SOLO理論視角下學生對“用字母表示數”的認知水平評價

蒲淑萍，李 萍

（1.淄博師范高等專科學校教育科學研究中心，山東淄博255130；2.淄博師范高等專科學校附屬小學，山東淄博255100）

一、問題提出

“用字母表示數”是學生由自然的“算術語言”向抽象的“代數語言”過渡的起始，是學生進入代數知識學習的入門知識，是學習方程、不等式等的重要基礎。大量的教學研究發現，學生對“用字母表示數”的認知存在困難，如薛文敘研究發現，對字母表示數很多學生“認為正數前面應該是正號負數前面應該是負號”；[1]蔡宏圣發現，學習“用字母表示數”后，請學生解答“四（1）班a人，四（2）班比四（1）班多6人，四（2）班有多少人”這樣的問題，結果卻有70%以上的孩子認為：缺少條件，不能解答；[2]虞琳娜在教學中發現，“比較‘5a’與‘3b’的大小時，一些學生始終認為‘5a＞3b’”，[3]等等。可以看到，學生對“用字母表示數”的認知水平與運用能力參差不齊，有著很大的差別。初一學生經過小學階段的學習，是否還停留在最初的上述認知層面上？是否已基本達到了學習后繼知識的認知層次與能力要求？筆者對此進行了研究。

二、研究方法

本研究以測試為基礎，通過對初一新入學學生對“用字母表示數”的認知水平測試，利用SOLO分類理論對測試結果進行評價分析，以了解學生通過小學階段“用字母表示數”內容的學習后，對基本教學要求的完成情況，為進一步學習方程、不等式等內容做好充分的教學準備。

S0L0的英文全稱為Structure of the Observed Learning Outcome，即可觀測學習結果的結構。SOLO的理論基礎是皮亞杰的發展階段學說，由著名教育心理學家比格斯（Biggs）教授及其同事經過長期的研究和探索提出，是一種以等級描述為特征的質性評價方法。SOLO分類法中的5個層次深刻描述了學生對知識的認知水平與認知程度。

（一）研究樣本

為摸清學生對“用字母表示數”內容的認知情況，2010年9月2日我們對上海市某中學新入學的初一某班學生共55人進行測試，收回有效卷52份。該校是上海一所普通中學，每個年級所有班級均為平行班，所選樣本基本能夠反映上海市初一學生的一般情況。

（二）研究工具

《全日制義務教育數學課程標準》[4]中對“用字母表示數”的基本要求是：（1）在現實情境中，借助代數式進一步認知用字母表示數的意義；（2）能分析簡單問題中的數量關系，并用代數式表示；（3）會求代數式的值；能根據特定的問題查閱資料，找到所需要的公式，并會代入具體的值進行計算。測試題從以上三項基本要求出發，編制如下：

（1）學校買了x只足球，每只24元；又買了5只籃球，每只y元，式子24x＋5y的意義是什么？

（2）已知圓的周長為r，那么圓的面積是多少？

（3）已知兩個數的和與這兩個數的差，怎樣求這兩個數？請你設計一種情形，并給出解決辦法。

三、測試結果與分析

SOLO理論將學生學習的結果由低到高分為五個不同的層次，即：前結構（Prestructural）、單一結構（unistructural）、多元結構（multitructural）、關聯結構（relational）、拓展抽象結構（extendedabstract）等。這五種水平的結構復雜性按照一定的層級逐步提升，各個水平及其表現如下表：

表一 SOLO理論的各個水平及其表現

參照以上層次分類，我們分別對學生回答三道測試題的情況，對學生對“用字母表示數”的認知情況進行水平劃分與評價。

（一）理解用字母表示數的意義

測試題（1）主要為了了解學生對“用字母表示數的意義”的認知水平：

（1）學校買了x只足球，每只24元；又買了5只籃球，每只y元，式子24x＋5y的意義是什么？

前結構水平（P）：

依照SOLO分類理論，處于這一水平的回答只包含一些不相關的信息，表現為拒絕或者沒有能力進入某一個問題的解決，如空白的回答，完全無關的回答，不合邏輯的回答等。

在本題中，部分學生填寫不知道、無，或者空白等，我們認定這樣的學生處于前結構水平。

單一結構水平（U）：

處于這一水平的回答只含一種運算，即只從問題的一個側面去思考問題。他們能從題目中獲取部分正確信息，但不全面或不完全正確。

比如，有學生認為24x＋5y表示的意義是“學校買了24只足球和5個籃球”；“學校買了x只足球和5個籃球”；“所有球的總價”；“買球總共花的錢”等等。

這樣的一些答案我們認為是單一結構水平的回答。

多元結構水平（M）：

多元結構水平的回答含有依次進行的相關但又不相同的幾種運算。處于這一水平的學生回答，能夠意識到該式子表達的是購買兩種球，或認為購買兩種球的總價。這樣的學生能夠寫出一種相對完整的答案，但對整個式子表達的意義并不理解。以下幾種回答我們認為是多元結構水平的回答：

（1）買x只足球和5個籃球；

（2）買足球與籃球的總價；

（3）買24只足球和5個籃球的總價。

關聯水平（R）：

關聯水平的回答表明學生解決問題過程包含著一些抽象思維的成分。要達到這個水平，學生需具備能夠搞清24x＋5y式子中每一個數字與字母的含義的能力，并能用完整、準確的語言表達式子意義的能力。筆者認為，答案中寫清“x只足球”、“5只籃球”以及“購買兩種球的價錢的總和”等信息的學生的認知水平達到了關聯水平。

擴展抽象水平（E）：

這一水平的回答純粹是抽象思維的結果，學生從己知信息中洞察到需要運用某一抽象的、在條件中并沒有明顯給出的一般原理。

學號為2010010825的學生給出的答案如下：

24x是購買x只足球的價錢，5y是購買5只籃球的價錢，所以這樣的式子就是買足球與籃球所需花費的錢的總和。

我們認為該生的回答經過了一定的抽象思維，對“用字母表示數”意義的認知己經達到了擴展抽象水平。

（二）分析數量關系，并用代數式表示

測試題（2）主要為了考察學生對“分析問題中數量關系，并用代數式表達”的認知水平：

（2）已知圓的周長為r，那么圓的面積是多少？

一般的，在圓中，字母r通常代表半徑，但不絕對。當用字母表示數時，要求學生需具備弄清題目中字母的具體指代意義。本題著重考查學生對圓的半徑、面積、周長之間的數量關系用字母表示后學生的認知運用水平。

前結構水平（P）：

同上述測試題（1）中前結構水平的基本情況。

單一結構水平（U）：

處于這一水平的回答只含一種運算，即只從問題的一個側面去思考問題。他們能從題目中獲取部分正確信息，但不全面或不完全正確。

本題的測試結果中出現了非常令人吃驚的現象，52位測試學生中，竟有27人自行將題目中的“周長”二字改換成了“半徑”，并隨后寫下答案：π·r2。可見學生對于“字母r通常代表半徑”有著極其深刻的認識，顯示出學生的思維在“用字母表示數”方面有著極強的“功能固著”的做法，這應引起數學教師的注意，要加強學生對字母表示數的意義的教學。

以上的這些答案與做法，我們將其歸入單一結構水平的回答。

多元結構水平（M）：

多元結構水平的回答含有依次進行的相關但又不相同的幾種運算。處于這一水平的回答的學生，能夠意識到要求面積，需要先求半徑，然后求出面積等于等等。這些答案了解周長與半徑、面積與半徑的關系，但解答并不完整，甚至并不正確。這樣的學生能夠寫出一種相對完整的答案。

關聯水平（R）：

關聯水平的回答表明學生解決問題過程包含著一些抽象思維的成分。要達到這個水平，學生需具備“會利用圓的周長求其半徑——用半徑求出面積”的程序操作，能夠搞清字母的含義及圓的周長、面積公式，并能用完整、準確的計算過程寫出正確答案的能力。筆者認為，答案中寫清“π等形式的學生的認知水平達到了關聯水平。

擴展抽象水平（E）：

這一水平的回答純粹是抽象思維的結果，學生從己知信息中洞察到需要運用某一抽象的、在條件中并沒有明顯給出的一般原理。

（三）代數式求值問題，用字母解決問題

測試題（3）主要為了考察學生對“會求代數式的值；能根據特定的問題查閱資料，找到所需要的公式，并會代入具體的值進行計算”的認知與運用水平。考慮到學生馬上開始初中的代數學習，本題還考察了學生對于靈活使用字母解決問題的能力，即字母可表示常數，也可表示變量的較高要求融于本題的設計思想中：

（3）已知兩個數的和與這兩個數的差，怎樣求這兩個數？請你設計一種情形，并給出解決辦法。

前結構水平（P）：

同上述測試題（1）中前結構水平的基本情況。

單一結構水平（U）：

處于這一水平的回答只含一種運算，即只從問題的一個側面去思考問題。他們能從題目中獲取部分正確信息，但不全面或不完全正確。

比如有學生的解答步驟只寫了：“a＋b＝ab，然后算出a＝0，b＝0”；或“（n＋m）－（n－m）÷2＝n，n＋（n－m）＝m”等，但這些解答沒有完整提取題目信息，解答不完整、不正確。

多元結構水平（M）：

多元結構水平的回答含有依次進行的相關但又不相同的幾種運算。處于這一水平的回答的學生，能夠意識到要求兩數，需要先通過消去一個、求得另一個的做法，然后求出第二個數等等，這些學生了解消元法求兩數的關系，但解答并不完整，甚至并不正確。這樣的學生能夠寫出一種相對完整的答案。如，一位學生的回答：關聯水平（R）：

關聯水平的回答表明學生解決問題過程包含著一些抽象思維的成分。要達到這個水平，學生需具備設出和差的具體值，并能用準確的計算過程使用消元法求出兩數、寫出正確答案的能力。近1／3的學生達到了關聯水平的認知與運用。該水平下學生的回答基本以以下形式出現：

擴展抽象水平（E）：

這一水平的回答純粹是抽象思維的結果，學生從己知信息中洞察到需要運用某一抽象的、在條件中并沒有明顯給出的一般原理。有9位學生的回答是如下情形：

這種回答是對上一水平回答的提升與抽象。能夠這樣解答的學生經過了較高的抽象思維，對“用字母表示數”求代數式值的問題、利用字母解決問題的能力與認知水平己經達到了擴展抽象水平。

（四）五個水平的小結

對于上述三個測試題，按照SOLO分類法對學生的回答進行分類后，再結合測試卷中學生具體的解答情況，總結如下：

表二 學生對“用字母表示數”的認知水平小結

以上分析均來自于測試卷答題情況，通過對小學階段其任課教師的簡短訪談，以上數據基本上能夠反映學生的認知水平。另外，針對文章開始提到的問題，如學生認為“5a＞3b”等問題，小學階段教師與初一任課教師均認為，該現象存在于學生對“用字母表示數”的初學階段。經過小學階段的學習，升入初中一年級的絕大多數學生多數能正確理解這些較為初步的問題，認知水平基本達到了關聯水平及以上。

（五）學生對“用字母表示數”的認知發展過程

在SOLO理論的指導下，通過對學生“用字母表示數”的認知水平進行分析評價，我們可以得到對“用字母表示數”的認知的發展過程。如下表所示：

表三 學生對“字母表示數”的認知發展過程

四、研究結論與教學建議

（一）研究結論

對照以上分析與討論，可以看到經過小學階段的較扎實地學習，絕大多數學生對“字母表示數”的認知水平達到了繼續學習更為復雜的代數式以及方程、不等式，甚至函數等內容的基本要求。但也看到，還有約13%的學生“用字母表示數”的認知能力較弱，認知水平較低，這也需要教師在進一步教學中采取積極措施。如為這部分學生補習該部分內容，強化他們對“用字母表示數”的認知與運用能力，才不致使他們在初中的代數學習過程中與其他學生拉開越來越大的距離，失去學習代數的信心與能力。對處于多元結構水平及關聯結構水平的學生則需進一步訓練他們思維的深刻性，以及全面、準確地把握信息的能力。教師應充分考慮學生的實際情況，設計多個梯度，為全體學生的進步與發展做好充分的教學準備。

（二）教學建議

1.加強字母意義的教學

測試（尤其測試題2）結果顯示，學生對字母的意義認識存在“功能固著”的現象，如，認為r只能代表圓的半徑。這也顯示出學生對字母表示數的意義認知還不夠深刻、完善，不能在特定的語義環境下正確提取信息，阻礙了學生對字母問題的正確認知與靈活應用。

2.重視小學與初中的銜接問題

在小學，學生已認識了一些用字母表示的數、運算律、運算法則等，有了一定的基礎。到了初中，用字母表示數又成了初中代數學習的基礎，通過理解并掌握它，才能提高對代數式、方程、不等式、函數等知識的認知。初中代數教學在開始部分宜引入小學學過的字母表示數的知識，學生看到自己熟悉的東西，會降低心里的抵觸心理；然后再使用歸納、類比思想，感知字母的真實含義；當有了充分的感知后，注意將文字語言與符號語言進行轉化。這樣進行教學設計，符合SOLO理論中各個層級結構之間順序發展，符合學生從一個階段到下一階段的認知發展過程。

3.“用字母表示數”的教學應注意層次漸進

學生從小學高年級開始接觸“用字母表示數”的代數問題，必須要遵循螺旋漸進的學習規律，才能化解學生對這一抽象知識的認知與把握。

數學的發展史告訴我們，字母表示數的過程，不是簡單的用字母代替文字的過程，而是具體數量符號化的過程。孩子們的認知發展可能各具特點，但總體上不可能違背人類認識提升的一般規律。因而結合人類認識提升的歷史階段看，孩子認識用字母表示數存在這樣的遞進關系：字母不僅可以表示未知數，還可以表示已知數；字母不僅可以表示特定的意義，還可以表示變化的數量；不僅可以在縮寫水平上運用字母，還可以在符號水平上運用字母。再深入地看，學生只有認知這個已知的數量在不斷的變化中，才能認知字母的符號概括作用。

[1] 薛文敘.關于學生對數和數的表示形式認知情況的案例研究[J].數學教育學報，2000，（8）.

[2] 蔡宏圣.數學視界，引領課堂走向深遠—“用字母表示數”教學的重構[J].小學教學（數學版）2009，（7－8）.

[3] 虞琳娜.在自然的“表示”中感悟字母的含義——“用字母表示數”教學簡錄與思考[J].小學教學（數學版），2009，（1）.

[4] 中華人民共和國教育部.全日制義務教育數學課程標準（修訂稿）[S].北京：北京師范大學出版社，2007.