投標人在圍標局勢下的矩陣對策分析

摘要：本文對投標人在圍標局勢下的報價策略進行研究，通過把n人博弈轉化為投標人與虛擬參與人的兩人博弈，提出了對圍標方平均報價區間的估計方法，并利用矩陣對策原理確定了投標人在圍標局勢下的最優報價。

關鍵詞：圍標 矩陣對策 虛擬參與人 報價區間

0 引言

長期以來，由于市場環境不完善，圍標現象一直存在于國內建設工程市場，導致投標人或主動或被動地處于圍與被圍的市場困局中。在這種不完全競爭條件下，部分圍標人以其靈活的手段和雄厚的資金長期占據市場主動權；與此相比，大部分投標人由于種種條件的限制，往往在與其競爭時落于下風。那么，投標人有沒有一種智慧的方法，來突出重圍以破解其所面臨的市場困境呢？運用對策論中矩陣對策原理或許能給那些仍處于“圍城”中的投標人帶來一點有益的啟示。

1 矩陣對策原理

矩陣對策原理簡而言之就是劣中選優，以不變應萬變，將局中人的不利因素降低到最小程度。投標人在遇到圍標情況時，可把圍標方看成虛擬參與人，這時，局中人為投標人I和圍標方II。局中人之間報價競爭，實際上就是連續對策問題。但在實際工作中，可以將擬定的報價范圍每隔一定區間，適當劃分為若干個方案，于是連續對策變成了非連續對策。設投標人I有m個純策略α1，α2，……，αm，圍標方II有n個純策略β1，β2，……，βn，投標人I和圍標方II的策略集分別為：S1={α1，……αm}，S2={β1，……βn}。

當投標人I選定純策略αi和圍標方II選定純策略βj后，就形成了一個純局勢（αi，βj），這樣的純局勢共有m×n個。對任一純局勢（αi，βj），記投標人I贏得值（或失分值）為αij，則稱（1）式為投標人I贏得矩陣，亦稱矩陣對策模型[1]。

2 對策模型設定

2.1 相關定義

2.1.1 投標最高限價設定為1，所有報價用投標限價為基數的相對數表示；

2.1.2 投標人報價處于[a，1]時為有效報價，0

2.1.3 采用無標底評標法，名義投標人平均報價按下浮系數計算評標基準價；

2.1.4 定義以下變量，n：名義投標人數量；xi：投標人I報價；Zj：圍標方IIn-1個成員平均報價；fk：下浮系數；Hk：所有名義投標人平均報價按下浮系數fk計算的評標基準價；Pij：報價偏離率；lij：扣分系數。

2.2 矩陣對策模型

根據（2）式，投標人I報價xi和圍標方II平均報價Zj形成了一個純局勢（xi，Zj），將各種可能扣分結果列成m×n階矩陣，就形成了投標人I的報價扣分矩陣。設Zj≠，函數Pij=F（Zj）在[Zmin，Zmax]上連續，在[Zmin，Zmax]內可導。由于在[Zmin，Zmax]內，

，函數F（Zj）在[Zmin，Zmax]上單調遞減。從而證明對于投標人I每一報價xi，扣分最大值在Zj的兩個端點得到。

2.3 決策原則 對策的策略是：在報價扣分矩陣每一行元素中，找出一個絕對值最大的元素，然后將這些元素排成一個列矩陣，再從該列矩陣中選出絕對值最小的元素，設這個最小的元素為

，這個元素對應的行即為投標人I的最佳報價。

3 參數估計

3.1 圍標方II平均報價區間上限的估計

使用矩陣對策模型需要對圍標方II平均報價Zj區間范圍做出判斷，為估計區間上限不妨設投標人I報價xi≥Zj，可證明：

函數H（xi）在[Zj，1]上連續，在（Zj，1）內可導。已知在一般條件下n≥3，fk≤1，n-2fk>0，所以在（Zj，1）內，，函數H（xi）在[Zj，1]上單調遞增，函數最小值在xi=Zj取到， 。

由（3）式可得： ，從而 ，其中l>>l<，分別為[Hk，1]和[a，Hk]上的扣分系數；同理，若xi

。

如果理性決策是投標人I和圍標方II雙方共同知識，以上結論說明投標人I應避免其報價xi≥Zj，因為投標人I知道圍標方II只要安排某一成員報價等于平均報價Zj，就能保證投標人I在xi≥Zj情況下扣分高于圍標方II，從而杜絕投標人I在此情況下的中標機會；相反，投標人I應盡量使其報價xi

假設投標人I和圍標方II的成本c均服從[0，1]區間上的均勻分布，雙方報價分別為其成本c的嚴格遞增可微函數G3.2 圍標方II平均報價區間下限的估計 為確保中標，圍標方II理論上應使其k個成員報價分別等于按k個不同系數fk下浮后計算的評標基準價Hk。雖然不能完全做到這一點，但由于對局勢具有較大控制力，圍標方II平均報價Zj按k個不同系數fk下浮后得到的報價Zjfk仍將接近于評標基準價Hk，故其可安排成員報價等于Zjfk以作為評標基準價Hk的近似。因此不妨設圍標方II有k個成員報價Zjfk=Hk，平均報價Zj滿足下式：

其中Qj∈[Qmin，Qmax]為圍標方II剩余n-1-k個成員平均報價，由（8）式得：

由（9）式得，， ，其中n-1

-k>0，n-fk>0。由于區域D：a≤xi≤1，Qmin≤Qj≤Qmax內部沒有點（xi，Qj）使得 同時成立，函數Z（xi，Qj）不存在駐點，最小值在邊界點（a，Qmin）取得，代入（9）式得： 。

由于圍標方II知道：如果投標人I報價xi≥Zj，那么只要安排某一成員報價等于其平均報價Zj，就能使得投標人I沒有勝出機會，所以圍標方II投標時的合理做法是安排某一成員報價等于平均報價 Zj，以應對xi≥Zj這種情況；同時，圍標方II也知道：xi

，從而可證：

由（10）式可知，雖然圍標方II占優報價策略為Zj≤xi，但其并不能保證這種策略一定實現，故為了應對xiZj。取Qmin=Zmax，即可保證Qj>Qmin=Zmax>Zj成立，所以圍標方II平均報價區間下限近似為。

4 案例分析

本例根據某項目實際投標情況進行模擬，此項目主要投標情況如下：①設投標最高限價1，有效報價區間規定為最高限價的[0.7，1]；②采用無標底評標法，下浮系數fk={0.95，0.96，0.97，0.98，0.99，1}；③已知標的物在一般水平下的成本估價約為最高限價的0.5；④名義投標人數量n=14，市場出現圍標方買斷除投標人I外的投標人。

由已知條件得圍標方II平均報價區間上限

，平均報價區間下限 。已經證明扣分最大值在Zj兩個端點得到，那么只需在扣分矩陣A中考慮Zmin=0.7363和Zmax=0.75。投標人I報價xi，從0.7開始，每隔0.05%取一次值，一直取到0.75。代入扣分矩陣，得投標人I對應不同下浮系數fk的報價xi。圍標方II開標報價和投標人I模擬報價分別見表1和表2。

表1圍標方II的開標報價

從表2可以看出，投標人I對應不同下浮系數確定的模擬報價與評標基準價十分接近，如應用于實際投標，所有模擬報價在不同下浮情況下都將排名第一，充分說明了此種報價決策手段的有效性。

5 結語

本文提出的報價決策方法依賴于投標人對市場成本的有效估計，當市場成本估計出現較大偏差時，會導致對圍標方平均報價區間估計的偏離，影響矩陣對策報價方法的有效使用，這就要求投標人要盡可能及時研究掌握市場成本動態，以發揮模型最大功用。退一步來說，目前國內部分建設工程市場推出誠信排名體系，誠信分在評標總分中占一定權重。就算投標人對圍標方平均報價估計有所偏差，導致模型最后報價結果無法達到最優，但只要通過該模型將偏離控制在一定范圍之內，投標人仍可以通過誠信分予以彌補，從而加大在圍標局勢下的中標可能性。

參考文獻：

[1]胡運權.運籌學教程[M].北京:清華大學出版社，2007.

[2]鄒銳，毛義華.無標底招投標報價策略研究[J].技術經濟與管理研究，2005，(1):68-69.

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[5]Friedman L. A Competitive Bidding Strategy[J].Operations Research，1956，1(4):104-112.