超混沌Chen系統的級聯反控制

摘 要：基于Lyapunov穩定性理論和級聯控制思想，設計一種非線性級聯控制反控制器，通過數值計算、理論推導分析超Chen系統的基本動力學特性，并通過數值仿真，給出系統的混沌運動有效控制器、吸引子、軌跡。

關鍵詞：級聯反控制；Chen 系統；混沌

中圖分類號：TP13 文獻標識碼：A

The Cascade Anticontrol for Chen Chaotic Systems

GUO Liying1，YANG Pin2， LI Yin2

(1.Guangdong Songshan Polytechnic College， Shaoguan 512126， China;

2.College of Mathematics and Information Sciences， Shaoguan University，Shaoguan 512005，China)

Abstract:Based on Lyapunov stability theory and control theory ， The paper design a nonlinear cascade control of anticontroller. Theoretic analysis and numerical simulation show basic dynamic characteristics of Chen systems. Furthermore， cascade anti-control method can be applied to Chen system and given the system effective control， attractor， trajectories by numerical simulation.

Key words:Cascade anticontrol;Chen system;Chaos

1 引 言

l962年Lorenz 在一個三維自治系統中首次發現混沌吸引子以來，混沌理論得到了迅速發展，人們不斷發現新的混沌系統，研究其分叉、混沌同步現象、混沌吸引子結構和混沌產生的條件等.1999年在Carroll和Pecora提出了混沌系統同步^［1］的開創性工作以來， 混沌系統的同步在非線性科學研究掀起了新的研究熱潮.1999年，Mainieri等人在研究部分線性混沌系統^［2］中觀察到一種新的同步現象——投影同步，Xu等人通過對偶合驅動——響應系統^［3-5］中的響應系統加入控制項實現了非部分線性系統的投影同步， 從而突破了投影同步只局限于部分線性系統的界限。

基于以上混沌同步控制算法， 本文將介紹一種新的混沌同步控制方法——優化級聯控制法， 并給出了它的自動推理格式. 結合級聯同步法和反控制法， 以超Chen系統為例，對Chen系統通過保持原混沌系統中的其中一個信號不變， 復制系統中其它的信號， 從而實現自身系統之間的至少兩次同步——級聯同步^{［6，8，9 ］} ，然后結合Lyapunov穩定性理論^{［7，10 ］}實現了驅動—響應系統之間的級聯同步， 理論分析和數值仿真證實了該方法的有效性。

2 混沌系統的描述

2004年，Li 等通過設計非線性狀態反饋控制器從Chen系統中得到了超混沌系統.超混沌Chen系統用如下方程來描述:

=a(y－x)+w=dx－xz+cy=xy－bz=yz+rw(1)

系統(1)中，x、y、z和w為系統的狀態變量，a、b、c、d、r為系統的控制參數

當參數a=25，b=2，c=12、d=7和0≤r≤0.1085時系統(1)表現為混沌運動；當參數a=25，b=2，c=12、d=7和0.1085≤r≤0.1798時系統(1)表現為超混沌運動；當參數a=25，b=2，c=12、d=7和0.1798＜r＜0.1900時系統(1)表現為周期混沌運動。

本文研究的是超混沌chen系統即選取的參數a=25，b=2，c=12、d=7和0.1085≤r≤0.1798當a=25，b=2，c=12、d=7、r=0.16時，在不同空間上，超混沌chen系統軌跡見圖1. 根據兩個正的Lyapunov指數分別為λ1=0.1567，λ2=0.1126。

圖1 超混沌Chen系統吸引子

3 級聯反控制

一個關于時間連續的混沌動力系統:

1=φ1(x1，y1，z1，w1)1=φ2(x1，y1，z1，w1)1=φ3(x1，y1，z1，w1)1=φ4(x1，y1，z1，w1)(2)

根據級聯控制法的思想， 我們假定信號w1不變， 復制原系統中的其它信號， 從而得到驅動系統(2)的一個子響應系統:

1=φ1(X1，Y，Z，w1)+u1=φ2(X1，Y，Z，w1)+u2=φ3(X1，Y，Z，w1)+u3(3)

其中u1、u2和u3為待求的未知非線性控制器。

假定系統(2)和(3)間的誤差函數為e1=X1+x1， e2=Y+y1， e3=Z+z1.我們構造第一個 Lyapunov 函數 l1:

l1=12(e21+e22+e23). (4)

如果它滿足下列條件:

l1＞0 當(e1+e2+e3)≠(0，0，0）l1=0 當(e1+e2+e3)=(0，0，0）(5)

同時 1＞0 當(e1+e2+e3)≠(0，0，0）1=0 當(e1+e2+e3)≠(0，0，0）. (6)

如果能夠找到合適的控制子， 使得當時間趨于無窮大時，從任意初值出發的混沌系統(2)和(3)的Lyapunov函數l1滿足(5)和(6)， 那么我們就說系統(2)和(3)是全局漸近穩定的， 也即當時間趨于無窮大時， 誤差函數e1 、e2和e3趨近于0. 從而這兩個系統之間實現了級聯控制。

計算技術與自動化2011年3月

第30卷第1期郭麗穎等：超混沌Chen系統的級聯反控制

我們再來復制一個具有標量控制器(u4，u5，u6)的系統作為驅動系統(2)的子響應系統:

1=φ2(X1，Y1，Z1，W1)+u41=φ3(X1，Y1，Z1，W1)+u51=φ3(X1，Y1，Z1，W1)+u6(7)

其中X1為系統（3）中的混沌信號。

令構造驅動系統(2)和響應系統(7)之間的Lyapunov函數l2為

l2=12(e24+e25+e26). (8)

其中e4、e5和e6為誤差變量且e4=Y1+y1， e5=Z1+z1， e6=W1+w1。

如果能夠找到合適的誤差函數e4 、e5和e6以及控制子(u4，u5，u6)， 使得l2滿足

同時2＞0 當(e4+e5+e6)≠(0，0，0）2=0 當(e4+e5+e6)≠(0，0，0）(9)

且等號成立當且僅當e4=0和e5=0， e6=0。

那么我們就說驅動系統和響應系統之間實現了同步， 從而有當時間趨于無窮大時， 誤差函數e4 、e5和e6趨近于0.(u1，u2，u3)，(u4，u5，u6)是需要確定的控制器使（2）與（3）同步。

由前面的分析我們可知: 當驅動系統(2)分別與響應系統(3)和(7)同步，從而我們有誤差系統當時間趨于無窮大時， 誤差函數ei(i=14)趨近于0。

下面選取超混沌Chen系統^［10］來模擬級聯控制

1=a(y1－x1)+w11=dx1－x1z1+cy11=x1y1－bz1=y1z1+rw1(10)

根據級聯控制法的思想， 我們假定信號w1不變， 復制原系統中的其它信號， 從而得到驅動系統(10)的一個子響應系統:

1=a(y－X1)+w1+u1=dX1－X1z+cy+u2=X1y－bz+u3(11)

(u1，u2，u3)為未知控制器待確定。

Lyapunov函數為:l1(t)=l1(e1，e2，e3)=12(e21+e22+e23)

其中e1=X1+x1， e2=y+y1， e3=z+z1為誤差變量.借助于符號計算Maple， 選取控制子u1、u2和u3為：

u1(x，y)=－X1－x1+aX1+

a1x1－ay－2ω1

u2(x，y)=－y－y1－cy1－cy－dx1－

X1z1－dX1+x1z1u3(x，y)=－z－z1－X1y+bz－x1y1+bz1(12)

可以容易地算出誤差動力系統1、2和3，將它們代入到1中，

化簡整理得

1=e11+e22+e33=－2l1(13)

表明了該系統的誤差函數ei(i=1，2，3)隨著時間t的無限延長是趨近于0。

接下來拷貝這樣一個帶有未知控制器的子系統來作為超混沌Chen系統的響應系統。

1=dX1－X1Z1+cY1+u41=X1Y1－bZ1+u51=Y1Z1+rW1+u6(14)

選取誤差變量為e4=Y1+y1，e5=Z1+z1及e6=W1+w1，第二個修正的Lyapunov函數為：

l2(t)=l2(e4，e5，e6)=12(e24+e25+e26)

通過符號計算，選取控制器(u4，u5，u6)如下：

u4(x，y)=－Y1－y1－X1Z1+x1z1－dX1－cY1－dx1－cy1u5(x，y)=bZ1+bz1－Z1－z1

－x1y1+X1y1u6(x，y)=－rW1－rw1－W1－w1

－Y1Z1+y1z1.(15)

可得

2(t)=e44+e55+e66=-(e24+e25+e26)

這說明了驅動系統（10）和響應系統（11）之間是全局漸近穩定的， 也就是說隨著時間趨近于無窮， 誤差變量ei (i=4，5，6)趨近于0.從而可知，級聯射影同步在超混沌Chen系統中實現了。

下面我們用數值仿真的辦法來驗證所獲得的控制子(12)和(15)的有效性。

這里我們選取參數(a，b，c，d，r)為(25，2，12，7，0.16)， 驅動——響應系統的初值為(x1(0)，y1(0)，z1(0)，w1(0))=(-0.1，0.4，0.2，1)，(X1(0)，Y1(0)，Z1(0)，W1(0))=(0.1，-20，10，-5).圖2描述了超混沌Chen系統的同步吸引子的模擬圖。

圖3展示了級聯同步誤差變量的漸進行為. 觀察圖中誤差軌跡， 我們可知控制子ui(i=16)是非常有效的. 這充分說明了級聯同步對超混沌也是十分適用的。

圖2 超混沌Chen系統的混沌吸引子在 (x，y，z)

空間上的投影，小的代表響應系統的

吸引子，大的代表驅動系統的吸引子

圖3 級聯同步誤差圖e(x)=x1+X1，

e(y)=y1+y，e(z)=z1+z，e(w)=W1+w1

4 結束語

本文基于Lyapunov穩定性理論和級聯控制思想，設計了一種非線性級聯反控制控制器，通過數值計算、理論推導分析了一個四維Chen系統的基本動力學特性，并通過數值模擬給出了系統的混沌運動級聯反控制有效控制器、吸引子、軌跡， 驗證其方法的有效性。

參考文獻

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