二維無旋超音速擴散對稱流動控制方程及其特征線方程和相容性方程

彭寶林，郭良斌

（武漢科技大學機械自動化學院，湖北武漢，430081）

高供氣壓力下的靜壓平行圓盤止推氣體軸承的氣膜入口流速為音速，隨著通氣截面半徑及截面面積的增大，氣流的馬赫數不斷增大，在等熵流中，隨著氣流馬赫數的增大，靜壓降低，氣體止推軸承的承載效率降低[1]。研究表明，通過改變和重新設計流道結構，使氣流在氣膜入口處的流速降至亞音速，或降低氣膜內超音速流的馬赫數，可以提高圓盤止推氣體軸承的承載力。

本文采用絕熱理想氣體和在氣膜入口處有微小平行段的變氣膜厚度模型，根據無徹力定常無黏流旋度保持不變的原理，將圓盤止推氣體軸承內的流場簡化為在半徑和氣膜厚度方向上為變量的二維無旋場，推導出氣膜間隙內二維無旋場控制方程組[2]及其特征線方程和相容性方程[3]，對特征線方程和相容性方程用差分法離散，用歐拉預估－校正法計算內點[4]，用等間隙氣膜內一維超音速流動的解析解進行驗算。

1 擴散對稱流動控制方程組

變間隙圓盤止推氣體軸承結構簡圖如圖1所示。圖1中：r1為供氣孔半徑；r2為圓盤外半徑；P＊為供氣壓力（滯止壓力）；T＊為供氣總溫（滯止溫度）；pa為環境背壓（環境大氣壓）；h0為平行段間隙高度常數；rs為平行段最大半徑；Vr、Vz分別為氣流速度的徑向分量和軸向分量。不平行段壁面方程為y＝y（x）。理想氣體以音速從氣膜入口進入圓盤間隙，在平行段內是一維擴散對稱無旋流動，到達不平行段后是二維無旋流動。

圖1 變間隙圓盤氣體止推軸承結構Fig.1 Schematic diagram of the aerostatic thrust bearing of variable clearance

定常運動下的連續方程為

定常運動下的歐拉運動微分方程為

定常絕熱運動下的能量方程（沿流線）為

熱完全氣體的狀態方程為

等熵流動中聲速關系式為

從式（2）和式（5）得

由式（1）得

將式（6）兩邊點乘V，得

由無旋定義?×V＝0，有

所以

從式（7）和式（8）中約去密度項，得到理想氣體等熵定常無旋流動的控制方程為

用柱坐標系表達，r軸指向半徑方向，z軸垂直于氣膜厚度方向，則式（10）可寫成

在變間隙氣膜內依然有環向速度Vθ＝0及對稱性?／?θ＝0，式（11）中的三維流動可以化簡為氣膜厚度和半徑方向上的二維流動。

由無旋定義

式（12）可化簡為

令y＝z，x＝r，則u＝Vr，v＝Vz，式（14）和式（13）變為

式（15）、式（16）便是變間隙圓盤止推氣體軸承中氣體流動控制方程組。其中，音速a是速度u和v的函數，即

所以控制方程組由兩個一階擬線性偏微分方程組成，因變量為u和v。

2 方程組特征線方程和相容性方程

u和v的全微分方程為

將式（15）、式（16）、式（18）、式（19）聯立，對ux、uy、vx、vy求解，有

對于式（20）所示的方程組，導數ux不確定的條件是方程組系數為零，即

展開式（21）得

式（22）兩邊同時除以dx2，并令dy／dx＝λ，則式（22）可改寫為

解得

式中：下標“±”分別表示第Ⅰ族和第Ⅱ族特征線；M為馬赫數，當M＞1時，特征線是實數。

可見特征線法僅用于超音速流場的計算。用式（20）中的常數項替換系數行列式中的某一列，并令其等于零，可以求得沿特征線上因變量u、v之間所滿足的相容關系。為避免高階行列式運算，討論L1與L2的線性組合，即

式中：k1、k2為任意函數。

將式（15）、式（16）代入式（25），方程改寫為

將式（26）中第1個和第2個括號內的表達式分別寫成全微分du／dx和dv／dx形式，并令dy／dx＝λ，即

由于原偏微分方程簡化為常微分方程的曲線是特征線，因而給出的λ即是特征線的斜率

沿式（29）所示的特征線，式（26）可簡化為u和v的全微分表達式，即相容關系式

通過求k1、k2非平凡解來確定特征線的斜率λ，同時導出k1、k2的關系，故將式（30）中的k1、k2約去。由式（29）有

若k1和k2有不為零的解，則下式必為零，即

解得

式（33）確定了變氣膜厚度內定常二維超音速流場中的兩族特征線，由式（31）和式（32）可得

或

將上式代入式（30），得到相容關系

或

容易證明式（37）與式（38）是等價的相容關系。將特征線方程改寫為簡單形式，用速度矢的模及夾角V、β表示速度分量u、v，用馬赫角α表示馬赫數M，即

將式（39）代入式（34），解得

式（40）說明特征線上各點的切線與該點流速方向的夾角為馬赫角α，按照觀察者的目光順著流速方向規定，伸向左邊的為左伸特征線C＋，或第Ⅰ族特征線；伸向右邊的為右伸征線C－，或第Ⅱ族特征線。

3 特征線法計算流場概述

如圖2所示，設平面xy中有一條非特征線的起始曲線AB，其上流動參數為已知，利用兩族特征線相交形成一網格，該網格擴展到一定的區域，計算出該區域的流動參數。例如起始曲線AB上點1發出的右伸特征線C－與由點2發出的左伸征線特征線C＋相交于點4，它的位置可由特征線方程式（34）求出，沿線段1－4和2－4各有一個聯系du和dv的相容關系，利用此關系可以求出交點4上u和v的值。對于起始曲線AB上各離散點（包括端點A和B），均重復上述步驟，當AB上離散點距離足夠小時，結果產生了一條參數已知的連續曲線DE，如此繼續下去，直到圖2中整個ABC區域算完為止。圖2中，點C是從A發出的第Ⅱ族特征線和從點B發出的第Ⅰ族特征線的交點，而對于邊界點來說一般只有一條特征線通過，對此必須補充速度與壁面相切的條件，將內點和邊界點聯合起來計算，這樣特征線可以伸展到整個流場，從而計算出整個流場的參數。

圖2 二維特征線網格及內點處理過程Fig.2 Two－dimensional characteristic line grid and interior point process

將特征線方程和相容關系寫成差分方程形式，變間隙內定常二維無旋流動特征線方程和相容關系的差分方程如表1所示，平均系數法確定的有限差分系數計算方程如表2所示。

表1 變間隙氣膜內超音速流動的有限差分方程Table 1 Finite difference equations of variable clearance flow within the supersonic gas film

表2 平均系數法確定的有限差分系數計算方程Table 2 Calculation equations of variable clearance flow within the supersonic gas film

4 單元處理過程

圖2中點1和點2為不在一條特征線上的已知點，根據特征線差分方程式（47）、式（48）和相容關系的差分方程，采用預估－校正法可計算出點4（x4，y4）及流動參數。

4.1 預估步

設u＋＝u2，v＋＝v2，x＋＝x2，u－＝u1，v－＝v1，x－＝x1。由差分方程式（47）、式（48）有

4.2 校正步

如有必要，可以使用迭代校正步，直至

式中：qi代表x4、y4、u4、v4等參數；εi為對應于每一參數的允許誤差。

數值計算表明，連續使用校正法對最終結果影響很小，一般迭代3次后結果較為穩定。

對于待解點在壁面的情形（圖3），點2為已知點，由點2沿流動方向往下引出1條特征線，于壁面相交于點4，這時待解點4的位置和流動參數由兩組條件決定：一是通過2－4線段的特征線方程和相容關系方程，二是壁面曲線方程及氣流速度與壁面相切的條件方程，即

圖3 壁面點處理Fig.3 Wall point processing

由式（48）和式（63）可以求出x4、y4，由式（51）和式（64）可以求出u4、v4。其預估步、校正步的步驟與內點的情形完全相同。

5 計算與驗證

利用平行段一維流動的解析解來驗證特征線方程和相容性方程的正確性，采用文獻[1]中的例子，取r1＝10 mm，r2＝40 mm，P＊＝1 MPa，T＊＝293 K，此時氣膜入口總壓大于氣膜出口截面上產生正激波的特征滯止壓強，氣膜入口馬赫數為1，氣膜內全是超音速流動，任意截面上馬赫數與通氣截面半徑r之間的關系式[1]為

在特征線法中，給出入口處的條件為u1＝u2＝ccr≈312.251 8 m／s，v1＝v2＝0，x1＝x2。已知點間距y1－y2＝0.1 mm。在間隙內聲速關系[5]為

式中：k為比熱比；R為氣體常數。

氣膜厚度h＝0.2 mm，由已知點向前直接步進160次，也就是網格數是160×3。在特征線法中不能直接使用ccr的精確值，否則點1和點2在同一條特征線上，同時已知點間距不能過大，否則，式（66）根號內會出現負值。

圖4 解析法與特征線法計算結果Fig.4 Contrast of analytical solution and the numerical solution characteristic line

編程后，分別用數值法和解析法（圖4）對160個點上的馬赫數進行計算。為了使圖上的點清晰可見，僅畫出了步進次數為奇數的點。從圖4可看出，解析法和特征線法得到的點基本重合。由程序計算結果可知，誤差小于0.01%。因此，改變起始點間距，總能得到預期數目點上的解，使得出的流動參數接近于連續函數。

6 結語

通過改變止推氣體軸承等間隙的流道結構，推導出了二維無旋超音速擴散對稱流動的控制方程及其特征線方程和相容性方程，用等間隙氣膜內一維超音速流動的解析解驗證了特征線方程和相容性方程的正確性。

[1] 郭良斌，彭寶林.理想氣體條件下平行圓盤止推氣體軸承承載力特性的初步研究[J].武漢科技大學學報，2011，34（1）：62－68.

[2] 童秉綱，孔祥言，鄧國華.氣體動力學[M].北京：高等教育出版社，1990.

[3] 單鵬.多維氣體動力學基礎（第二版）[M].北京：航空航天出版社，2008.

[4] M J Zucrow，J D Hoffman.氣體動力學（上下冊）[M].王汝涌，譯.北京：國防工業出版社，1984.

[5] 潘錦珊.氣體動力學基礎[M].北京：國防工業出版社，1989.