在教學中培養學生的反思能力

摘 要：我們應該在平時教學中，抓住每一個機會，在鞏固所學知識的基礎上，培養學生分析問題與解決問題的能力，以便提高學生的數學素養與思維素質，使學生在學習的過程中慢慢養成反思的習慣，逐漸形成自我覺察、自我探究、自我監控的思維過程。

關鍵詞：反思；功利性反思；自覺性反思

中國分類號： G420 文獻標識碼： A 文章編號：1992-7711（2011）03-067-02

任何思維都有其特定的角度、坐標和層次，都是在一定的特殊層次上對世界的把握。反思是一種重要的思維形式和思維方法，它是通過對思維的各個環節進行審視，對所得的結果的再思考，使思維不斷深入、理性升華的過程。我認為在具體的教學實踐中，反思力的培養可分兩個階段：功利性反思階段和自覺性反思階段。

一、功利性反思階段

功利，指功效和利益。當反思對自己追求的目標：“提高成績”有實質性幫助，并具有可操作性時，他們便會對之有較大的興趣。為此，我們可以從錯解和好題兩方面入手，引導學生進行反思。

(一)從錯解中激發學生反思的興趣

學生們天生喜歡學習，他們會追求自己感興趣的目標，個人對成敗的期望決定著他們對錯題有一定的興奮性，刺激著他們探究的學習欲望。

1.利用作業中的錯解進行反思

一個大紅叉，對學生或多或少是一個刺激，“這題為什么錯了？”，在尋找原因的過程中必有一種憤懣的感覺，有一種強烈的尋根究底的心情，我們應及時抓住學生的這種感覺，誘導他們反思錯誤的原因，是粗心大意了？基礎知識未掌握好？還是對知識理解錯誤造成的？平時有類似的錯誤嗎？我們從中能吸取什么樣的教訓，有何啟發？進而把它們放進錯題集，時而習之。

2.利用典型易錯例題進行反思

有一種教學法叫做“陷阱教學法”，先給學生制造一個陷阱，誘其跳下去，然后讓學生進行糾錯，找出原因，我們在一旁進行點撥，使其茅塞頓開，反思的興趣也就更濃了。

例1： 已知角y=2x終邊在直線上，求角α的三個三角函數值。

(錯)解：在角α的終邊y=2x上任取一點P(1，2)，則r=1+22=5

∴sin α=25

=255

cos α=15=55 tan α=2

忽然有學生說：“錯了”。我乘機問：“錯在哪里？”有人答：“如果取點(-1，-2)呢？”大多數學生點頭了。“錯誤是怎樣產生的？”“由于直線y=2x被原點分成了兩條射線，一條在第一象限上，另一條在第三象限上，解中只考慮了一種情況，故產生了漏解。”有學生回答得挺好。“怎樣做才能做到不漏解？”我緊追不舍，“先取點P(1，2)，再取P′(-1，-2)就可以了。”

(二)從好題中強化學生的反思意識

平時的教學過程中，我們可以通過設計新穎、難度適中、學生感興趣的真實的學習任務來刺激他們的求知欲、創造性和認知能力的發展。

1.利用書本定理、例題、習題進行反思。

例2： 推導公式cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β，在教學中，我先讓學生閱讀課文，然后引導學生進行了如下反思：

(1)以前我們用過單位圓嗎？這里為什么要利用單位圓？

（簡單直觀性的原則，即直接表示出α、β角的正余弦值與角α+β的關系。）

(2)作-β角有何作用？怎么會想到作-β？

（利用數形結合思想及“同一個圓中相等的圓心角所對的弦長度相同”。實質：旋轉變換是數學中常見的變換方法。）

(3)兩角和的余弦公式對任意角α、β都成立嗎？為什么？

(4)這里是怎樣把未知問題轉化為已知問題的，運用了什么原則？

（化繁為簡，利用單位圓直觀地表示出單角與和角，數形相結合）。

(5)這里用單角的正余弦函數值來表示和角的余弦值，我們能否再構造一個類似的方法來解決這個問題呢？

這時有學生提出不作-β，作+β試試看。

如圖：∠P1OP3=α，∠P1OP2=β，∴P1(1，0)

P2(cos β，sin β)，P3(cos α，sin α)，P4[cos(α+β)，sin(α+β)]

∵∠P1OP2=∠P3OP4=β∴|P1P2|2=|P3P4|2

即(cos β-1)2+sin2 β=[cos(α+β)-cos α]2+[sin(α+β)-sin α]2

cos β=cos (α+β)cos α+sin(α+β)sin α

這時，大家都沉默了，“這可怎么辦？”我先提示，“看看需要證的式子與運算結果的形式有何不同？”后繼續提示，“把原式改成cos(x+y)=cos xcos y-sin xsin y，再對照一下。”學生緊皺的眉頭終于慢慢逐漸舒展了。

“只要令α+β=x，α=-y，∴β=x-α=x+y

∴cos(x+y)=cos xcos(-y)+sin xsin(-y)

即cos(x+y)=cos xcos y-sin xsin y

我說：“其實，我們把β看成(α+β)+(-α)即可，這是一種重要的變形技巧：變角。所以，我們對書上的定理、例題的解法盡可能要反思，為什么要這樣做？這種做法好處在哪里？中間應用了哪些數學原則、方法和技巧？對我有啟發嗎？可不可用另外方法處理？哪種方法更簡單？”

2.利用一題多解，探求更好解法的過程進行反思。

一題多解對開拓學生思路，培養學生思維的廣泛性與創造性，激發學生的學習興趣都是有益的，可以提高學生分析問題和解決問題的能力，而從中進行反思，選取更佳途徑的過程，將進一步提高學生對反思的興趣，也有利于學生反思自覺性的培養。

例3： 若直線l1:y=kx+k+2與l2:y=-2x+4的交點在第一象限內，則k的取值范圍是 。

A.k＜-23B.K＞2

C.-23＜K＜2D.k＜-23或k＞2

學生1：“利用交點P(x0，y0)在第一象限[JB({]x0＞0y0＞0[JB)]可得k的范圍”。

解法I：設l1與l2的交點為(x0，y0)，由方程組[JB({]y=kx+k+2y=-2x+4[JB)]

解得交點[JB({]x0=2-k2+ky0=6k+42+k[JB)]∵點(x0，y0)在第一象限

解[JB({]2-k2+k＞06k+42+k＞0[JB)]∴-23＜k＜2故選C。

反思：上述解法利用方程思想，用k的代數式表示出點的坐標，非常直觀，思路自然，是一種有效方法，但稍嫌麻煩。同學們還有別的更簡單的方法嗎？

學生2：“令k=0，用特殊值法”。

解法Ⅱ：令k=0，則得交點P(1，2)符合條件。∴選C。

反思：選擇題有自己特點，此題采用特值法特別簡捷。

我問：“如果改成填空題呢？除了方法I之外，聯想一下解析幾何的特點，還有什么別的方法？”

學生3：“只要求出kMB、kMA即可：kMA＜k＜kMB”

解法Ⅲ：∵如圖，直線l1過定點M(-1，2)，直線l2與x軸、y軸分別交于A(2，0)、B(0，4)

∴直線l1與l2的交點P在第一象限內點P在線段AB內運動（不含端點）kMA＜k＜kMB

∵kMB=2，kMA=-23，∴l1與l2交點在第一象限內。

故直線系中的直線y=kx+k+2的斜率k滿足-23＜k＜2

∴選C。

我引導學生進行反思小結：1.選擇題有自己的獨特解法，如方法Ⅱ的特殊值法；方法Ⅲ的數形結合法，也叫直觀選擇法；方法I的直解對照法等，解題方法的選擇視具體情況而定。2.方法I與Ⅲ相比，I思路簡單，但運算量稍大。方法Ⅲ則具有一定的技巧性，包含了轉化思想、數形結合思想，它把含參直線看成是過定點的直線系方程，把l1看成是繞定點旋轉的直線，于是求k的范圍轉化為求斜率的范圍，利用數形結合的思想方法，得出正確結論。根據解析幾何的特點，有以下兩點值得大家好好理解：

①解析幾何題中的題目常需數形結合。

②解析幾何有“思考層次深，運算量小；思考層次淺，運算量大”的特點。平時解題時應多思考，探求更好解法，以便提高解題效率；另一方面，在這個過程中，也提高了數學思維能力。

二、自覺性反思階段

當學生意識到反思是一種有效的提高自己學習水平的一個思維過程，他們反思的積極性就會大大提高。我們應該抓住這個機會，促使他們進入自覺性反思階段，鼓勵他們積極主動投入到自己的學習當中，使他們能夠為學習過程負責，能夠控制自己的學習進程，檢查對知識的理解程度，主動積極地參與學習，成為自律的學習者。在這一階段，我們可采取一定措施，鼓勵學生通過反思，取得創造性成果。并給他們一定的場合，如課堂上及黑板報中，展示他們的反思成果，促使他們形成自我探究、自覺監控、自我調節的過程。

鼓勵學生推薦反思成果是一個促進反思自覺進行的有效手段。

通過推廣反思成功的經驗，使之得到更為廣泛的應用，這是反思的一項重要內容，也是反思的一個目的。另一方面的意義是它可進一步激發反思成功學生的學習欲望，更可帶動一片學生進入自覺反思學習的領域。下例是一個學生的反思成果。

例4： 已知sin4 αsin2 β+cos4 α+cos2 β=1，求證：sin4 βsin2 α+cos4 βcos2 α=1

方法Ⅰ：應用降次公式cos2 x=1+cos 2x2，sin2 x=1-cos 2x2，

由此將條件式化為(1-cos 2α)22(1-cos 2β)+(1+cos 2α)22(1+cos 2β)=1

通分化簡可得：(cos 2α-cos 2β)2=0∴cos 2α=cos 2β

∴sin2 α=sin2 β，cos2 α=cos2 β

∴sin4 βsin2 α+cos4 βcos2 α=sin4 αsin2 α+cos4 αcos2 α=sin2 α+cos2 α=1

其中有一個學生說，由cos2 x=1+cos 2x2，sin2 x=1-cos 2x2只能降一次，速度不夠快，而公式sin2 x+cos2 x=1可一下子降兩次，功能更為強大，我就試用了一下，結果成功了。

方法Ⅱ：設a=sin2 α，b=sin2 β，∴cos2 α=1-a，cos2 β=1-b

故條件式可化為a2b+(1-a)21-b=1，化簡即得(a-b)2=0

∴a=b∴sin2 α=sin2 β，cos2 α=cos2 β，下同解法Ⅰ。

他說，我試過了，利用sin2 x+cos2 x=1的降次快的特點，可以處理一批含有三角函數偶次冪的問題。

我在課堂上表揚了他，并用半個黑板報的版面推廣了他的反思成果，不僅他的學習積極性大為高漲，也帶動了周圍一批數學愛好者向自覺性反思這一境界挺進。

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