回歸分析和灰色理論在地面沉降預測中精度的對比

摘要：本文將灰色系統理論、回歸分析引入到因抽汲地下水而導致地面沉降發展趨勢預測的研究之中。根據滄州市地面沉降的歷史監測數據建立了滄州市地面沉降模型，運用兩類不同的模型分別對該區地面沉降發展趨勢進行了預測，比較得出灰色系統理論預測精度最大，為該地區今后的地面沉降發展趨勢及其防治提供可靠依據。

關鍵詞：地面沉降 灰色系統 回歸分析 GM（1，1）模型 滄州

0 引言

地面沉降災害是環境地質災害中非常嚴重的問題之一。主要表現在：地表高程資源損失、地面低洼變形、河道泄洪能力下降、洪澇災害加重、工程設施破壞、建筑物基礎下沉、風暴潮及海岸侵蝕災害加重等。科學界在努力獲得對自然沉降和人為沉降的進一步理解，同時在地面沉降的野外和室內檢測、機理、預測方法、防治措施與效果方面也取得了豐碩的成果。目前，地面沉降發展趨勢預測是地面沉降研究中的重要內容。

1 地面沉降發展趨勢預測方法

目前，地面沉降預測計算的模型很多，主要有土水模型（多由水位預測模型和土層壓密模型構成）和生命旋回模型（直接由沉降量和時間的關系構成）。

1.1 回歸分析預測法

地面沉降災害的發生與許多因素有著直接與間接的聯系，比如地下水（石油、天然氣等）的累計開采量、地下水位的埋深、地層巖性結構特征（包括粘性土的巖性、厚度、固結性、滲透性等）、地質構造等。科學實踐表明，變量之間的關系可以分為確定性關系和相關關系。在地面沉降發展趨勢的預測研究中，累計地面沉降量與上述許多變量之間雖然有非常密切的關系，但是要找出它們之間的確切關系是非常困難的，而且這種確定關系從理論上講也是不存在的。回歸分析就是應用數學方法，根據最小二乘法原理，對這些監測數據與實驗數據去粗取精，去偽存真，從而得到反映地面沉降規律的數學預測模型。

1.2 灰色理論GM預測法

灰色系統理論用于預測多采用GM(1，1)模型，該模型是單變量一維模型。GM(1，1)模型不使用待預測量的原始數據進行處理，它在原始序列的基礎上生成一個新的數據序列，使用新數列進行預測，然后對預測數列進行還原處理，得到真正的預測數據序列。灰色系統理論克服了其他理論和方法（回歸分析、方差分析）要求大樣本量、樣本要有較好的分布規律、計算工作量大等方面的缺點，很好的保證了預測的精度。

不同因素所誘發的地面沉降的范圍、速度及持續時間不同。因此，地面沉降研究的對象是“土層—地質作用—人類活動”的復雜系統。由于表征該系統的參數是灰數、影響地面沉降的因素是灰元、構成系統的各種關系是灰關系，所以該系統是一個不具有物理原型的灰色系統，灰色系統理論在地面沉降研究領域應用是有科學依據的。

2 地面沉降發展趨勢預測的實例計算

2.1 實驗數據

該區域松散沉積物厚度近1000m，按照水文地質條件與含水層特征，其間被分成五個含水組（層）：第Ⅰ含水層埋深0~50m，通過降雨入滲補給；第Ⅱ含水組埋深30~110m之間，因礦化度高開發成本較高，基本沒有利用；第Ⅲ含水層埋深150~350m，主要有粘性土與砂性土組成，該層地下水開采量約占總開采量的90%；第Ⅳ含水層埋深350~450m；第Ⅴ含水層埋深450~1000m。由于沉降層的埋深厚度為160~348m(主要是第Ⅲ含水組)，粘性土約占此厚度的72%，其中以粉質粘土為主，達110m左右；砂性土約占沉降層厚度的28%，其中細砂占砂性土厚度的45%，粉細砂占32%，中細砂占12%，粉砂占11%。因此，本文在選取數據時主要考慮第Ⅲ含水組的情況。

觀測數據表明，上世紀70年代滄州漏斗中心累計沉降量較小(<200mm)，80年代后期沉降量迅速增加，到1990年漏斗中心累計沉降量達到1130mm，地面沉降災害已成為滄州地區主要地質災害之一。

2.2 預測結果

2.2.1 線性回歸預測結果

回歸預測包含線性回歸預測與非線性回歸預測。為了考慮數據采樣的時序性和連續性，在這里選取1978~1983年連續數據進行預測。根據上述原則選取數據，在直角坐標系中對應的做出一系列的點，可得散點圖1。

根據圖1中圖形大致走向，我們引用線性回歸、乘冪回歸、指數回歸、對數回歸進行預測，部分預測結果見表1和圖2（由于計算量大，本文回歸預測及圖形繪制均使用Excel進行，其中圖2進行了合并處理）。

通過計算發現對數回歸預測模型的相關系數平方值R2= 0.913，精度相對低，而指數回歸預測殘差太大，所以將其預測結果和預測模型剔除。

2.2.2 GM（1，1）模型預測結果

①GM(1，1)建模

根據滄州地區歷史漏斗中心累計地面沉降量實測數據建立GM(1，1)模型，并在此基礎上對該地區地面沉降量進行預測。本文選取表1-1中1978~1983年的累計沉降量數據作為原始數據序列：

X(0)={172，199，272，351，456，527}…………………………式(3)

然后按照具體步驟一步步求解。由于在求解過程中涉及到矩陣的相乘、求逆矩陣、解微分方程等復雜運算，所以利用Matlab軟件自編程序對數據進行處理，簡化計算過程中的復雜度。

地面沉降一階累加GM（1，1）預測模型為：

…………………………式(4)

式中：k——預測時間（k=0，1，2…n.）；

——漏斗中心地面沉降一階累加預測值。

②殘差建模修正

建立殘差GM(1，1)模型，進一步提高模型的精度。

a先求殘差序列為： ={0.0，-17.311，-0.111，8.696，25.395，-14.683 }……式(5)

b由于殘差數列中最小值=-17.311小于0，需將坐標下移，得：

……式(6)

c由正數化后殘差序列建立微分方程動態模型和時間響應函數，殘差序列一階累加預測模型為：

…………………………………式(7)

d原始殘差預測值：

…………………式(8)

e對模型計算值進行修正。經比較可以看出GM模型經過殘差修正后，預測值的平均相對誤差由3.26%提高到3.08%。

3 預測結果討論

由預測結果可以發現在回歸預測過程中，直線回歸預測和乘冪回歸預測所得的平均相對誤差較小，分別為5.51%和3.25%；而指數回歸預測和對數回歸預測所得結果的平均相對誤差較大，分別為42.77%和9.29%。GM模型預測所得結果的平均相對誤差為3.08%，精度進一步提高。由此可見，乘冪回歸預測與GM（1，1）模型預測精度相對最高，在該地區未來地面沉降發展趨勢預測研究中有十分重要的利用價值。

3.1 回歸預測及結果分析

根據資料，滄州地區到1990年底，第Ⅲ含水層組累計開采量為2.7397億m3，分別利用式(1)和式(2)進行預測，預測結果分別為1210.32mm和1642.79mm。根據表1可知實測累計沉降量為1131mm，可見直線回歸預測結果更加接近真實值，說明1971~1990年間該地區累計地面沉降量與累計地下水之間的關系更趨向于直線，在該地區用直線擬合精確度更高。但是在不同的時間段內要根據具體的地面沉降發展趨勢有選擇性的選用預測模型。

3.2 GM模型預測及結果分析

利用上面推倒出來的GM模型計算出滄州1984~1986年沉降量分別為：678.42mm、847.13mm、1066.47mm，與實測值相比殘差越來越大。原因分析：根據實測資料計算出1970~1997年間滄州地面沉降率在71mm/a左右，而1980~1997年間地面沉降率達到100mm/a左右，滄州地區地面沉降在1970~1997年間是以不同沉降速率下沉（而且沉降率變化非常大）。這就說明精度高的數學模型只是精確預測的一個不可缺少的因素之一，最新的監測數據更加決定了預測結果的精確性。所以GM模型必須時時更新、修正，定期加入新數據，剔除舊數據，使模型隨時間動態更新，只有這樣才能使灰色理論模型更好的應用在地面沉降的研究中。

4 結論

綜上所述，精確的預測結果需要大量基礎數據。根據滄州地區地面沉降的特點，對漏斗中心進行地面沉降發展趨勢預測，不能局限于一個模型的建立，要根據實際情況利用不同的方法建立多個模型，然后對預測結果進行分析處理，才能更準確預測該地區未來地面沉降的變化。