基于數(shù)據(jù)三分法的DEA模型

摘 要 傳統(tǒng)DEA模型在數(shù)據(jù)兩分(偏好與規(guī)避)的基礎(chǔ)上考察決策單元的有效性，在某些場合不再適用.文章根據(jù)決策者的偏好將數(shù)據(jù)分為三類：規(guī)避、偏好、中性類，在此基礎(chǔ)上構(gòu)造評(píng)價(jià)相對(duì)有效性的DEA模型.相較而言，基于數(shù)據(jù)三分法的DEA模型更具一般性.利用該模型，文章考察了中國近年投入產(chǎn)出績效問題.

關(guān)鍵詞 效率；數(shù)據(jù)包絡(luò)分析；數(shù)據(jù)分類；中性數(shù)據(jù)

中圖分類號(hào) F224.0 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 A

TheDea Model Based on Data Trichotomy

MAZan-fu，LIUYan-jun

(The Institute of Economic Research，Guizhou University of Finance and Economics，Guizhou， Guiyang 550004，China)

Abstract The efficiency of decision making units of the traditional DEAmodels based on the data-dichotomy (good cluster and bad cluster) is no longer suitable forsome occasions. According to the decision-makers preferences， this article divided data into three categories: good， bad and neutral cluster. On the basis of the relative effectiveness of structural evaluation of the DEA model， issues like the solution of the model， the nature of solutions were analyzed. In comparison， DEA model based data-trichotomy is more inclusive. The issue of China’s recent years input-output performance was also discussed byuse of this model.

Keywords efficiency; DEA; data classification; neutral cluster

1 引 言

1978年，Charnes等人提出一種測度相對(duì)有效性的新方法[1]，即數(shù)據(jù)包絡(luò)分析(Data Envelopment Analysis， DEA)方法.30多年來，DEA得到快速發(fā)展，各類DEA模型層出不窮，應(yīng)用范圍不斷拓廣，已成為一個(gè)具數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、管理學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)等諸多學(xué)科背景的新研究領(lǐng)域.

通常的DEA模型是基于數(shù)據(jù)兩分法的，即，系統(tǒng)涉及的所有數(shù)據(jù)都劃分為偏好型與規(guī)避型兩大類，其中受決策者偏好、越多越好的數(shù)據(jù)定義為偏好型數(shù)據(jù)，反之則定義為規(guī)避型數(shù)據(jù).在做績效分析時(shí)，分別對(duì)規(guī)避型、偏好型數(shù)據(jù)賦予不同符號(hào)的權(quán)重，加權(quán)計(jì)算、比較后得到效率值.早期的DEA模型如CCR模型[1]、BBC模型[2]、FG模型[3]、ST模型[4]等都是如此.

兩分法在大多數(shù)情況下是適用的，不過也存在例外.在某些特殊系統(tǒng)中，決策者的偏好不那么明確或一致，簡單就數(shù)據(jù)做偏好與規(guī)避之劃分顯得武斷.比如，對(duì)于一個(gè)處于危機(jī)中的經(jīng)濟(jì)，一方面需要降低能耗，決策者應(yīng)該盡可能降低勞動(dòng)投入，勞動(dòng)投入量是一種規(guī)避型數(shù)據(jù)，而另一方面，充分就業(yè)也是決策者的一個(gè)價(jià)值取向，勞動(dòng)投入量可視為一種偏好型數(shù)據(jù).簡單而言，不同決策者對(duì)勞動(dòng)投入的偏好并不一致.本文定義這種偏好不確定類型的數(shù)據(jù)為中性數(shù)據(jù)，由此引出數(shù)據(jù)三分類的績效評(píng)估問題.

關(guān)于數(shù)據(jù)的三分法，Womer等人做過相關(guān)研究[5]，魏權(quán)齡、閻洪在研究可能出現(xiàn)擁擠現(xiàn)象的系統(tǒng)時(shí)采用了較模糊的處理辦法[6]，不過都沒有明確提出數(shù)據(jù)分類.總體而言，學(xué)者們對(duì)這一類問題缺乏必要的關(guān)注，或者說缺乏系統(tǒng)、明確的研究.

2 數(shù)據(jù)三分類

劃分DEA數(shù)據(jù)類型存在兩種不同維度：其一是反映系統(tǒng)運(yùn)營過程的投入與產(chǎn)出劃分，表示系統(tǒng)與外界的聯(lián)系，是一種客觀的劃分標(biāo)準(zhǔn)；其二是反映決策者偏好的偏好、規(guī)避、中性劃分，表示決策者所處的立場，是一種主觀的劃分依據(jù).基于偏好的商品三分類劃分由來已久[7].

評(píng)價(jià)本身就是一個(gè)偏好問題，必然在某種偏好標(biāo)準(zhǔn)下對(duì)所涉及的數(shù)據(jù)進(jìn)行分類.早期的DEA模型在兩種分類上是統(tǒng)一的，系統(tǒng)所涉及的投入型數(shù)據(jù)往往是規(guī)避型成本數(shù)據(jù)，而產(chǎn)出類數(shù)據(jù)則一般為偏好型收益數(shù)據(jù)，從而隱藏了數(shù)據(jù)基于偏好的分類法.近年來，有關(guān)“非期望要素”、“非期望產(chǎn)出”現(xiàn)象的評(píng)價(jià)問題日益受到重視[8-9]，引出了基于偏好的數(shù)據(jù)分類問題.

從評(píng)價(jià)角度來看，只需考慮第二種分類方法.對(duì)于某個(gè)系統(tǒng)，所有涉及的數(shù)據(jù)都可以根據(jù)偏好而劃分為三類：偏好類、規(guī)避類、中性類.在此明確其概念為：規(guī)避型指決策者認(rèn)為越少越好的數(shù)據(jù)類；偏好型指決策者認(rèn)為越多越好的數(shù)據(jù)類；而中性型則指決策者偏好不明顯或不確定的數(shù)據(jù)類.

數(shù)據(jù)三分類后，所要考察的n個(gè)決策單元(Decision Making Unit， DMU)總可以表述為：

xj，yj，zj，j=1，2，…，n.(1)

其中xj∈Rm表示m維的規(guī)避型數(shù)據(jù)向量，yj∈Rs表示s維的偏好型數(shù)據(jù)向量，而zj∈Rt則表示t維的中性型數(shù)據(jù)向量.

對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行三分類顯然是必要的.一方面，在進(jìn)行績效評(píng)估時(shí)，決策者的主觀偏好不可回避，傳統(tǒng)二分法不具有一般性.另一方面，數(shù)據(jù)三分類是恰當(dāng)描述投入、產(chǎn)出對(duì)應(yīng)關(guān)系的需要，只有這樣，實(shí)證生產(chǎn)可能集才具有更強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)解釋力.

3 數(shù)據(jù)三分法下的DEA模型

為評(píng)價(jià)相對(duì)有效性，需要構(gòu)建含中性數(shù)據(jù)的DEA評(píng)價(jià)模型.一種簡單的思路是分化中性數(shù)據(jù)類，將中性數(shù)據(jù)類細(xì)分為偏好、規(guī)避類.比如，對(duì)于前述案例，可將勞動(dòng)這一中性數(shù)據(jù)細(xì)分為勞動(dòng)輸入與就業(yè)率輸出兩類數(shù)據(jù)，前者為規(guī)避類數(shù)據(jù)而后者為偏好類數(shù)據(jù)，在此基礎(chǔ)上，利用一般的DEA模型確定有效性.

另一種思路是對(duì)中性類數(shù)據(jù)賦予特殊權(quán)數(shù).為此，沿用魏權(quán)齡、Womer等關(guān)于中性數(shù)據(jù)權(quán)數(shù)無符號(hào)限制的方法.當(dāng)然，具體的評(píng)測模型仍需考察規(guī)模收益情況，比如，當(dāng)技術(shù)具有不變規(guī)模報(bào)酬性質(zhì)時(shí)，有三分類的DEA偏好導(dǎo)向模型：

min ωTx0+ηTz0，

s.t.ωTxj－μTyj+ηTzj≥0，j=1，2，…，n，

μTy0=1，

ω≥0，ω∈Rm，μ≥0，μ∈Rs，η∈Rt，(2)

其中，決策者對(duì)規(guī)避、偏好類數(shù)據(jù)的態(tài)度是明確的，分別對(duì)其賦予符號(hào)相反的權(quán)數(shù)；中性數(shù)據(jù)難以界定偏好好壞，賦予其不定符號(hào)的權(quán)數(shù).上述模型為線性規(guī)劃問題，有對(duì)偶形式：

max κ，

s.t.∑nj=1λjxj≤x0，

∑nj=1λjyj≥κy0，

∑nj=1λjzj=z0，

λj≥0，j=1，2，…，n.(3)

對(duì)偶問題通過不同約束條件區(qū)分了三類數(shù)據(jù)：規(guī)避類數(shù)據(jù)盡可能小，偏好類數(shù)據(jù)盡可能大，中性類數(shù)據(jù)保持不變.對(duì)偶問題表示：在保持規(guī)避類數(shù)據(jù)不增而中性數(shù)據(jù)不變條件下，偏好類數(shù)據(jù)能否繼續(xù)增加.不難看出，原問題與對(duì)偶問題都存在最優(yōu)解，且目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值不小于1.

偏好導(dǎo)向模型考察偏好類數(shù)據(jù)盡可能的最大化，與此相反，規(guī)避導(dǎo)向模型則考察規(guī)避型數(shù)據(jù)盡可能的最小化：

max μTy0－ηTz0，

s.t.ωTxj－μTyj+ηTzj≥0，j=1，2，…，n，

ωTx0=1，

ω≥0，ω∈Rm，μ≥0，μ∈Rs，η∈Rt.(4)

其對(duì)偶問題是

min θ，

s.t.∑nj=1λjxj≤θx0，

∑nj=1λjyj≥y0，

∑nj=1λjzj=z0，

λj≥0，j=1，2，…，n.(5)

另外，也可利用生產(chǎn)可能集對(duì)技術(shù)做一般性描述.在不變規(guī)模報(bào)酬下，三分類數(shù)據(jù)所對(duì)應(yīng)的實(shí)證生產(chǎn)可能集為

T=x，y，z∑nj=1λjxj≤x，∑nj=1λjyj≥y，

∑nj=1λjzj=z， λj≥0， j，1，2，…，n.(6)

該生產(chǎn)可能集滿足凸性、錐性、偏好與規(guī)避類無效性、最小性等公理體系 關(guān)于生產(chǎn)可能集公理的具體含義可參見文獻(xiàn)[10]..為評(píng)價(jià)方便起見，先給出如下有效性定義：

定義1 如果問題(2)或問題(4)的目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值為1，那么稱目標(biāo)決策單元x0，y0，z0弱DEA有效

可細(xì)分為兩種弱有效性：偏好型弱有效或規(guī)避型弱有效..

定義2 若不存在x，y，z∈T，滿足xy0及z=z0，則稱x0，y0，z0為T中的弱帕累托有效點(diǎn).

在上述定義下，數(shù)據(jù)三分類模型下的弱DEA有效性與相應(yīng)的生產(chǎn)可能集T中點(diǎn)的弱帕累托有效性具有等價(jià)性，有以下結(jié)論：

定理 決策單元x0，y0，z0為弱DEA有效的充要條件是x0，y0，z0為T中的弱帕累托有效點(diǎn).

證明 先證必要性.設(shè)決策單元x0，y0，z0為弱DEA有效，則問題(2)或者式(4)存在最優(yōu)解≥0，≥0及，對(duì)于一切j=1， 2， …， n都有

Tx0－Ty0+Tz0=0，

Txj－Tyj+Tzj≥0.

若x0，y0，z0不是T中的弱帕累托有效點(diǎn)，則存在x，y，z∈T滿足xy0及z=z0，或者說存在權(quán)數(shù)j≥0， j=1， 2， …， n，使得

∑nj=1jxj≤x

∑nj=1jyj≥y>y0，

∑nj=1jzj=z=z0.

于是∑nj=1jTxj－∑nj=1jTyj+∑nj=1jTzj當(dāng)小于Tx0－Ty0+Tz0而取負(fù)值，從而得出矛盾，因此目標(biāo)決策單元x0，y0，z0是集合T中的弱帕累托有效點(diǎn).必要性得證.

現(xiàn)證充分性.假設(shè)x0，y0，z0為集合T中的弱帕累托有效點(diǎn)，則當(dāng)x，y，z∈T時(shí)，下列不等式組無解：

x

y>y0，

z=z0.

由于∑nj=1λjxj≤x，∑nj=1λjyj≥y，∑nj=1λjzj=z，下列不等式組必?zé)o解：

∑nj=1λjxj

∑nj=1λjyj>y0，

∑nj=1λjzj=z0，

λj≥0，j=1，2，…，n.(7)

考慮線性規(guī)劃問題:

max κ，s.t.∑nj=1λjxj+κ≤x0，

∑nj=1λjyj－κe≥y0，

∑nj=1λjzj=z0，

κ≥0， λj≥0， j=1， 2， …， n(8)

及其對(duì)偶問題:

min ωTx0－μTy0+ηTz0，

s.t.ωTxj－μTyj+ηTzj≥0， j=1， 2， …， n，

Tω+eTμ≥1，

ω≥0， ω∈Rm， μ≥0， μ∈Rs， η∈Rt ，(9)

其中，=1，1，…，1T∈Rm，e=1，1，…，1T∈Rs.由于不等式組(7)無解，故問題(8)及(9)的目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值當(dāng)為0.任取問題(9)的一個(gè)最優(yōu)解，，，則與不可能都為0，因此總可針對(duì)問題(2)或者問題(4)的約束條件構(gòu)造出可行解并使其最優(yōu)值為1，即x0，y0，z0為弱DEA有效.充分性得證.證畢.

4 與傳統(tǒng)DEA模型之間的關(guān)系

在測度績效方面，DEA方法所體現(xiàn)出的一個(gè)優(yōu)點(diǎn)是權(quán)數(shù)的可變性.現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)中，同類型的投入、產(chǎn)出元對(duì)于不同決策主體可能表現(xiàn)出不同的效用，利用權(quán)數(shù)的可變性，這一點(diǎn)在經(jīng)典DEA模型中得到了很好的體現(xiàn).但經(jīng)典DEA模型所容許的權(quán)數(shù)可變性仍舊是受限制的，即，同類數(shù)據(jù)只有偏好程度的差異，沒有偏好類型的差異.在數(shù)據(jù)三分類基礎(chǔ)上，容許了各決策單元在某些數(shù)據(jù)方面更為廣泛的偏好浮動(dòng).

不難看出，三分類模型可概括幾類經(jīng)典DEA模型.比如，在缺乏中性數(shù)據(jù)情況下，三分類模型退化為CCR模型[1]：

min ωTx0，

s.t.ωTxj－μTyj≥0，j=1，2，…，n，

μTy0=1，

ω≥0，ω∈Rm，μ≥0，μ∈Rs.(10)

又如，BCC模型也是一種特殊的三分類DEA模型，在數(shù)據(jù)三分類框架下，我們只需引入單一常量中性數(shù)據(jù)即得到BCC模型[2]：

min ωTx0+η，

s.t.ωTxj－μTyj+η≥0，j=1，2，…，n，

μTy0=1，

ω≥0，ω∈Rm，μ≥0，μ∈Rs，η∈R.(11)

這一點(diǎn)表明，對(duì)于一個(gè)滿足規(guī)模報(bào)酬不變性的三分類DEA生產(chǎn)可能集，其橫截面(固定中性數(shù)據(jù)類)呈現(xiàn)出規(guī)模報(bào)酬可變性.類似地，在缺乏規(guī)避類數(shù)據(jù)情況下，三分類模型退化為WY模型[6]：

min ηTz0+η0，

s.t.－μTyj+ηTzj+η0≥0， j=1， 2， …， n，

μTy0=1，

η∈Rt， η0∈R，μ≥0，μ∈Rs.(12)

該模型中含有t+1種中性數(shù)據(jù)，其中后一種為定量數(shù)據(jù).至于FG模型、ST模型本身即CCR模型的特款，與三分類模型的關(guān)系自不必多說.

5 案例分析

給出一個(gè)實(shí)際案例，利用三分類數(shù)據(jù)DEA模型評(píng)價(jià)中國近年宏觀經(jīng)濟(jì)運(yùn)營狀況.系統(tǒng)所含三類數(shù)據(jù)見表1.

注：1) 數(shù)據(jù)來源：資本形成總額、國內(nèi)生產(chǎn)總額來自《中國國內(nèi)生產(chǎn)總值核算歷史資料(1952~2004)》(國家統(tǒng)計(jì)局國民經(jīng)濟(jì)核算司編，中國統(tǒng)計(jì)出版社2007年版)；就業(yè)人數(shù)來自2007年國家統(tǒng)計(jì)年鑒.2) 資本形成總額、國內(nèi)生產(chǎn)總值單位：億元；就業(yè)人數(shù)單位：萬人.

對(duì)于這一系統(tǒng)，資本形成總額無疑是規(guī)避類數(shù)據(jù)，國內(nèi)生產(chǎn)總值是偏好類數(shù)據(jù)，就業(yè)人數(shù)是中性數(shù)據(jù).根據(jù)三分類數(shù)據(jù)DEA模型，可先將所涉數(shù)據(jù)進(jìn)行比例變換化為單位勞動(dòng)投入，此時(shí)對(duì)應(yīng)的三分類模型與BCC模型無異，再利用DEAP VERSION 2.1計(jì)算效率值如表2所示

注意，軟件所得產(chǎn)出效率值是優(yōu)化問題最優(yōu)值的倒數(shù).，其中有4個(gè)年份是DEA弱有效的.當(dāng)然，還可以結(jié)合現(xiàn)實(shí)情況對(duì)有效決策單元進(jìn)行再排序.如果某年度的就業(yè)壓力大，可接受的結(jié)果是就業(yè)人數(shù)所對(duì)應(yīng)的最優(yōu)權(quán)數(shù)應(yīng)該為正，反之則為負(fù).因此，可將計(jì)算結(jié)果與現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)環(huán)境相對(duì)照，得到更為合理的效率排序.

需要著重指出的是，在2000年之前，偏好導(dǎo)向有效性是視就業(yè)為偏好類數(shù)據(jù)作為支撐的，或者說，決策者對(duì)勞動(dòng)投入的偏好是正的.而2000年后，偏好導(dǎo)向有效性是以勞動(dòng)為成本作為支撐的，或者說，決策者主觀上規(guī)避勞動(dòng)投入量.如圖1所示，橫軸為人均資本存量，縱軸為人均GDP，蘊(yùn)涵于三維空間中的生產(chǎn)可能集T的橫截面即二維空間中的BCC生產(chǎn)可能集局部，其前沿超平面在縱軸上的截距符號(hào)可說明各決策單元對(duì)勞動(dòng)投入的偏好情況.圖1中的三個(gè)前沿超平面方程依次為

Y=2.874K－0.013L，

Y=2.045K+0.388L，

Y=1.927K+0.452L，

分別由1991年與2000年、2000年與2001年、2001年與2007年投入、產(chǎn)出數(shù)據(jù)所確定.

各DMU對(duì)勞動(dòng)的偏好是一種相對(duì)偏好.與2000年之后投入產(chǎn)出數(shù)據(jù)相比，2000年之前的勞動(dòng)投入相對(duì)較多，因此，前9個(gè)DMU視勞動(dòng)投入為偏好類的就業(yè)數(shù)據(jù).反之，后7個(gè)DMU則視勞動(dòng)投入為規(guī)避類的成本數(shù)據(jù).

不難看出，由于本例中的中性數(shù)據(jù)單一，因此決策單元的有效性事實(shí)上囊括了兩種有效性：視勞動(dòng)為規(guī)避類數(shù)據(jù)所對(duì)應(yīng)的有效性、視勞動(dòng)為偏好類數(shù)據(jù)所對(duì)應(yīng)的有效性.因此，本例可在數(shù)據(jù)細(xì)分基礎(chǔ)上采用CCR模型確定出有效性.但是，當(dāng)中性數(shù)據(jù)不單一的時(shí)候，就不能如此簡化處理，采用三分類數(shù)據(jù)DEA模型要方便得多.

6 結(jié) 語

文章考察了三分類數(shù)據(jù)條件下的效率測度問題，并在規(guī)模報(bào)酬不變假設(shè)下給出一個(gè)評(píng)價(jià)相對(duì)有效性的DEA模型，利用該模型，文章測度了中國1991年~2007年的資源配置情況.

三分類數(shù)據(jù)模型不僅僅是對(duì)經(jīng)典DEA模型的概括，它容許了權(quán)數(shù)更大范圍的浮動(dòng)性，拓展了DEA方法的應(yīng)用范圍，在績效評(píng)估乃至技術(shù)描述方面更具一般性.

針對(duì)三分類數(shù)據(jù)系統(tǒng)的效率評(píng)價(jià)問題，這里給出的只是一種相對(duì)簡化的處理方法，僅利用權(quán)數(shù)的符號(hào)差異去區(qū)別、刻畫三類數(shù)據(jù)，應(yīng)該有更多、更好的處理方法與模型，亟待被提出.

參考文獻(xiàn)

［1］ A CHARNES， W W COOPER， E RHODES. Measuring the efficiency of decision making units [J].European Journal of Operational Research， 1978， 2 (6): 429-444.

［2］ R D BANKER， A CHARNES， W W COOPER. Some models for the estimating technical and scale inefficiencies in data envelopment analysis [J]. Management Science， 1984， 30 (9): 1078-1092.

［3］ R FARE， S GROSSKOPF. A nonparametric cost approach to scale efficiency [J]. The Scandinavian Journal of Economics， 1985， 87 (4): 594-604.

［4］ L M SEIFORD， R M THRALL. Recent development in DEA， the mathematical programming approach to frontier analysis [J].Journal of Econometrics， 1990， 46 (1/2): 7-38.

［5］ N K WOMER， M L BOUGNOL， J H DULA，et al . Benefit-cost analysis using data envelopment analysis [J]. Annals of Operations Research， 2006， 145 (1): 229-250.

［6］ Q L WEI， H YAN. Congestion and returns to scale in data envelopment analysis [J]. European Journal of Operational Research， 2004， 153 (3): 641-660.

［7］ Jack HIRSHLEIFER， Amihain GLAZER， David HIRSHLEIFER. Price theory and applications: decisions， markets， and information［M］.Seventh Edition， New York: Cambridge University Press， 2005.

［8］ L M SEIFORD， Joe ZHU. Modeling undesirable factors in efficiency evaluation [J]. European Journal of Operational Research， 2002， 142 (1): 16-20.

［9］ E G GOMES， M P E LINS. Modeling undesirable outputs with zero sum gains data envelopment analysis models [J].Journal of the Operational Research Society，2008， 59 (5): 616-623.

［10］魏權(quán)齡. 數(shù)據(jù)包絡(luò)分析[M].北京: 科學(xué)出版社， 2004.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文