怎樣學(xué)好數(shù)學(xué)歸納法

摘要：數(shù)學(xué)歸納法是數(shù)學(xué)證明中的一種重要方法，它不僅對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有很大幫助，而且對(duì)高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中也是極為重要的。本文就怎樣學(xué)好數(shù)學(xué)歸納法，并對(duì)在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法的過(guò)程中出現(xiàn)的困難進(jìn)行了講解，以幫助學(xué)習(xí)者更加熟練的達(dá)到應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)歸納法 命題 遞推

數(shù)學(xué)歸納法是證明數(shù)學(xué)命題的一種重要方法。對(duì)于與自然數(shù)有關(guān)的命題，一般都可以用數(shù)學(xué)歸納法證明。

學(xué)習(xí)和掌握數(shù)學(xué)歸納法，有兩個(gè)主要困難：一是它的實(shí)質(zhì)不大容易理解；二是歸納步驟的證明有時(shí)難以入手。本文試就怎樣學(xué)好數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行一些討論。

1 關(guān)于數(shù)學(xué)歸納法的原理

用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)命題時(shí)，必須包括下面兩個(gè)步驟：

第一步：驗(yàn)證當(dāng)n取第一個(gè)值（如n=1）時(shí)命題成立；

第二步：假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N)時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立。

完成了這兩個(gè)步驟，就可斷定命題對(duì)一切自然數(shù)都成立。

這里的第一步稱為奠基步驟，是命題論證的基礎(chǔ)；第二步稱為歸納步驟，是判斷命題的正確性能否從特殊推廣到一般的依據(jù)。這兩個(gè)步驟密切相關(guān)，缺一不可。如果只有奠基步驟而無(wú)歸納步驟，那就屬于不完全歸納法，因而，論斷的普遍性是不可靠的。反之，如果只有歸納步驟而無(wú)奠基步驟，那么歸納步驟中的假設(shè)（簡(jiǎn)稱歸納假設(shè)）就失去依據(jù)，從而使歸納步驟的證明失去意義，這一步即使得以證出，其結(jié)果也是建立在不可靠的基礎(chǔ)上的，所以仍然不能斷定原命題是否正確。

初學(xué)者對(duì)于上述思想往往缺乏深刻的認(rèn)識(shí)，對(duì)用數(shù)學(xué)歸納法證題，總覺得不大放心，以為這種證法流于形式，證于不證似乎沒(méi)有什么兩樣。這種疑慮是進(jìn)一步學(xué)習(xí)的絆腳石。只有弄清實(shí)質(zhì)，理解原理，才能把數(shù)學(xué)歸納法學(xué)到手。下面我們擇要分析幾種容易產(chǎn)生的疑慮。

一種疑慮是：對(duì)奠基步驟中只須“驗(yàn)證n=1時(shí)命題成立”感到不放心，認(rèn)為要多驗(yàn)證幾個(gè)自然數(shù)，心里才覺得踏實(shí)。這種想法反映了對(duì)奠基步驟的證明目的缺少全面的領(lǐng)會(huì)。事實(shí)上，驗(yàn)證n=1時(shí)命題成立，就說(shuō)明命題有了遞推的基礎(chǔ)，待歸納步驟得證后，就可以斷定命題對(duì)一切自然數(shù)都成立。

另一種疑慮是：對(duì)歸納步驟中的歸納假設(shè)感到迷惑，認(rèn)為n=k時(shí)命題的成立既然是假設(shè)的，那么即使證出n=k+1時(shí)命題成立，似乎也沒(méi)有什么實(shí)際意義，產(chǎn)生這一疑慮大致有兩個(gè)原因：一是沒(méi)有把奠基步驟和歸納步驟結(jié)合起來(lái)考察；二是對(duì)歸納步驟的證明目的認(rèn)識(shí)模糊。

我們先來(lái)分析一下，究竟是否允許“假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立”？解答這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵是明確k的含義。這里的k是任意的，所有能夠使命題成立的自然數(shù)都可以作為k。而且，這樣的k是存在的。由奠基步驟可知，當(dāng)n=1時(shí)命題成立，所以至少自然數(shù)“1”就是一個(gè)例子。由此可見，歸納假設(shè)初始的實(shí)際根據(jù)，是在奠基步驟中已經(jīng)驗(yàn)證了的。證明歸納步驟的目的，則在于確立遞推的根據(jù)，使命題得以按奠基步驟所提供的初始根據(jù)，逐個(gè)進(jìn)行遞推，從而作出“命題對(duì)一切自然數(shù)都成立”的結(jié)論。

第三種疑慮是：既然歸納假設(shè)中的k是任意的，那么將k代以k+1，馬上便可推得“n=k+1時(shí)命題成立”了，何必要花那么多功夫去證歸納步驟呢？這種想法是由于對(duì)k的任意性理解不正確而造成的。k的任意性，只在作歸納假設(shè)時(shí)可以任意，既假設(shè)以后，在推導(dǎo)“n=k+1時(shí)命題成立”的時(shí)候它便只能固定不能任意了。事實(shí)上，k和k+1永遠(yuǎn)是兩個(gè)不同的自然數(shù)，k是那些使命題成立的自然數(shù)集合（記作S）中的任一個(gè)，而k+1是k的后繼數(shù)，它是否屬于集合S只有經(jīng)過(guò)證明才能確定，所以從k證到k+1是必不可少的。

通過(guò)以上討論，我們可以進(jìn)一步體會(huì)到，用數(shù)學(xué)歸納法解題時(shí)，兩個(gè)步驟是缺一不可的。

2 關(guān)于歸納步驟的證明思路

用數(shù)學(xué)歸納法證題時(shí)，關(guān)鍵在歸納步驟，而歸納步驟的關(guān)鍵，又在于合理應(yīng)用歸納假設(shè)。因此，熟悉歸納步驟的證明思路是十分必要的。就中學(xué)教材而論，應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明的命題大致有兩種類型：

2.1 能直接應(yīng)用歸納假設(shè)來(lái)證明的。證明這類問(wèn)題時(shí)，通常在歸納假設(shè)的兩邊同加（或同減）某項(xiàng)，通過(guò)適當(dāng)變換完成證明，對(duì)于這種類型的題目，在中學(xué)的課本中是比較常見的。

2.2 不能直接應(yīng)用歸納假設(shè)來(lái)證明的。這類命題解題時(shí)，一般通過(guò)下面兩種途徑，為應(yīng)用歸納假設(shè)創(chuàng)造條件：（1）先將n=k+1帶入原式，然后將所得表達(dá)式作適當(dāng)?shù)淖儞Q，從而證到結(jié)論；（2）利用其它數(shù)學(xué)知識(shí)，建立P(k)（第k號(hào)命題）與P(k+1)（第k+1號(hào)命題）的聯(lián)系，從而得到結(jié)論成立。對(duì)于這種類型題目在中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，特別是在高考大題中的出現(xiàn)概率是比較高的。

為了更好地掌握歸納步驟的證明思路，我們簡(jiǎn)單的介紹幾個(gè)例子加以說(shuō)明。

例1.設(shè)n∈N，用數(shù)學(xué)歸納法證明：

能被8整除。

證明：(1)奠基.當(dāng)n=1時(shí)， ，能被8整除，命題成立；

(2)歸納.假設(shè)n=k時(shí)命題成立，f(k)能被8整除。

則當(dāng)n=k+1時(shí)，有

這里5k+3k-1是兩奇數(shù)之和，必為偶數(shù)，所以f(k+1)能被8整除，命題也是成立的。因此，對(duì)一切自然數(shù)n，f(n)都能被8整除。（證完）

例2.求證(a>o).

證明(1)奠基.當(dāng)n=1時(shí)，原式成立。

(2)歸納.假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)成立，即

現(xiàn)在再證明n=k+1時(shí)的情況：

這就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1時(shí)，原式仍成立。

根據(jù)(1)和(2)，對(duì)于任何自然數(shù)n原式都成立。（證完）

例3.試證：大于7的整數(shù)均能表為若干個(gè)3和5的和。

證明：(1)奠基.n=8時(shí)，8=3+5，命題顯然成立；

(2)歸納.假設(shè)n=k時(shí)命題成立。這時(shí)k的組成有兩種可能情形：①k全都由3連加而得，則至少需要三個(gè)3（否則3×2=6<8)；②k不是全由3連加而成，則其中至少有一個(gè)5。

因此，當(dāng)n=k+1時(shí)，若k屬于情形1，只要把三個(gè)3換成兩個(gè)5，即得k+1；若k屬于情形2，則把其中的一個(gè)5換成兩3，即得k+1。

由此，歸納步驟得證。從而原命題成立。

上面我們僅舉了幾個(gè)用數(shù)學(xué)歸納法證題的例子，事實(shí)上關(guān)于這方面的例子在中學(xué)的學(xué)習(xí)中是很多的，由于篇幅原因，我就在例舉了，學(xué)習(xí)者可以通過(guò)反復(fù)推敲，細(xì)心體會(huì)歸納步驟的解題思路。

總之，數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中是一種非常重要的方法，尤其在中學(xué)數(shù)學(xué)中的地位和作用是運(yùn)用很廣的，如等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的公式，二項(xiàng)式定理等等都運(yùn)用到了數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，同時(shí)它也是近年來(lái)中學(xué)數(shù)學(xué)高考中的一個(gè)比較熱的考點(diǎn)。因此，進(jìn)一步的學(xué)好數(shù)學(xué)歸納法不僅對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)有很大的幫助，同時(shí)這種方法也可以為今后的高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)打下一個(gè)良好的基礎(chǔ)。

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注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文