構(gòu)造一種廣義重心混合有理插值

摘要:本文將傳統(tǒng)的重心插值方法和Pade逼近相結(jié)合，構(gòu)造一種新的混合有理插值。對(duì)于每個(gè)插值節(jié)點(diǎn)處給定的形式冪級(jí)數(shù)，先在每個(gè)插值節(jié)點(diǎn)處求得其Pade逼近，然后用重心插值函數(shù)對(duì)它們進(jìn)行組合，從而得到一種新的混合有理插值。與傳統(tǒng)的插值方法相比，結(jié)果更精確。給出的數(shù)值例子表明了新方法的有效性。

關(guān)鍵詞:重心插值 Pade逼近 混合有理插值

1 廣義重心混合有理插值方法

有理函數(shù)插值往往比多項(xiàng)式插值具有更高的插值精度，計(jì)算中若采用有理函數(shù)插值可以有效的克服插值的不穩(wěn)定性。重心有理插值具有計(jì)算量小、精度高、數(shù)值穩(wěn)定性好的優(yōu)點(diǎn)路[1，4]。當(dāng)被插值函數(shù)在每個(gè)插值節(jié)點(diǎn)處的形式冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式已知，將重心有理插值作進(jìn)一步的推廣，將每個(gè)插值節(jié)點(diǎn)處的Pade逼近用重心插值函數(shù)的形式組合來(lái)構(gòu)造新的混合有理插值。隨著Pade逼近的階數(shù)升高，這種混合有理插值使用了更多的被插函數(shù)在插值節(jié)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)信息，可以獲得更高的逼近精度。

記被插函數(shù)為f(x)，插值節(jié)點(diǎn)分別為x0，x1，…，xn，且設(shè)

是點(diǎn)x=xk處的形式冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式，由(1)可求得f(x)在點(diǎn)x=xk處的(m，n)階Pade逼近為

其中ai(k)=1，ai(k) ，bi(k) ，的確定如文獻(xiàn)[2，3，5]所示。

則混合重心有理插值可構(gòu)造如下：

顯然，由于r(xk)=f(xk) (k=0，1，…，n)，因此有

即廣義重心混合有理插值滿足插值條件。

2 數(shù)值實(shí)例

設(shè)被插函數(shù)為f(x)=e-x2，插值節(jié)點(diǎn)分別為x0=1，x1=1.7，x2=1.9，x3=2，則f(x)在四個(gè)插值節(jié)點(diǎn)處的形式冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式分別為：

f(x)=(0.05557621261-0.1889591229(x-1.7)+0.2656542963(x-1.7)2-0.1751021205(x-1.7)3+…，

f(x)=0.2705184687-0.1027970181(x-1.9)+0.1682624875(x-1.9)2-0.1446011388(x-1.9)3+…，

取m=3，n=1，從而由上述各個(gè)插值節(jié)點(diǎn)處的形式冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式可求得

再由式(3)得廣義重心混合有理插值（這里取ui=(-1)i，i=0，1，…，n.）

通過(guò)計(jì)算比較表明廣義重心混合有理插值比傳統(tǒng)的重心插值更有效。

3結(jié)論

本文將傳統(tǒng)的重心插值方法與Pade 逼近相結(jié)合，給出了一種新的混合有理插值方法。和傳統(tǒng)的插值方法相比，新方法通過(guò)使用各個(gè)插值點(diǎn)處更多的信息，可獲得更好的逼近效果。給出的數(shù)值例子表明了新方法的有效性。

參考文獻(xiàn):

[1]Berrut J.-P.，Baltensperger R.，Mittclmann，H.D. Recent developments in barycentric rational interpolation. In: de bruin，M.G..，Mache，D.H.，Szabados，J.，(eds) Trends and Applications in Constructive Approximation. Interpolation Series of Numerical Mathematics [C]. Birkhauser，Basel，2005，151: 27-51.

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[5]Nicholas J H．The numerical stability of barycentric lagrange interpolation [J]．IMA Journal of Numerical Analysis，2OO4，24(4)：547556．

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文