由感應(yīng)電荷巧解電磁感應(yīng)問(wèn)題

徐正恒

(衡陽(yáng)縣第一中學(xué) 湖南 衡陽(yáng) 421200)

電磁感應(yīng)是高中物理的重點(diǎn)內(nèi)容，常常與其他內(nèi)容，特別是與力學(xué)內(nèi)容的綜合應(yīng)用時(shí)，涉及到受力分析、運(yùn)動(dòng)狀態(tài)分析以及圖像問(wèn)題，要用到電學(xué)、力學(xué)和數(shù)學(xué)的很多知識(shí).由于物體在安培力作用下的運(yùn)動(dòng)一般是變速運(yùn)動(dòng)，常常要運(yùn)用微元法和數(shù)學(xué)累積求和求解，運(yùn)算繁雜，稍有不慎很難得到正確的答案.但是如果根據(jù)安培力的沖量，從感應(yīng)電荷入手，運(yùn)用動(dòng)量定理可以避免繁雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算，巧妙地解答電磁感應(yīng)問(wèn)題，很快得到正確答案.下面通過(guò)兩個(gè)例子的對(duì)比分析，感受它給解題帶來(lái)的便捷.

圖1

【例題1】(2007年高考江蘇卷)如圖1所示，空間等間距分布著水平方向的條形勻強(qiáng)磁場(chǎng)，豎直方向磁場(chǎng)區(qū)域足夠長(zhǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1 T，每一條形磁場(chǎng)區(qū)域的寬度及相鄰條形磁場(chǎng)區(qū)域的間距均為d=0.5 m.現(xiàn)有一邊長(zhǎng)l=0.2 m、質(zhì)量m=0.1 kg、電阻R=0.1 Ω的正方形線框MNOP以v0=7 m/s的初速?gòu)淖髠?cè)磁場(chǎng)邊緣水平進(jìn)入磁場(chǎng)，求：

(1)線框MN邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)受到安培力的大小F；

(2)線框從開(kāi)始進(jìn)入磁場(chǎng)到豎直下落的過(guò)程中產(chǎn)生的焦耳熱Q；

(3)線框能穿過(guò)的完整條形磁場(chǎng)區(qū)域的個(gè)數(shù)n.

解析：(1)線框MN邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)有

(2)分析線圈的受力情況和運(yùn)動(dòng)情況：水平方向間隔的(線圈進(jìn)、出磁場(chǎng)過(guò)程)受到安培力的作用，所以線圈水平方向間隔的做減速、勻速運(yùn)動(dòng)，直至速度減到零；豎直方向只受重力作用，一直做自由落體運(yùn)動(dòng).線圈最終運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是豎直下落.設(shè)線框豎直下落H時(shí)，速度為vH.

由能量守恒得

自由落體規(guī)律

vH2=2gH

解得

(3)解法一：

只有在線框進(jìn)入和穿出條形磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)，才產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，線框部分進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域x時(shí)有

在t→t+Δt時(shí)間內(nèi)，由動(dòng)量定理

-FΔt=mΔv

求和

解得

穿過(guò)條形磁場(chǎng)區(qū)域的個(gè)數(shù)為

可穿過(guò)4個(gè)完整條形磁場(chǎng)區(qū)域.

解法二：

線框穿過(guò)第1個(gè)條形磁場(chǎng)左邊界過(guò)程中

根據(jù)動(dòng)量定理

解得

同理線框穿過(guò)第1個(gè)條形磁場(chǎng)右邊界過(guò)程中有

所以線框穿過(guò)第1個(gè)條形磁場(chǎng)過(guò)程中有

設(shè)線框能穿過(guò)n個(gè)條形磁場(chǎng)，則有

解得

可穿過(guò)4個(gè)完整條形磁場(chǎng)區(qū)域.

解法三：

對(duì)線圈水平方向由動(dòng)量定理得

即

又線圈每通過(guò)一個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域線圈中產(chǎn)生的電荷量為

所以可穿過(guò)完整條形磁場(chǎng)區(qū)域的個(gè)數(shù)為

可以看出，解法三從安培力的沖量出發(fā)運(yùn)用動(dòng)量定理，以感應(yīng)電荷量作橋梁解題，過(guò)程簡(jiǎn)捷，思路清晰，答案易于得出，是一種好方法.

【例題2】如圖2所示，很長(zhǎng)的光滑磁棒豎直固定在水平面上，在它的側(cè)面有均勻向外的輻射狀的磁場(chǎng).磁棒外套有一個(gè)質(zhì)量均勻的圓形線圈，質(zhì)量為m，半徑為R，電阻為r，線圈所在磁場(chǎng)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B.讓線圈從磁棒上端由靜止釋放沿磁棒下落，經(jīng)一段時(shí)間與水平面相碰并反彈，線圈反彈速度減小到零后又沿磁棒下落，這樣線圈 會(huì)不斷地與水平面相碰下去，直到停留在水平面上.已知第一次碰后反彈上升的時(shí)間為t1，下落的時(shí)間為t2，重力加速度為g，不計(jì)碰撞過(guò)程中能量損失和線圈中電流磁場(chǎng)的影響.求：

(1)線圈第一次下落過(guò)程中的最大速度vm；

(2)第一次與水平面碰后上升到最高點(diǎn)的過(guò)程中通過(guò)線圈某一截面的電量 ；

(3)線圈從第一次到第二次與水平面相碰的過(guò)程中產(chǎn)生的焦耳熱Q.

圖2

解法一：

(1)線圈第一次下落過(guò)程中有

E=B·2πRv

mg-BI·2πR=ma

可知線圈做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)a=0時(shí)，速度最大，代入求得

(2)反彈后上升的過(guò)程中某一時(shí)刻，由牛頓運(yùn)動(dòng)定律得

mg+BI·2πR=ma

在一段微小時(shí)間Δt內(nèi)，速度增量為Δv=aΔt，通過(guò)線圈截面電荷量為Δq=IΔt,則

(3)反彈后上升的過(guò)程中某一時(shí)刻，由牛頓運(yùn)動(dòng)定律得

在一段微小時(shí)間Δt內(nèi)，速度增量為Δv=aΔt，線圈上升高度為Δh=vΔt，則線圈可上升的最大高度h為

線圈到達(dá)最高點(diǎn)后，下落過(guò)程中的某一時(shí)刻，由牛頓運(yùn)動(dòng)定律得

在一段微小時(shí)間Δt內(nèi)，速度增量為Δv=aΔt，線圈下降高度為 Δh=vΔt.則線圈第二次下降到水平面時(shí)的速度為

v=∑Δv=

本過(guò)程中線圈中產(chǎn)生的熱量為線圈動(dòng)能的損失

化簡(jiǎn)得

解法二：

(1)線圈第一次下落過(guò)程中有

E=B·2πRv

mg-BI·2πR=ma

可知線圈做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng);當(dāng)a=0時(shí)，速度最大，代入求得

(2)第一次反彈至最高點(diǎn)，由動(dòng)量定理得

所以

(3)對(duì)上升過(guò)程

對(duì)下落過(guò)程

又上、下過(guò)程中通過(guò)線圈的電荷量相等，即

所以

v=g(t1+t2)-vm

根據(jù)能量守恒得

故

不難看出，方法二解題更簡(jiǎn)捷，答案能很快得出，是一種好方法.

從以上兩個(gè)例題的對(duì)比分析和解答，能夠感受到以安培力的沖量推出的感應(yīng)電荷量為橋梁，運(yùn)用動(dòng)量定理解答有關(guān)安培力作用下電磁感應(yīng)的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，可以大大優(yōu)化解題方法，簡(jiǎn)化解題步驟，達(dá)到事半功倍的效果.