線性不確定系統混合故障的可靠圓盤極點配置

摘 要：針對一類不確定線性系統，利用更一般、更實際的執行器出現混合故障的模型，設計可靠控制器的同時將系統的極點配置到指定圓盤內問題，混合故障模型是指在一個系統中同時包含離散故障模型和連續故障模型，并給出系統將極點配置到指定圓盤上可靠控制的充分條件.通過求解LMI(線性矩陣不等式)完成狀態反饋可靠控制器的設計。仿真驗證本文提出的設計控制器方法的可行性。

關鍵詞：不確定系統;混合故障模型;圓盤極點配置;執行器故障;可靠控制

中圖分類號：TP13 文獻標識碼：A

Reliable Circular Disk Pole Placement for Uncertain Linear Systems with Mixed Fault

WANG Jianhua ，YAO Bo，HUANG Shan

（College of Mathematics and Systems Science Shenyang Normal University ，Shengyang110034 ，China）

Abstract:The reliable circular disk pole placement design problem of mixed fault model with actuator faiure for a class of uncertain linear systems is discussed.A more practical and general model of actuator failure is presented. Mixed fault model is discrete fault model and continuous fault model coexist in a system， This controller designed to make the system less conservative， A sufficient condition of circular disk pole placement with mixed fault model reliable controller is given. State feedback controller is designed by solving LMI (linear matrix inequality). A simulation example shows the efficiency in a system.

Key words:uncertain linear systems ;mixed fault model;placement of disk pole;actuator failure;reliable control

1 前 言

可靠控制的目的是設計控制器使閉環系統無論控制部件是否出現故障都能保持穩定且滿足一定的性能指標. Veillette^［1］在利用代數Riccati方程設計可靠控制器時首次提出一種離散的故障模型，楊光紅^［2］將離散故障模型進行了創新，引入了連續故障模型，即提出了控制器準失效的故障模型，我們稱之為連續的故障模型.

對于線性系統，如果所有的極點均在復平面的適當圓盤內，那么系統將具有期望的穩態和動態特性，極點配置就是設計控制器使閉環系統極點分布在左半平面的適當區域內.近年來，人們提出了一些將系統的極點配置到一個指定的區域的方法^［3-16］， 并且在配置極點的時候考慮了系統的可靠性，如，文獻［8］給出傳感器出現故障的圓盤極點配置的可靠控制器設計方法，文獻［9］考慮的是執行器故障圓盤極點的可靠配置.

文獻［8］［9］在設計可靠控制器時考慮的是連續的故障模型，而本文是針對混合故障模型的線性系統，提出的是閉環極點配置到指定圓形區域的可靠控制問題，這種混合故障模型正是在Veillette所提出的離散故障模型和楊光紅所提出的連續故障模型的基礎上考慮到了把兩種模型有效的結合到一起，使得在設計圓盤極點配置可靠控制器的時候保守性更小一些.通過求解線性矩陣不等式（LMIs）完成系統可靠控制器的設計，仿真實例可以看出，不僅在無故障的情況下將系統極點配置到指定圓盤上，而且當系統發生故障時仍然將系統極點配置到指定圓盤上，還具有良好的動態穩定性.設計實例驗證了文中所給出的可靠控制器的設計方法是可行的.

2 問題描述

考慮如下線性不確定系統：

(t)=(A+ΔA)x(t)+Buf(t) （1）

其中不確定項ΔA=EΘD，ΘTΘ＜I，x(t)∈Rn為系統的狀態變量;A∈Rn×n，B∈Rn×m為常值矩陣;E，D為適維常值矩陣，Θ為時變矩陣;反饋控制律為:u(t)=Kx(t)，其中u(t)∈Rm為執行器的正常信號向量，uf(t)∈Rm為考慮執行器故障的信號向量.

執行器混合故障模型描述如下

uf(t)=Fu(t)， （2）

其中，F為執行器故障矩陣.

所以閉環系統為:

(t)=(A+ΔA+BKF)x(t)（3）

3 主要結果

引進如下記號:

M0=diag(m01，m02，…，m0n)，J=diag(j1，j2，…，jn)，Φ=diag(φ1，φ2，…，φn)，m0i=12(mui+mφi)，ji=mui－mφimui+mφi，φi=mi－m0im0i，(i=1，2，…，n)，可以得到M=M0(I+Φ) ，|Φ|≤J≤I(4)其中|Φ|=diag(|φ1|，|φ2|，…，|φn|).

定義1 故障矩陣的形式為

F=diag(l1，…，lp，mp+1，…，mn)=diag(l1，…，

lp，0，…，0)+diag(0，…，0，mp+1，…，mn) （5）

計算技術與自動化2011年3月

第30卷第1期王建華等：線性不確定系統混合故障的可靠圓盤極點配置

即F=Li+M （6）

其中:Li=diag(l1，…，lp，0，…，0)， M=diag(0，…，0，mp+1，…，mn)

也就是說執行器故障矩陣F的組成部分是由離散的故障故障矩陣Li和連續型故障矩陣M兩部分組成的，其中離散故障矩陣模型Li=diag(l1，…，lp，lp+1，…，ln)其中lp+1=…，=ln=0

離散故障矩陣Li定義如下:

Li=diag(l1，…，lp，0，…，0)

其中，lj=1表示第j個執行器正常運行;lj=0表示第j個執行器失效，j=1，2，…，p，執行器故障共有N(≤2p)種組合模式，記為Li=L1，L2，…，LN.

連續的故障矩陣定義如下:

M=diag(m1，…，mp，mp+1，…，mn)

其中m1=…=mp=0，0≤mφi≤mi≤mui，mui≥1，為執行器故障矩陣，這里mi=0時，表示執行器第i條通道完全失效;當mi=1時，表示執行器第i條通道正常工作;0≤mφi≤mi≤mui，mui≥1，且mi≠1，當表示執行器第i條通道部分失效;

引理1 設R1，R2為適維常值矩陣，Σ為時變適維矩陣，|Σ|≤U，U為正定對角矩陣，有

R1ΣR2+RT2ΣTRT1≤βR1URT1+1βRT2UTR2

成立，其中β＞0為任意正標量.

引理2 對于閉環系統(2)，存在圓盤極點配置的控制K的充分必要條件是:

(A+ΔA+BKF－aI)P(A+ΔA+

BKF－aI)T－r2P＜0 （7）

有解P＞0，式中a+0j為極點所在的圓域D的圓心，r＞0為圓域D半徑.

引理3 設B，K為適維矩陣， P＞0，存在任意正標量ε＞0使得下不等式成立，

0BM0ΦKP(BM0ΦKP)T0≤

εBM0J(BM0)T00ε－1(KP)TJKP

其中M0=diag(m01，m02，…，m0n)，J=diag(j1，j2，…，jn)，Φ=diag(φ1，φ2，…，φn).

定理1 設Π=(A+ΔA+BKF－aI)P(A+ΔA+BKF－aI)T－r2P

Ψ=－r2PZZT－P，若Ψ＜0則Π＜0.其中， Z=(A+ΔA－aI)P+BFKP

定理2 若存在正定P＞0，ε1＞0以及

Γ=-r2P+ε1BM0JMT0BT (A+ΔA-aI)P+B(M0+Li)Y0

P(A+ΔA-aI)T+［B(M0+Li)Y］T-PYTJ12

0J12Y-ε1I＜0（8）

則Ψ＜0.

證明 因為

Ψ=－r2PZZT－P=－r2PZ0ZT0－P+

0BM0ΦKP(BM0ΦKP)T0

其中Z0=(A+ΔA－aI)P+B(M0+Li)Y，KP=Y.

由定理1得

Ψ=－r2PZZT－P+ε1BM0J(BM0)T0

0ε-11YTJY=

-r2P+ε1BM0J(BM0)TZ0

ZT0-P+

0

YTJ12ε-110 J12Y

由Γ＜0及schur補引理得到

-r2P+ε1BM0J(BM0)TZ0

ZT0-P+

0

YTJ12ε-110 J12Y＜0.

定理3 若存在正定P＞0 ， ε2＞0以及

∑=-r2P+εBM0JMT0BT+ε2EET(A-aI)P+B(M0+Li)Y00

PAT-aP+［B(M0+Li)Y］T-PYTJ12 PDT

0 J12 Y-ε1I0

0DP0-ε2I＜0（9）

則Γ＜0.

證明 由Σ＜0，引理1及Schur補引理得到

Γ=-r2P+εBM0JMT0BT(A+ΔA-aI)P+B(M0+Li)Y0

P(A+ΔA-aI)T+［B(M0+Li)Y］T-PYTJ12 

0J12 Y-ε1I

=

-r2P+εBM0JMT0BT(A-aI)P+B(M0+Li)Y0

P(A-aI)T+［B(M0+Li)Y］T-PYTJ12 

0J12 Y-ε1I+0ΔAP0ΔAP00000

=-r2P+εBM0JMT0BT(A-aI)P+B(M0+Li)Y0

P(A-aI)T+［B(M0+Li)Y］T-PYTJ12 

0J12 Y-ε1I+0EΘDP0PDTΘTET00000

≤-r2P+εBM0JMT0BT+ε2ETE(A-aI)P+B(M0+Li)Y0

P(A-aI)T+［B(M0+Li)Y］T-PYTJ12 

0J12 Y-ε1I+00001ε2PDTDP0000

≤-r2P+εBM0JMT0BT+ε2ETE(A-aI)P+B(M0+Li)Y0

P(A-aI)T+［B(M0+Li)Y］T-PYTJ12 

0J12 Y-ε1I+0PDT01ε20DP0＜0

定理4 對于系統(1)，如果存在正定矩陣P＞0并且滿足Σ＜0則存在反饋增益矩陣K=YP－1，使得閉環系統(4)的極點均在圓域D內，其中D為以a+0j(a＜0)為圓心、r＞0為圓域D的半徑.

證明由P＞0和Γ＜0滿足定理3得Ψ＜0，則由定理2可得Π＜0，那么由引理2可得定理4成立.

4 數值仿真例子

設系統（1）的系數矩陣為

A=－0.91.72.30.5－3.6－1.82.8－2.6－4.3，

B=－3.70.40.3－3.50－0.2－4.9－0.80，E=0.50000.50000.5，

D=0.50000.50000.5（10）

由式（10）確定的系統的極點集合為{-7.2231，0.3912 ，-1.9681}，可以看出標稱系統是不穩定的.

若故障矩陣如下:

F=diag(li，m1)=diag(li，0)+diag(0，0，m1)

l1=diag(1，0)，l2=diag(0，1)，l3=diag(1，1)，l4=diag(0，0) .

所以離散的故障矩陣

L1=diag(1，0，0)，L2=diag(0，1，0)，

L3=diag(1，1，0)，L4=diag(0，0，0)(11)

連續的故障變化范圍為: 0.6918≤m1≤1.6745.在此范圍內取特定的連續故障矩陣

取M1=diag(0，0，0.8) ，M2=diag(0，0，1.2)

配置極點所在的圓形區域D的圓心為－6+0j，半徑為r=4.

根據定理4所設計的可靠控制增益矩陣為

K=0.01390.0126－0.0003－0.2781－0.33150.0395－28.5614－16.1296－6.0420(12)

當系統不發生故障時候其極點為:λ(A+BK)={－6.3658，－5.5390，－3.3681}

當系統發生故障的時候其極點分布如圖1所示:

圖1 執行器故障的極點分布

仿真結果表明，由本文方法設計的容錯控制器，對故障矩陣F具有良好的性能，不僅保證了系統在無故障和發生執行器故障時的漸近穩定性，而且把系統的極點都能夠配置到指定的圓盤里面。

5 結 論

本文針對實際系統中執行器失效問題，建立了混合故障模型，給出了將系統極點配置到指定圓盤上的充分條件，通過求解LMI提出一種可靠控制器的設計方法，通過仿真實例可以看出，不僅在無故障的情況下將系統極點配置到指定圓盤上，而且當系統發生故障時仍然將系統極點配置到指定圓盤上，還具有良好的動態穩定性。設計實例驗證了文中所給出的極點配置可靠控制器的設計方法是可行的。

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