不成比例交易費模型解的討論

摘要：本文主要考慮了在期望收益率不精確知道的情況下，結合不確定性決策的方法，對不成比例交易費在不允許賣空和借貸的情況下建立了一種基于極大極小準則的投資組合選擇模型；并對其解進行分析討論，給出了模型求解的具體方法。

關鍵詞：不成比例交易費 線性規劃最優解

0 引言

交易費是人們在交易過程中必須承擔的各種費用。這些費用的存在對于投資者在選擇投資機會及資產配置方面起著不可忽視的作用。實際上，在證券組合的管理與決策中，帶交易費的最優投資組合選擇問題已經引起了眾多學者的關注。但大部分文獻中總是假設交易費是成比例的或只考慮固定交易費的存在，他們卻忽略了實際的金融市場中固定交易費和可變交易費同時存在這一客觀事實。

本文主要考慮了在期望收益率不精確知道的情況下，結合不確定性決策的方法，對不成比例交易費在不允許賣空和借貸的情況下建立了一種基于極大極小準則的投資組合選擇模型；并對其解進行分析討論，給出了模型求解的具體方法。

1 模型的建立

我們先對本文符號作簡要說明：

Ri：風險資產i的隨機收益率，i=1，2，…，n；R=（R1，R2，…，Rn）T；

ri：風險資產i的期望收益率，i=1，2，…，n；r=（r1，r2，…，rn）T；

rn+1：無風險資產的收益率；

xi：將要投資在資產i上的比例，i=1，2，…，n+1；x=（x1，x2，…，xn+1）；

xi0：已投資在風險資i上的比例，i=1，2，…，n；

W0：投資者在起初擁有的初始財富；

ki：風險資產的交易費率，i=1，2，…，n；

Ci（xi）：資產i的交易費用；

C（x）：總交易費用

當交易量xi不超過μi時，交易費用按μi的交易費計算，是一個固定交易費用；如果交易費超出μi時，交易費則與交易量成正比。這種形式下的交易費函數更貼近于真實的金融市場。

風險資產i的交易費函數可表示為：

其中i=1，2，…，n是常數.

那么在扣除交易費后，投資組合的均值和方差分別為：

其中0≤m≤n.

令（1-λ）和λ分別是指標E[R（x）]和Var[R（x）]的權系數.參數λ 可解釋為投資者的風險厭惡因子，λ越大，投資者越厭惡風險.設0<λ<1，即投資者既不極度保守也不極度冒險.但另一方面，由于ri（i=1，2，…，n）并不精確知道，投資者會選擇最不利情況下最有利的策略.因此，投資者將求解如下極大極小問題：

其中0<λ<1，0≤m≤n.

則上述問題可以寫成：

2 模型解的討論

我們先引入Fan的一個著名結果。可查閱其著作[4].

引理1 令X是一個非空間集合，Y是一個非空緊拓撲空間.令 F：X×Y→R在Y上下半連續.設F在X類凹.在Y上類凸.即

定理2 問題P（λ）可等價地有如下問題求解

固定x，考慮以r為變量的極小化問題P2（λ）：

定理3 問題P2（λ）必有最優解，記為r*=（r1*，r2*，…r*n）.若（x1，x2，…xn）≥0。則

定理3說明，問題P（λ）的求解相當于求解下述問題：

這是一個約束區域為有界閉集，目標函數連續的最優化問題，其解必然存在。為了能求出P3（λ）的解，考慮如下僅含等式約束的極大化問題：

定理4 設問題P4（λ）的最優解為x*=（x*1，x*2，…x*n+1）

① 若x*≥0，則x*必為P3（λ）的最優解。

② 若x*存在t個負分量x*i1，x*i2，…x*it，則問題P3（λ）的最優解必在集合C=Utl=1Cil中，其中Cil= 即和這些投資比例x*i1，x*i2，…x*it，對應得資產中至少有一種冗余資產（指排除在不允許賣空的最優投資組合結構之外的資產）。

證明：①顯然。

② 用反證法：假設x=（x1，x2，…xn+1）≥0是問題P3（λ）的最優解，但x∈C，從而x的分量滿足xil>0.(l=1，2，…，t)。其余分量為非負，顯然x與x*不同。

令

顯然有

即 為問題P4（λ）的可行解，經計算

其中為關于α的線性函數。

為關于α絕對值函數，易證它是關于α的凹函數。

為關于α的二次函數，其中α2項的系數為。

因為 被假設為正定的，x與x*不同，所以

<0。

所以W3是關于α的嚴格凹函數，故f（α）在[0，1]上是嚴格凹函數。又由于x*是問題P4（λ）的最優解，故α∈[0，1]時，f（0）=f（x*，r*）>f（ ，r*）=f（α）故有f（0）>f（1）.

因為f（α）為[0，1]上的嚴格凹函數，依據嚴格凹函數定義，對任意ω∈（0，1），有

所以對 ，有

由于 （α）關于α連續，且 （1）=x，所以在1的附近存在α使得

（α）的分量滿足 其余分量非負，從而 （α）為問題P3（λ）的可行解，且

這與x=（x1，x2，…xn+1）≥0為問題P3（λ）的最優解矛盾，所以假設x∈C不成立。固原命題成立，（證畢）

由上述定理，我們可以得出求P（λ）的解的步驟：首先對P2（λ）關于r求出解，然后對P4（λ）求解，若P*4（λ）的解中，x*i≥0，i=1，2，…n+1，則P4（λ）的解也為P3（λ）的解，進而是P（λ）的解。若

<0，則令 代入原方程求解。此時少了一個分量方程。依此類推，最多n步就可以得到原方程的最優解。

參考文獻：

[1]Markowitz H.Portfolio selection.The Journal of Finance，1952，7(1):77-91.

[2]Sharpe WF.A simiplified model for portfolio analysis.Management Science.1993，9(3):277-293.

[3]劉善存，邱菀華，王壽陽，帶交易費用的泛證券組合投資決策，系統工程理論與實踐，2001，21（5）：88-92.

[4]李向科，戚發全，金融數學，中國人民大學出版社，2001.

[5]劉海龍，樊治平，潘德惠，帶有交易費用的證券投資最優策略，管理科學學報，1999.2（4）：39-43.