Schnakenberg自催化模型的非常數(shù)正解

王翠芳，于 穎，白建俠

（1.天津師范大學(xué) 津沽學(xué)院，天津 300387；2.燕山大學(xué) 里仁學(xué)院，河北 秦皇島 066004；3.天津大學(xué) 仁愛學(xué)院，天津 301636）

Schnakenberg自催化模型的非常數(shù)正解

王翠芳1，于 穎2，白建俠3

（1.天津師范大學(xué) 津沽學(xué)院，天津 300387；2.燕山大學(xué) 里仁學(xué)院，河北 秦皇島 066004；3.天津大學(xué) 仁愛學(xué)院，天津 301636）

討論含有兩種反應(yīng)物的簡單的Schnakenberg自催化模型在Neumann邊界條件下的相關(guān)性質(zhì).首先應(yīng)用譜理論證明了該反應(yīng)擴散系統(tǒng)的唯一正常數(shù)解是一致漸近穩(wěn)定的；其次應(yīng)用極大值原理證明該模型在平衡狀態(tài)下存在上下界；最后應(yīng)用能量方法得到此模型在齊次Neumann邊界條件下不存在非常數(shù)正解時擴散系數(shù)需滿足的條件.

Schnakenberg自催化模型；穩(wěn)定性；非常數(shù)正解

反應(yīng)擴散系統(tǒng)源于利用反應(yīng)擴散方程（組）研究種群動力系統(tǒng)中相互作用的物種間的關(guān)系.隨著這一領(lǐng)域研究的不斷深入，反應(yīng)擴散方程不僅被廣泛用于研究具有擴散現(xiàn)象的種群動力系統(tǒng)，而且被廣泛應(yīng)用于物理學(xué)、醫(yī)學(xué)、金融學(xué)以及化學(xué)領(lǐng)域.其中有一個有趣的自身催化模型，即Schnakenberg化學(xué)反應(yīng)模型，目前關(guān)于該模型已有很多研究.文獻［1］主要介紹了Schnakenberg模型的相關(guān)內(nèi)容，并利用矩陣詳細證明了Schnakenberg模型在一維空間（－1，1）靜平衡態(tài)的穩(wěn)定性，文獻［2］利用數(shù)值分析方法研究了在連續(xù)增長區(qū)域上的反應(yīng)擴散模型.

本研究主要討論如下只包含兩種反應(yīng)物的Schnakenberg模型：

其中，u，v表示兩種反應(yīng)物的濃度，d1，d2是正擴散系數(shù)，a，b均為正常數(shù)，Ω表示Rn上具有光滑邊界的有界區(qū)域，η是沿邊界?Ω向外的方向?qū)?shù).初始條件可以在一致平衡態(tài)周圍有一個任意小的擾動，初始值u0，v0是連續(xù)函數(shù).該模型更多的背景和細節(jié)見文獻［3］—［6］.

容易求得模型（1）平衡態(tài)即如下橢圓方程：

1 正常數(shù)解的穩(wěn)定性

2 正解的先驗估計

3 非常數(shù)正解的不存在性

本節(jié)主要應(yīng)用能量方法得到非常數(shù)正解不存在的條件.

［1］ Iron D，Wei J C，Matthias W.Stability analysis of Toring patterns generated by the Schnakenberg model［J］.J Math Biol，2004，49：358－390.

［2］ Madzvamuse A.Time－stepping schemes for moving grid finite elements applied to reaction－diffusion systems on fixed and growing domains［J］.Journal of Computational Physics，2006，214：239－263.

［3］ Gierer A，Meinhardt H.A theory of biological pattern formation［J］.Kybernetik Press，1972，12：30－39.

［4］ Ni W M，Suzuki K，Takagi I.The dynamics of a kinetic activator－inhibitor system［J］.Journal of Differential Equations，2006，229：426－465.

［5］ Madzvamuse A，Maini P K.Velocity－induced numerical solutions of reaction－diffusion systems on continuously growing domains［J］.Journal of Computational Physics，2007，225：100－119.

［6］ Benson D L，Maini P K，Sherratt J A.Untravelling the Toring bifurcation using spatially varying diffusion coefficients［J］.J Math Biol，1998，37：381－417.

［7］ Henry D.Geometric Theory of Semi Linear Parabolic Equations：Lecture Notes in Mathematics［M］.New York：Springer，1993.

［8］ Wang M X.Stationary patterns for a prey－predator model with prey－dependent and ration－dependent functional responses and diffusion［J］.J Physd，2004，196：172－192.

［9］ Lou Y，Ni W M.Diffusion，self－diffusion and cross－diffusion［J］.Journal of Differential Equations，1996，131：79－131.

［10］ 黑力軍，王翠芳.具有空間擴散和年齡結(jié)構(gòu)的競爭模型的正平衡態(tài)［J］.系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)，2008，28：1236－1344.

Non－constant positive solutions of Schnakenberg model

WANGCuifang1，YUYing2，BAIJianxia3
（1.Jingu College，Tianjin Normal University，Tianjin 300387，China；
2.Liren College，Yanshan University，Qinhuangdao 066004，Hebei Province，China；
3.Ren'ai College，Tianjin University，Tianjin 301636，China）

The simple autocatalytic reaction－diffusion system known as Schnakenberg model with the homogeneous Neumann boundary condition is discussed.The uniformly asymptotic stability of the unique constant positive solution is proved by using spectral theory.Then a prior estimate（positive upper and lower bounds）of the positive steady－state is given.At last conditions of nonexistence for non－constant positive solution are given by using energy method.

Schnakenberg model；stability；non－constant positive solutions

O175.23

A

1671－1114（2011）03－0029－03

2010－04－26

“十一五”國家課題資助項目（FIB070335－B2－08）

王翠芳（1981—），女，講師，主要從事偏微分方程方面的研究.

（責(zé)任編校 馬新光）