例談三角形常見題型的解法

摘 要:三角形的解答是高考必考內容，也是學生易丟分的部分。本文通過列舉解三角形的常見題型和應對策略的整理，希望能對學生的實際考試有所幫助。

關鍵詞：直接運用；判斷形狀；函數；向量；實際問題

中國分類號：G424 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2010）4-053 -02

解三角形是高考必考內容，在高考說明中是B級，要求對所列知識有較深刻的認識，并能解決有一定綜合性的問題。重點考查正、余弦定理及三角形面積公式，它們是解斜三角形和判定三角形形狀的重要工具，其主要作用是將已知條件中邊的關系轉化為角的關系，或將角的關系轉化為邊的關系。解斜三角形問題不僅需要熟練地進行三角變形的能力，還需要熟練地掌握有關三角形、三角函數、向量等基礎知識，考題靈活多樣，是近幾年小題或解答題命題的熱點，尤其與實際問題結合。它的常見考題類型與解題策略如下：

一、定理、公式的直接運用：解三角形的基本思路是利用正弦、余弦定理將邊化為角運算或將角化為邊運算，結合已知條件正確選擇面積公式，對分析解決問題能力和運算的能力有所要求，屬于中檔題。

例題1（10天津）在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若a2-b2=3bc，sin C=23sin B，則解析：由由正弦定理得

所以A=30°

二、判斷三角形形狀：

1. 根據“角”判斷

當題目中給出角的條件或“純粹”的角間關系時，適合對“角”進行分析.此時，應結合三角函數的相關知識靈活變形，同時還應注意對三角形內角和定理“A+B+C=π”的利用.例如，由C=π-(A+B)可得sin C=sin(A+B)，由C2=π2-(A+B2)可得sin C2=cos A+B2，從而實現了“三角”化“兩角”，有利于進一步的分析.

例題2 （10年上海）若△ABC的三個內角滿足sin A∶sin B∶sin C=5∶11∶13，則△ABC

A.一定是銳角三角形.

B.一定是直角三角形.

C.一定是鈍角三角形.

D.可能是銳角三角形，也可能是鈍角三角形.

解析：由sin A∶sin B∶sin C=5∶11∶13及正弦定理得a:b:c=5:11:13

由余弦定理得cos C=52+112-1322×5×11＜0，所以角C為鈍角

2.根據“邊”判斷

當題目中給出邊的條件或“純粹”的邊間關系時，適合對“邊”進行分析.此外，若出現關于a，b，c的“齊次等式”，可考慮用正弦定理轉化為角間關系；若出現“a2，b2，c2”，可考慮用余弦定理求角.

例題3：△ABC中，若 ，判斷 ABC的形狀.

解：由a2+b2-ab=c2得cos C=12，∴C=60°.由a2+b2-ab=23S△ABC得:

a2+b2-ab=23·12absin 60°.整理得2a2-5ab+2b2=0.∴(2a-b)(a-2b)=0.

∴a=2b或b=2a.

當a=2b時，由正弦定理得，sin A=2sin B即sin A=2sin (120°-A).

∴sin A=2(32cos A+12sin A).∴3cos A=0.∴A=90°.同理，當b=2a時，有B=90°.

故△ABC為直角三角形，且有一銳角為60°.

3.對“邊角”的分析

當條件式中既含角又含邊時，有兩種思路：一是“化邊為角”，轉化為對“角”的分析;二是“化角為邊”，轉化為對“邊”的分析.

例題4（10遼寧）在△ABC中，a、b、c分別為內角A、B、C的對邊，

且2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C

（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若sin B+sin C=1，試判斷△ABC的形狀.

解：（Ⅰ）由已知，根據正弦定理得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c

即a2=b2+c2+bc，由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A

故cos A=-12，A=120°

（Ⅱ）由（Ⅰ）得sin2 A=sin2 B+sin2 C+sin Bsin C

又sin B+sin C=1，得sin B=sin C=12

因為0°＜B＜90°，0°＜C＜90°，故B=C

所以△ABC是等腰的鈍角三角形。

三、解三角形與函數結合：解三角形問題常常與函數知識相結合，既考查解三角形知識與方法，又考查函數的思想，同時對運算能力提出較高要求。

例題5（08年江蘇）若AB=2，AC=2BC，則S△ABC的最大值 

解析：設BC=x，則AC=2x，根據面積公式得S=12AB×BC×sin B=12×2x1-cos2 B，根據余弦定理：cos B=AB2+BC2-AC22AB×BC=4-x24x，

代人上式得:S=x1-(4-x24x)2=128-(x2-12)216，由三角形三遍關系：2x+x＞2且x+2＞2x，所以22-2＜x＜22+2，當x=23時，S取最大值=22。

四、解三角形與向量結合：主要考查正、余弦定理，三角公式變換，向量的概念和運算等基礎知識，尤其要注意向量的夾角與三角形的內角之間是否相等或互補的關系。

例題6（09年浙江）在三角形ABC中，角A、B、C所對應的邊分別為a、b、c，且滿足cos A2=255， 

AB·AC=3，求三角形ABC的面積。

解析：因為cos A2=255，所以cos A=2cos2 A-1=35，sin A=45，又由AB·AC=3，得bccos A=3，所以bc=5，S=12bcsin A=2。

五、解三角形在實際問題中運用：在實際問題中運用解三角形知識，經常在航海、測量、物理等方面都有廣泛的應用，如何在實際中抽象出數學模型，然后用正、余弦定理解決，對分析問題和解決問題能力提出更高的要求，這一類題目一般比較綜合。

例題7：A，B，C，D都在同一個與水平面垂直的平面內，B，D為兩島上的兩座燈塔的塔頂。測量船于水面A處測得B點和D點的仰角分別為75°，30°，于水面C處測得B點和D點的仰角均為60°，AC=0.1 km。試探究圖中B，D間距離與另外哪兩點間距離相等，然后求B，D的距離（計算結果精確到0.01 km，2≈1.414，6≈2.449）

解析：在△ABC中，∠DAC=30°， ∠ADC=60°－∠DAC=30，

所以CD=AC=0.1 又∠BCD=180°－60°－60°=60°，

故CB是△CAD底邊AD的中垂線，所以BD=BA，

在△ABC中，ABsin∠BCA=ACsin∠ABC

即AB=ACsin 60°sin 15°=32+620因此，BD=32+620≈0.33 km

故B，D的距離約為0.33 km。

隨著高考的改革步伐，在高考中出現的解三角形大多為中檔題，主要考查正、余弦定理及利用三角公式進行恒等變換的技能及運算能力，以化簡、求值或判斷三角形的形狀為主，考查有關定理的應用、三角恒等等變換的能力、運算能力及轉化思想的應用能力。近幾年各地高考對解三角形在實際問題中的應用有所加強，要能從實際問題中抽象出數學模型，運用轉化思想將題目轉化為解三角形。