具有分布時滯不確定系統(tǒng)的滑模控制

摘 要: 針對一類含有分布時滯的不確定系統(tǒng)，通過利用Lyapunov穩(wěn)定性理論和線性矩陣不等式方法進(jìn)行了滑模控制研究。首先，構(gòu)造了滑模控制器，使得系統(tǒng)滿足滑模到達(dá)條件；其次，通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)腖yapunov泛函，給出了閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分條件。該充分條件通過采用虛擬反饋控制思想，結(jié)合狀態(tài)反饋的極點(diǎn)配置方法，轉(zhuǎn)換為線性矩陣不等式的形式，利用Matlab中的LMI工具箱進(jìn)行求解。最后，仿真算例說明此方法的有效性。

關(guān)鍵詞: 不確定性；分布時滯；滑模控制

中圖分類號：TP273 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

Sliding Mode Control of Uncertain Systems with Distributed Delays

LI Yan-bo

(College of Mathematics Science ， Guangxi Teachers Education University， Nanning Guangxi 530001，China)

ABSTRACT: Based on the Lyapunov stability theory and the linear matrix inequality approach， the sliding mode control for a class of uncertain systems with distributed delays is researched. Firstly，the sliding mode controller is constructed to satisfy the sliding mode reaching conditions. Secondly， the suffient conditions of closed-loop systems’ asymptotical stability is given by constructing the appropriate Lyapunov functionals. In terms of virtual feedback control method and combinating pole assignment of state feedback， the suffient conditions can be shown in LMIs and sovled easily by LMI toolbox in Matlab. Finally， the simulation example is given to illustrate the validity of the method.

KEY WORDS:uncertainties; distributed delays; sliding mode control

1引言

滑模變結(jié)構(gòu)控制理論自從被提出以來，由于其對滿足匹配條件的不確定性具有完全的不變性這樣獨(dú)特的性質(zhì)和廣泛的適用性而被受關(guān)注。由于在現(xiàn)實(shí)世界中，不可避免地存在不確定性和時間滯后現(xiàn)象，因此，時滯不確定系統(tǒng)的滑模控制得到了廣泛的研究，并取得了一定的研究成果。近年來，對于具有分布時滯控制系統(tǒng)的研究得到了關(guān)注[1-4]。文獻(xiàn)[1]對含有分布時滯和離散時滯的控制系統(tǒng)進(jìn)行了絕對穩(wěn)定性的研究。文獻(xiàn)[2]基于線性矩陣不等式研究了同時含有分布與離散時滯線性系統(tǒng)的 控制[5]。文獻(xiàn)[3]基于中立型變換研究了分布時滯系統(tǒng)輸出動態(tài)反饋鎮(zhèn)定問題。目前，對具有分布時滯的不確定系統(tǒng)的滑模控制的研究較少。

本文對同時含有分布時滯和離散時滯的不確定系統(tǒng)進(jìn)行了滑模控制研究。設(shè)計(jì)了線性滑模面以及含有等效控制器和非線性切換控制器的滑模控制器，所設(shè)計(jì)的控制器能確保系統(tǒng)在有限時間內(nèi)到達(dá)滑模面；通過構(gòu)造李雅普諾夫泛函，利用線性矩陣不等式和積分不等式技巧給出了滑模面漸近穩(wěn)定的充分條件。

2問題描述

考慮如下具有分布時滯不確定控制系統(tǒng)：

(1)

其中 分別為狀態(tài)、控制輸入。 均為時滯常數(shù)， ， 為適當(dāng)維數(shù)的矩陣。

(2)

(3)

其中 為已知的常數(shù)矩陣， 是未知的時變矩陣，且滿足 。

假設(shè)1 ： 可鎮(zhèn)定，即存在矩陣 使得 是穩(wěn)定的。

選取滑模面為

(4)

其中 是一個待定的正定矩陣

為了得到文本的主要結(jié)果，需要下面的引理。

引理1[6]給定實(shí)數(shù) 及正定矩陣 ，如果 ，那么下列不等式

對于任意使得積分收斂的向量值函數(shù) 成立。

引理2[7] 設(shè) 是一定維數(shù)的實(shí)矩陣，且 ，則任給標(biāo)量 ，使得下列不等式成

立：

3主要結(jié)果

定理1對于系統(tǒng)(1)采用如下滑模控制器(5)，則從任意初始狀態(tài)出發(fā)的系統(tǒng)均滿足滑模到達(dá)條件。

(5)

其中等效控制為

非線性切換控制為

證明：令

則沿(1)式求導(dǎo)可得

保證了滑模面 可達(dá)。證明完畢。

把控制律(5)式表達(dá)成虛擬狀態(tài)反饋的形式

(6)

其中

定理2對于系統(tǒng)(1)，如果存在適當(dāng)維數(shù)的正定對稱矩陣 ，對于任意給定的標(biāo)量 ， ， 使得如下線性矩陣不等式(7)成立，則在控制器(5)的作用下，系統(tǒng)(1)的滑動模態(tài)是漸近穩(wěn)定的。

(7)

其中

(8)

(9)

證明：構(gòu)造Lyapunov泛函為

(10)

其中

則

(11)

由引理2得

(12)

(13)

(14)

到達(dá)滑模面時，(15)

因此，由公式(12)-(15)得

(16)

(17)

(18)

由引理1得

(19)

由公式(16)- (19)得

其中

如前面定理所定義。

由Schur補(bǔ)及公式(7)得 。證明完畢。

4仿真例子

對于系統(tǒng)(1)，取

， ，易于驗(yàn)證矩陣 有不穩(wěn)定的特征根，且 是可控的，根據(jù)極點(diǎn)配置，選取 ，使得矩陣 是穩(wěn)定。 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，求解線性矩陣不等式(7)， 可得

滑模面為

由定理1得控制律

取初值條件為 ，仿真結(jié)果如下圖1-圖3

圖1 系統(tǒng)狀態(tài)的運(yùn)動軌跡

圖2 滑模 控制的運(yùn)動軌跡

圖3 滑動模態(tài)的運(yùn)動軌跡

5結(jié)論

本文研究了具有分布時滯不確定系統(tǒng)的滑模控制。首先構(gòu)造了滑模控制器；然后，以線性矩陣不等式的形式給出了滑模運(yùn)動是漸近穩(wěn)定的充分條件；最后，仿真例子說明了該方法的可行性和有效性。

參考文獻(xiàn)

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