識(shí)與能力。在高等數(shù)學(xué)中，涉及其相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)有:導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、定積分的應(yīng)用、重積分的應(yīng)用、曲線與曲面積分的應(yīng)用、微分方程的應(yīng)用等。這些都是不容忽視的，教學(xué)中要力求講清建模的思路及求解方法，使學(xué)員感受到數(shù)學(xué)應(yīng)用有前景有趣味，數(shù)學(xué)是幫助人們解決實(shí)際問題的必不可少的一種工具，從而提高興趣，增強(qiáng)信心，養(yǎng)成自覺地建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的習(xí)慣。

四、強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)概念與實(shí)際問題的聯(lián)系

數(shù)學(xué)概念一般來源于社會(huì)實(shí)踐，概念產(chǎn)生后又反過來為社會(huì)實(shí)踐服務(wù)。在介紹概念的含義后，要重視概念與實(shí)際結(jié)合，突出應(yīng)用價(jià)值。例如，在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的概念時(shí)，我們提到導(dǎo)數(shù)是一個(gè)十分重要的數(shù)學(xué)模型。它雖然由瞬時(shí)速度而導(dǎo)人，但它的意義遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了力學(xué)的范圍，而滲透到科學(xué)技術(shù)的各個(gè)領(lǐng)域。這里可以舉些簡單例子如:速度、加速度、電流強(qiáng)度、線速度、角速度等。然后可以這樣提問:“你能舉出其他的例子嗎?”這時(shí)，全班同學(xué)紛紛舉手要求發(fā)言。“種群的生長率和死亡率”、“放射性物質(zhì)的衰變率”、“戰(zhàn)爭中物質(zhì)和戰(zhàn)斗力的損耗率”、“冷卻過程的溫度變化率”……同學(xué)們想出了許多種不同的例子，顯示出思維非常活躍。這時(shí)教師要不失時(shí)機(jī)地給出總結(jié)——數(shù)學(xué)上統(tǒng)稱為函數(shù)的變化率，都與導(dǎo)數(shù)有不解之緣。這樣學(xué)生不僅體會(huì)到數(shù)學(xué)概念的實(shí)際意義與應(yīng)用價(jià)值，同時(shí)他們也會(huì)為導(dǎo)數(shù)的巨大魅力而傾倒。

五、培養(yǎng)教師的創(chuàng)造性思維和數(shù)學(xué)建模思想

在教學(xué)中融合數(shù)學(xué)建模的思想，改進(jìn)教學(xué)方式。當(dāng)前高等院校有些基礎(chǔ)理論課程還基本停留在“填鴨式”、“滿堂灌”的教學(xué)方式，因此，利用數(shù)學(xué)建模這個(gè)強(qiáng)有力的工具，就可以在實(shí)際的教學(xué)中增加一些實(shí)踐的環(huán)節(jié)，并且引導(dǎo)學(xué)生掌握“發(fā)動(dòng)機(jī)”式的學(xué)習(xí)方法。在大學(xué)教育中融合數(shù)學(xué)建模的思想，要求教師掌握“發(fā)動(dòng)機(jī)”式的教學(xué)方法，學(xué)生掌握“發(fā)動(dòng)機(jī)”式的學(xué)習(xí)方法，逐步培養(yǎng)大學(xué)生自主創(chuàng)新學(xué)習(xí)，讓學(xué)習(xí)由心而發(fā)，擺脫被動(dòng)學(xué)習(xí)模式。還可以參加全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽為契機(jī)，逐步建立大學(xué)創(chuàng)新教育課程體系。比如在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論課程中可以增加一些應(yīng)用型和實(shí)踐類的課程，例如“運(yùn)籌學(xué)”、“數(shù)學(xué)模型”、“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”以及“計(jì)算方法”等等課程;在其余與數(shù)學(xué)相關(guān)的各門課程的教學(xué)中，也要盡量使數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用相結(jié)合，增加實(shí)際應(yīng)用方面的內(nèi)容，從而使教學(xué)內(nèi)容得到更新。

創(chuàng)新有著豐富的內(nèi)涵，包括敢于競爭、敢于冒險(xiǎn)的精神，腳踏實(shí)地、勤奮求實(shí)的務(wù)實(shí)態(tài)度，鍥而不舍、堅(jiān)定執(zhí)著的頑強(qiáng)意志，不畏艱難、艱苦創(chuàng)業(yè)的心理準(zhǔn)備，良好的心態(tài)、自控能力、團(tuán)隊(duì)精神與協(xié)作意識(shí)等多方面的品質(zhì)。高校人才培養(yǎng)的質(zhì)量和成果價(jià)值最終都取決于教師。具有較高創(chuàng)造性思維修養(yǎng)和創(chuàng)造精神的教師，才能培養(yǎng)出具有質(zhì)疑精神和思考能力的學(xué)生，學(xué)生才敢于冒險(xiǎn)、敢于探索，才會(huì)突破常規(guī)，進(jìn)行創(chuàng)造性的研究性學(xué)習(xí)。沒有一支創(chuàng)造性的教師隊(duì)伍，就不可能培養(yǎng)出具有創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)品質(zhì)的學(xué)生。實(shí)踐表明，數(shù)學(xué)建模教學(xué)可以為高校順利開展大學(xué)生創(chuàng)新教育奠定一個(gè)良好的師資基礎(chǔ)。

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