基于當地摩擦因數的絕熱氣動管道流量特性參數計算

郭良斌，彭寶林，王 卓，宣立明

（武漢科技大學機械自動化學院，湖北武漢，430081）

在汽車制造、電子、紡織、印刷、包裝、機床、食品等工業產業的自動化進程中，氣動技術發揮著重要的作用[1－3]。為了設計出優化的氣動回路與系統，需要準確地把握每個氣動元件的流量特性[4]。在氣動系統中，管道將各種元器件連接成一個系統，把壓縮空氣從壓縮機輸送到終端用氣設備以傳遞動力[5]。隨著氣動元件的小型化和配管的延長，氣動管道的流量特性日漸重要[6]。氣動系統節能日益受到關注[7－10]，正確把握氣動主管道和各分支管道的流量特性，選擇功率匹配的空氣壓縮機進行合理的流量管理是氣動系統節能的首要工作[11]。

對絕熱氣動管道流量特性的計算，常采用經典一維絕熱摩擦管流理論[12－13]，某一特定管道的平均摩擦因數是計算前需要確定的一個基本參數，盡可能準確地獲得平均摩擦因數的具體數值，將有助于提高管道流量特性的計算精度。文獻[14]提出一種利用當地摩擦因數計算絕熱氣動管道平均摩擦因數的新方法，以該方法確定的平均摩擦因數計算出的不同長度管道聲速流導／管道截面積比值，與按照ISO 6358測試方法得到的實驗擬合曲線相吻合，初步驗證了該方法的可行性[15]。氣動管道的流量特性可以用壅塞流態下的有效截面積S和臨界壓力比b兩個特性參數完整地表達[4]。為此，本文推導以管道進口截面速度因數為自變量的流量特性參數函數S／A（管道有效截面積與橫截面積之比）和臨界壓力比b的基本表達式，分析其特性，并用上述新方法得到的平均摩擦因數直接計算出總壓為0.6 MPa、總溫為300 K、長度為1～50 m、內徑為2.5～9 mm的尼龍管的流量特性參數S和b，發現S和b的理論計算值與經驗推薦值相吻合。

1 臨界管道數學模型描述

圖1 等截面絕熱有摩擦一維管道模型Fig.1 One－dimensional adiabatic frictional flow in a duct of constant cross－section

等截面直管絕熱有壁面摩擦的一維管道模型如圖1所示。圖1中，進口氣流總壓為P0，進口氣流總溫為T0，出口反壓力為pb。設管道進口的氣流總壓和總溫不變，出口反壓力pb可變化。臨界管道指管道出口馬赫數達到臨界聲速，此時管道達到最大通流能力，處于壅塞狀態，分析時可以不考慮管道出口反壓力對管中氣體流動的影響。設不論管長怎么變化，反壓力總能使管道出口達到臨界聲速。

臨界狀態時管道出口截面上的速度因數λout為1，這樣可列出管道進口截面上的速度因數λin與平均摩擦因數的關系式[16]：

式中：為管道的平均摩擦因數；L／D為管道長徑比；k為比熱比。

管道平均摩擦因數的物理定義式為

式中：fi為各截面上摩擦因數，即當地摩擦因數，它取決于管內各截面上雷諾數和管道的相對粗糙度。

同一管道的不同截面上，氣流速度和動力黏度不同，不同截面上的摩擦因數（即當地摩擦因數）各不相同；平均摩擦因數代表整個管道對氣流的摩擦效應，通過平均摩擦因數的物理定義式可建立起整個管道的平均摩擦因數和管道不同截面上當地摩擦因數的有機聯系。采用預估－校正解法，利用Keenan的實驗結果可直接計算出大多數絕熱氣動管道的平均摩擦因數[14]，計算出給定進口總壓、總溫、管徑、長徑比以及管道材質條件下的平均摩擦因數后，可由式（1）計算出臨界管道的進口速度因數λin。管道壅塞狀態下的質量流量為[16]

式中：A為管道的橫截面積，m2；q（λin）為氣體動力學流量函數。

設某一特定管道的有效截面積為S，則根據有效截面積的定義[17]，臨界狀態下該管道的質量流量為

式中：p1為管道進口截面上的靜壓力，Pa；T1為管道進口截面上的靜溫度，K。

對比式（3）、式（4）可知：

式中：τ（λin）、π（λin）分別以λin為自變量的氣體動力學函數。

臨界狀態下該管道出口截面上的靜壓力為

若管外反壓力pb等于pcr，則管道為臨界流動狀態；若管外反壓力pb小于pcr，則管道為超臨界流動狀態，但管內流動參數與臨界狀態時相同，反壓力只影響出口外的流動而不影響管內的流動參數。若管外反壓力pb大于pcr，則管內為亞臨界流動狀態，本文僅考慮臨界工況。

臨界壓力比b的定義為元件內亞聲速流動和聲速流動分界點的下游與上游管道內的靜壓力之比[17]。若把氣動管道也看作一種氣動元件，則氣動管道的臨界壓力比b可類似定義為臨界管道出口截面上的靜壓力pcr與進口截面上的靜壓力pin之比。

這樣由式（6）、式（7）可推出：

2 流量特性參數函數的性質

圖2 流量特性參數函數曲線Fig.2 Curves of parameter function of flow－rate characteristics

將式（5）寫成無量綱的形式：

由式（8）、式（9）可知，S／A和b可看作是以管道進口截面速度因數λin為自變量的流量特性參數函數。不失一般性，取長度為1～50 m的尼龍管，供氣總壓為0.6 MPa，總溫為300 K，內徑為2.5～9 mm的絕熱氣動管道，進口截面速度因數的理論計算值為0.037 17～0.478 7。按式（8）、式（9）繪制的流量特性參數函數曲線如圖2所示。由圖2可看出，在λin的取值范圍內，流量特性參數函數S／A和b基本上都是管道進口截面速度因數λin的線性函數。當進口截面的速度因數為0.037 17～0.478 7時，S／A值為0.058～0.772；b值為0.031～0.416。

3 理論計算值與經驗推薦值的比較

3.1 標準長度尼龍管的有效截面積S

表1為標準長度尼龍管有效截面積的計算值與經驗值。文獻[17]給出了1 m標準長度不同管內徑尼龍管有效截面積的經驗推薦值S0，如表1第2列所示。表1第3列是在總壓為0.6 MPa、總溫為300 K的條件下，從當地摩擦因數計算得到的標準長度尼龍管的平均摩擦因數。表1第4列是采用第3列的數據得到的標準長度尼龍管有效截面積的理論計算值ST。表1第5列的相對誤差用下式計算：

表1 標準長度尼龍管有效截面積的計算值與經驗值Table 1 Theoretical and empirical values of effective sectional area of nylon duct with standard length

由表1可看出，采用新方法計算的標準長度尼龍管有效截面積ST與經典文獻給出的經驗推薦值S0基本相同，最大誤差在20%以內。另外，表1第2列不同管徑標準長度尼龍管的經驗推薦值S0全部小于第4列的理論計算值ST，相對保守，這有利于增加系統設計的可靠性。

3.2 任意長度尼龍管的有效截面積S

任意長度尼龍管有效截面積的經驗計算公式[17]為

式中：Se為按經驗公式（11）計算的任意長度尼龍管的有效截面積，mm2；S0為1 m的標準長度尼龍管的有效截面積，mm2；L為實際管長，m。

圖3為在總壓為0.6 MPa、總溫為300 K的條件下，采用新方法直接計算的任意長度尼龍管的有效截面積ST與采用經驗公式（11）計算的Se的相對誤差曲線。相對誤差的計算公式與式（10）類似。由圖3可看出，對管內徑為2.5 mm的尼龍管，兩種方法計算的任意長度尼龍管的有效截面積數值幾乎相同，最大誤差不超過5%。隨著管內徑的增大，相同長度尼龍管有效截面積的相對誤差逐漸增大，管內徑為9 mm的尼龍管最大誤差約為30%。大量計算表明，在絕大多數情況下，采用新方法直接計算的任意長度尼龍管的有效截面積ST大于采用經驗公式（11）計算的Se，這表明有效截面積經驗計算公式（11）也相對保守，同樣有利于增加系統設計的可靠性。

圖3 兩種方法計算有效截面積的相對誤差Fig.3 Relative error of effective sectional area with two different methods

3.3 任意長度尼龍管的臨界壓力比b

任意長度尼龍管的臨界壓力比的經驗計算公式[6]為

式中：be為按經驗公式（12）計算的任意長度尼龍管的臨界壓力比；C0為1 m的標準長度尼龍管的聲速流導，m3／（s·Pa）；d為管內徑，m。

聲速流導C0的計算公式[17]為

圖4 兩種方法計算的臨界壓力比bFig.4 Critical pressure ratio with two different methods

圖4為在總壓為0.6 MPa、總溫為300 K的條件下，采用新方法直接計算內徑為2.5 mm任意長度尼龍管的臨界壓力比bT與采用經驗公式（12）計算的be的曲線對比。由圖4可看出，采用新方法直接計算任意長度尼龍管的臨界壓力比bT值小于采用經驗公式（12）計算的be值。但每個計算點兩者相對誤差基本上都等于40%，因此兩條曲線的變化趨勢相同。對其他管內徑（4、6、7.5、9 mm內徑）的計算結果與圖4也十分類似。

流量特性參數的理論計算值與經驗曲線變化趨勢相同，且計算值與經驗值相吻合，表明新方法可以在相當程度上反映氣動管道流量特性參數變化的物理本質。

4 結論

（1）流量特性參數函數S／A和b可看作是以管道進口速度因數λin為自變量的單變量線性函數。

（2）流量特性參數的理論計算值與經驗曲線變化趨勢相同，且計算值與經驗值相吻合，表明新方法可以在相當程度上反映氣動管道流量特性參數變化的物理本質。

（3）將新方法得到的有效截面積S的理論計算值下跌20%、臨界壓力比b的理論計算值上浮40%，可作為同等條件下選用氣動系統尼龍管的經驗推薦值使用。

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