一類基于時滯和年齡分布的非線性種群系統解的唯一性

管文文，趙 春

（天津師范大學 數學科學學院，天津 300387）

一類基于時滯和年齡分布的非線性種群系統解的唯一性

管文文，趙 春

（天津師范大學 數學科學學院，天津 300387）

研究一類基于時滯和年齡分布的非線性種群系統，其狀態方程由一階偏泛函微分方程描述.利用不動點定理得到了系統解的存在唯一性.

種群模型；時滯；年齡結構

生物種群系統解的存在唯一性一直是人們十分關心的問題，關于年齡分布的種群系統，已有學者做了大量的研究，并積累了較為豐富的研究成果.文獻［1］研究了依賴年齡的單種群動力系統非線性模型解的存在唯一性問題.而在種群演化過程中，時滯是客觀存在的因素，因此較為合理的種群模型應當考慮時滯因素的影響.文獻［2］研究了基于時滯和年齡分布的齊次模型，證明了解的存在唯一性.本研究在此基礎上考慮非齊次模型解的存在唯一性問題.

本研究提出如下數學模型：

其中，A表示個體最高壽命，狀態變量p（a，t）表示時刻t年齡為a的種群個體密度，常數τ＞0表示孕育期，函數μ，β，φ分別表示個體平均死亡率、出生率、初始時間段上的種群個體分布，f（a，t）表示轉移人口的數量，P（a，t）表示種群總的數量.

本研究假設：

引理 如果p是系統（1）的解，那么P（t）和B（t）在［0，T］上滿足式（7）—（8）.如果P（t）和B（t）滿足式（7）—（8），且是連續非負函數，那么p是系統（1）的解.

定理 如果條件（H1）和（H2）成立，那么系統（1）存在唯一非負解.

證明 只需證明P（t）和B（t）有唯一解即可，再由引理則可知系統（1）存在唯一非負解.

因為τ＞0，且φ（a，t）已知，則當0≤t≤τ時，B（t）可由式（8）直接求出.首先定義C＋（γ）＝C［［0，γ］，R＋］，其中0≤γ≤τ.設g∈C＋（γ），令

［1］ Gurtin M E，Maccamy R C.Non－linear age－dependent population dynamics［J］.Arc Ratinal Mech Anal，1974，54：281－300.

［2］ 何澤榮.一類基于時滯和年齡分布的種群控制問題［J］.系統科學與數學，2010，30（1）：53－59.

［3］ Swick K E.A nonlinear age－dependent model of single species population dynamics［J］.SIAM J Appl Math，1977，32（2）：484－498.

［4］ Cushing J M.Model stability and instability in age structured populations［J］.J Theor Biol，1980，86：709－730.

Uniqueness of solution for a class of nonlinear population systems with time delay and age distribution

GUANWenwen，ZHAOChun
（College of Mathematical Science，Tianjin Normal University，Tianjin 300387，China）

A class of nonlinear population systems with time delay and age distribution is studied，whose state system is described by apartial functional differential equation.The uniqueness of solution for the system is proved by means of fixed point theorem.

population model；time delay；age distribution

O175.1

A

1671－1114（2011）03－0001－04

2010－12－05

國家自然科學基金資助項目（60972089）；天津市高等學校科技發展基金計劃資助項目（20060401）；天津師范大學博士科研啟動基金資助項目（5RL047）

管文文（1984—），女，碩士研究生.

趙 春（1963—），男，教授，主要從事控制論及其應用方面的研究.

（責任編校 馬新光）