泰勒公式在高階導數和高階偏導數方面的應用

趙中，張秀全

（黃淮學院 數學科學系，河南 駐馬店 463000）

泰勒公式在高階導數和高階偏導數方面的應用

趙中，張秀全

（黃淮學院 數學科學系，河南 駐馬店 463000）

泰勒公式在數學分析中具有重要地位．討論了泰勒公式在高階導數和高階偏導數求解方面的應用，拓寬了泰勒公式的應用范圍．

泰勒公式；高階導數；高階偏導數

泰勒公式是數學分析中非常重要的內容，在微積分的各個方面有著廣泛的應用．現有文獻對一元函數的泰勒公式在近似計算、誤差分析、函數極限的求解、函數單調性的判斷和微分方程的求解等方面的討論較多，但很少涉及一元函數的泰勒公式在高階導數中的應用以及二元函數泰勒公式的應用．本文通過典型例題，討論泰勒公式在高階導數和高階偏導數求解方面的應用．

1 主要定理

定理1 若函數f( x)在點x0存在直到n階的導數，則有

定理3 設函數f( x， y)具有n+1階連續偏導數，若用某種方法得到展開式

2 泰勒公式的應用

2.1 一元函數的泰勒公式在高階導數中的應用

2.1.1 求高階導數

2.1.2 證明與高階導數有關的命題

當問題涉及函數的二階或二階以上導數時，可使用泰勒公式將各階導數有機地聯系起來，再根據題意對泰勒展開式進行處理，從而達到解決問題的目的．使用該法的關鍵是寫出函數在某一點的泰勒公式．

2.2 二元函數泰勒公式在高階偏導數中的應用

與f(x)為凸函數矛盾. 故此黑賽矩陣在D上為半正定的.

[1] 華東師范大學數學系．數學分析[M]．3版．北京：高等教育出版社，2001．

[2] 陳守信．數學分析選講[M]．北京：機械工業出版社，2009．

[3] 吉米多維奇．數學分析習題集[M]．北京：高等教育出版社，1984．

[4] 陳麗．泰勒公式的應用[J]．廊坊師范學院學報：自然科學版，2009，9(2)：20―23．

[5] 裴禮文．數學分析中的典型問題與方法[M]．北京：高等教育出版社，2006．

O172

A

1006-5261(2011)02-0081-02

2010-10-28

趙中（1975―），男，河南駐馬店人，講師，博士．

〔責任編輯 張繼金〕