一種基于線性物理規(guī)劃和兩級集成系統(tǒng)綜合方法的多目標(biāo)多學(xué)科優(yōu)化方法

陶友瑞 韓 旭 姜 潮 劉迎春

1.湖南工程學(xué)院,湘潭,411104 2.湖南大學(xué)汽車車身先進設(shè)計制造國家重點實驗室,長沙,410082

一種基于線性物理規(guī)劃和兩級集成系統(tǒng)綜合方法的多目標(biāo)多學(xué)科優(yōu)化方法

陶友瑞1韓 旭2姜 潮2劉迎春1

1.湖南工程學(xué)院,湘潭,411104 2.湖南大學(xué)汽車車身先進設(shè)計制造國家重點實驗室,長沙,410082

提出一種高效、直觀的方法來解決多目標(biāo)多學(xué)科設(shè)計優(yōu)化問題。在該方法中,設(shè)計者首先確定線性物理規(guī)劃中各目標(biāo)的偏好類型及偏好值,然后利用ε約束法將多目標(biāo)問題轉(zhuǎn)換成單目標(biāo)問題,再采用兩級系統(tǒng)集成綜合方法進行多學(xué)科設(shè)計優(yōu)化,得到不同設(shè)計優(yōu)化方案,最后采用線性物理規(guī)劃評價各設(shè)計方案的優(yōu)劣并得到最優(yōu)方案。采用該方法對一個工程實例(減速器模型)進行了優(yōu)化,從5個設(shè)計方案中求得了最優(yōu)設(shè)計方案,最優(yōu)解中的兩個目標(biāo)函數(shù)值都在可容忍區(qū)間,從而也驗證了該方法的有效性。通過該算例也說明該方法具有很好的工程應(yīng)用價值。

多學(xué)科設(shè)計優(yōu)化;多目標(biāo)優(yōu)化;線性物理規(guī)劃;兩級集成系統(tǒng)綜合方法

0 引言

多學(xué)科設(shè)計優(yōu)化(MDO)是一種用于大型系統(tǒng)的并行設(shè)計方法,是一種通過充分探索和利用系統(tǒng)中相互作用的協(xié)同機制來設(shè)計復(fù)雜系統(tǒng)工程和子系統(tǒng)的方法論,目前已經(jīng)成為優(yōu)化設(shè)計領(lǐng)域的研究熱點,主要應(yīng)用于航空航天領(lǐng)域[1]。在工程問題中很多學(xué)科設(shè)計優(yōu)化問題是多目標(biāo)問題,由于多目標(biāo)優(yōu)化問題一般不存在單個最優(yōu)解,因此希望求出其Pareto最優(yōu)解集,然后根據(jù)Pareto前沿的分布情況進行多目標(biāo)決策。求解Pareto最優(yōu)解集傳統(tǒng)的方法是將多目標(biāo)問題轉(zhuǎn)換為多個不同的單目標(biāo)優(yōu)化問題,用單目標(biāo)優(yōu)化方法分別進行求解,這些單目標(biāo)最優(yōu)解對應(yīng)原多目標(biāo)優(yōu)化問題的Pareto最優(yōu)解,用這些解的集合去近似Pareto最優(yōu)解集。求解方法主要有加權(quán)法和約束法[2]。

在多學(xué)科設(shè)計優(yōu)化研究的早期,包括協(xié)同優(yōu)化(CO)策略在內(nèi)的所有的MDO策略只能處理單目標(biāo)的多學(xué)科優(yōu)化問題。近年來,研究人員開始關(guān)注多目標(biāo)多學(xué)科設(shè)計優(yōu)化問題。Tappeta等[3]對協(xié)同優(yōu)化策略進行了改進,使其能夠處理多目標(biāo)問題,在該方法中,采用加權(quán)法將多目標(biāo)問題轉(zhuǎn)換為單目標(biāo)問題。Sobieszczanski-Sobieski等[4]的研究表明,加權(quán)法用于設(shè)計空間的搜索是有效的。Zhang等[5]將自適應(yīng)的權(quán)系數(shù)方法引入并行子空間優(yōu)化(concurrent subspace optim ization,CSSO)策略中,得到了一種新的處理多目標(biāo)多學(xué)科問題的方法,該方法可以用來處理大規(guī)模變量的問題。但是,加權(quán)法的主要缺點是對Pareto前沿非凸的情形不能求出所有Pareto最優(yōu)解,而且多個目標(biāo)之間往往不可比較,從而限制了其應(yīng)用。Huang等[6]也對CSSO處理多目標(biāo)問題進行了研究,采用約束方法使CSSO在多學(xué)科設(shè)計優(yōu)化的框架中處理多目標(biāo)問題。然而,該方法只用于求得Pareto最優(yōu)解,而不能直接得到滿足設(shè)計者偏好的Pareto最優(yōu)解,另外,約束法的主要缺點是約束邊界值變化范圍的確定需要先驗知識。

物理規(guī)劃由美國學(xué)者Messac[7]于1995年提出,它是一種新的處理多目標(biāo)優(yōu)化問題的有效方法。物理規(guī)劃能從本質(zhì)上把握設(shè)計者的偏好,無需反復(fù)設(shè)置各個目標(biāo)的權(quán)重系數(shù),大大減輕了大規(guī)模多目標(biāo)設(shè)計問題的計算負擔(dān),并將整個設(shè)計過程置于一個更加靈活、自然的框架中。它通過綜合偏好函數(shù)將工程設(shè)計問題中的多目標(biāo)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為單目標(biāo)優(yōu)化問題,獲得反映設(shè)計者偏好的最優(yōu)設(shè)計。線性物理規(guī)劃(LPP)是物理規(guī)劃的特殊形式,用于處理線性問題。M cA llister等[8]將線性物理規(guī)劃方法引入?yún)f(xié)同優(yōu)化策略中,用于處理多目標(biāo)多學(xué)科問題。在該方法中,設(shè)計者可以采用有物理意義的參數(shù)來描述多個系統(tǒng)級的目標(biāo)。毫無疑問,該方法擴展了協(xié)同優(yōu)化的應(yīng)用范圍,也為線性物理規(guī)劃方法在多學(xué)科設(shè)計優(yōu)化中的應(yīng)用打下了基礎(chǔ)。但是協(xié)同優(yōu)化策略本身存在優(yōu)化結(jié)果可能不收斂的缺陷,故該方法的應(yīng)用也受到相應(yīng)的影響。因此,尋求線性物理規(guī)劃方法在其他多學(xué)科設(shè)計優(yōu)化策略中的應(yīng)用勢在必行。

兩級集成系統(tǒng)綜合(bi-level integrated system synthesis,BLISS)方法是Sobieszczanski-Sobiesk等[9]在1998年提出的一種基于分解技術(shù)的工程系統(tǒng)多學(xué)科設(shè)計優(yōu)化方法,由于它具有可以處理多變量和較容易人為干預(yù)優(yōu)化過程的獨特優(yōu)點而被認為是性能最強的一種多學(xué)科優(yōu)化策略。BLISS方法只能處理單目標(biāo)的多學(xué)科優(yōu)化問題,本文欲將線性物理規(guī)劃方法嵌入到BLISS中,使其能處理多目標(biāo)多學(xué)科問題。

1 多目標(biāo)多學(xué)科問題的描述

與單學(xué)科問題不同,在多學(xué)科問題中各學(xué)科之間存在耦合關(guān)系,因此多目標(biāo)多學(xué)科問題較單學(xué)科多目標(biāo)問題復(fù)雜。多目標(biāo)多學(xué)科問題可描述如下:

式中,X為系統(tǒng)設(shè)計向量;X1,X2,…,Xn為各子系統(tǒng)的設(shè)計向量;y1,y2,…,yn為學(xué)科狀態(tài)變量;y1i,y2i,…,yni為耦合狀態(tài)變量;g為不等式約束;H為系統(tǒng)分析中必須滿足的方程。

2 多目標(biāo)多學(xué)科優(yōu)化方法的建立

由于多學(xué)科優(yōu)化問題本身非常復(fù)雜,因此在多目標(biāo)多學(xué)科優(yōu)化中要求得所有的Pareto最優(yōu)解的計算成本將會很高。一般而言,從工程應(yīng)用的角度出發(fā),設(shè)計人員希望能夠從少量的Pareto最優(yōu)解中找到能夠滿足設(shè)計人員偏好的最優(yōu)解。本文提出的多目標(biāo)多學(xué)科設(shè)計優(yōu)化新方法中,設(shè)計者的偏好采用具有物理意義的參數(shù)進行描述,采用約束法將多目標(biāo)問題轉(zhuǎn)換為單目標(biāo)問題,利用BLISS求解Pareto最優(yōu)解,最優(yōu)方案通過線性物理規(guī)劃進行評價。

2.1 線性物理規(guī)劃

線性物理規(guī)劃通過偏好函數(shù)來表達設(shè)計者的偏好程度,將設(shè)計目標(biāo)的取值范圍按不同的滿意程度等級(滿意,可以容忍,不滿意等)劃分為若干連續(xù)區(qū)間,以反映設(shè)計者的各種偏好程度[7]。在線性物理規(guī)劃中,偏好函數(shù)有4種類型,根據(jù)偏好精確度的不同,每一類包括軟、硬兩種情況。軟偏好函數(shù)對應(yīng)優(yōu)化設(shè)計問題的設(shè)計目標(biāo),硬偏好函數(shù)對應(yīng)約束條件。4種類型的軟偏好函數(shù)定義為:①目標(biāo)最小化(1S);②目標(biāo)最大化(2S);③目標(biāo)趨于某定值最好(3S);④目標(biāo)趨于某區(qū)間最好(4S)。

采用線性物理規(guī)劃進行多目標(biāo)優(yōu)化的步驟如下:

(1)設(shè)計者根據(jù)問題的性質(zhì)規(guī)定各設(shè)計目標(biāo)的偏好函數(shù)類型(軟型或硬型)。

(2)為各定量及非定量的設(shè)計目標(biāo)規(guī)定用數(shù)值表示的滿意程度區(qū)間。

(3)利用決策者在規(guī)定的各設(shè)計目標(biāo)偏好函數(shù)類型及滿意程度區(qū)間來計算線性物理規(guī)劃數(shù)學(xué)模型中的遞增權(quán)值

2.2 BLISS方法

BLISS方法的基本思想是將系統(tǒng)層優(yōu)化從潛在的眾多子系統(tǒng)優(yōu)化中分離出來,使得系統(tǒng)層設(shè)計變量顯著減少。BLISS運行之初要先對系統(tǒng)設(shè)計變量賦初始值,然后通過循環(huán)來改進設(shè)計變量以達到最優(yōu)[9]。每次循環(huán)都由兩步組成:第一步,凍結(jié)系統(tǒng)層變量,對子系統(tǒng)層內(nèi)的局部設(shè)計變量進行獨立的、并行的、自主的優(yōu)化;第二步,在第一步的基礎(chǔ)上優(yōu)化系統(tǒng)層變量以達到更進一步的優(yōu)化,在進行子系統(tǒng)優(yōu)化之前要進行系統(tǒng)分析及靈敏度分析。

2.3 基于LPP和BLISS的多目標(biāo)多學(xué)科優(yōu)化流程

多學(xué)科設(shè)計優(yōu)化中面臨的困難是結(jié)構(gòu)復(fù)雜和計算量巨大,而且多學(xué)科設(shè)計優(yōu)化中還可能包含多個相互矛盾的優(yōu)化目標(biāo),因此,多目標(biāo)多學(xué)科設(shè)計優(yōu)化是一個更為復(fù)雜的問題。本文將線性物理規(guī)劃應(yīng)用于多目標(biāo)多學(xué)科設(shè)計優(yōu)化之中,提出一種高效、直觀的方法來解決該問題。首先,設(shè)計者確定線性物理規(guī)劃中各目標(biāo)的偏好類型及偏好值,即設(shè)定各目標(biāo)5個滿意程度區(qū)間的邊界值,然后利用ε約束法將多目標(biāo)問題轉(zhuǎn)換成單目標(biāo)問題,即將多個目標(biāo)中的一個作為優(yōu)化目標(biāo),其余的目標(biāo)轉(zhuǎn)換為約束,且該約束的上界設(shè)定為某一個滿意程度區(qū)間的邊界值,再采用兩級集成系統(tǒng)綜合方法進行多學(xué)科設(shè)計優(yōu)化,從而得到一個設(shè)計優(yōu)化方案(即一個非劣解)。當(dāng)改變目標(biāo)約束上界并且重新進行多學(xué)科設(shè)計優(yōu)化時,就可得到多個設(shè)計方案(即多個非劣解)。各設(shè)計方案的優(yōu)劣采用線性物理規(guī)劃評價模型來實現(xiàn),在該模型中先計算線性物理規(guī)劃數(shù)學(xué)模型中的遞增權(quán)值,再計算各設(shè)計方案的綜合目標(biāo)函數(shù)值,綜合目標(biāo)函數(shù)值最小的方案為最接近設(shè)計者意愿的方案,即最優(yōu)方案。

該方法的優(yōu)化流程如圖1所示,具體過程如下:①初始化所有的設(shè)計變量及耦合變量,i=0,j=0,i為第i偏好區(qū)間,j為第j個由目標(biāo)轉(zhuǎn)換而來的附加約束;②設(shè)計者確定各目標(biāo)所屬的類型(硬型或軟型),并為各目標(biāo)的偏好區(qū)間確定端點處的設(shè)計目標(biāo)值;③初始化εj,εj=t(j,1),εj為附加約束的上界,t(j,1)為第j個附加約束的第1個偏好區(qū)間端點處的設(shè)計目標(biāo)值;④j←j+1;⑤i←i+1;⑥通過約束法將多目標(biāo)問題轉(zhuǎn)換為單目標(biāo)問題,t(j,i)表示第j個附加約束的第i個偏好區(qū)間端點處的設(shè)計目標(biāo)值;⑦采用BLISS方法優(yōu)化轉(zhuǎn)換后的單目標(biāo)多學(xué)科問題,得到一個設(shè)計方案,即一個Pareto點;⑧如果第j個附加約束的所有的偏好區(qū)間已經(jīng)全部被選作約束上界,則轉(zhuǎn) ⑨,否則轉(zhuǎn)⑤;⑨如果j＞tota l,轉(zhuǎn) ⑩,否則轉(zhuǎn) ④,tota l為附加約束的總個數(shù);⑩采用線性物理規(guī)劃方法對求得的所有設(shè)計方案進行評價,得到最優(yōu)設(shè)計方案。

與傳統(tǒng)的多目標(biāo)優(yōu)化方法相比,如與多目標(biāo)遺傳算法相比,本文所提出的方法可以大大減小計算量,其原因在于減少了求解 Pareto點的個數(shù),但同時又能夠滿足設(shè)計人員的偏好。例如,對于一個兩目標(biāo)的多學(xué)科設(shè)計優(yōu)化問題,所求的Pareto點只有5個,對一個三目標(biāo)的多學(xué)科設(shè)計優(yōu)化問題,所求的Pareto點也只有25個。另外,多目標(biāo)中經(jīng)常存在目標(biāo)量綱不同以及目標(biāo)的量級不同的情況,該方法也易于處理這一類問題,其原因在于在線性物理規(guī)劃方法中對各目標(biāo)值進行了歸一化處理。

圖1 基于線性物理規(guī)劃和BLISS的多目標(biāo)多學(xué)科設(shè)計優(yōu)化流程

3 應(yīng)用

3.1 算例介紹

模型為一個減速器優(yōu)化模型[10],其原始模型的目標(biāo)函數(shù)為使減速器的體積最小,約束為應(yīng)力、撓度及尺寸約束。設(shè)計變量為齒輪尺寸(x1,x2,x3)和傳動軸尺寸(x4,x6,x5,x7),模型如圖2所示。

圖2 減速器模型

本文將該模型改造為兩目標(biāo)問題,即體積 f1最小和齒輪應(yīng)力 f2最小,模型的數(shù)學(xué)表達如下:

3.2 優(yōu)化求解過程

該模型雖然不太復(fù)雜,但它是一個典型的多目標(biāo)多學(xué)科問題,能夠作為一個很好的算例來對本文所提的方法進行驗證。首先,確定各目標(biāo)的類型,在本模型中目標(biāo) f1和目標(biāo) f2均為1S型。然后為各目標(biāo)確定各偏好區(qū)間端點處的設(shè)計目標(biāo)值,如表1所示。

表1 目標(biāo)函數(shù)的類型及偏好區(qū)間的設(shè)計目標(biāo)值

在兩個目標(biāo)中需要將其中一個轉(zhuǎn)換為附加約束,本文取f1為優(yōu)化目標(biāo),將f2轉(zhuǎn)換為附加約束。所以,目標(biāo) f2的各偏好區(qū)間端點處的設(shè)計目標(biāo)值將作為附加約束的上界。在進行多學(xué)科設(shè)計優(yōu)化之前,需要對該模型進行處理以便能夠采用BLISS方法進行優(yōu)化。將該模型分解為3個子系統(tǒng):D1、D2、D3。各系統(tǒng)的定義如下式所示(x1、x2、x3為系統(tǒng)設(shè)計變量,x4、x5為子系統(tǒng)D1的設(shè)計變量,x6、x7為子系統(tǒng)D2的設(shè)計變量):

3.3 結(jié)果和討論

采用本文提出的優(yōu)化方法對上述多目標(biāo)多學(xué)科優(yōu)化問題進行求解,得到5個設(shè)計方案,如表2和圖3所示。從結(jié)果中可以看出沒有一個設(shè)計方案是完全理想的,因此只有從5個設(shè)計方案中選出一個最能夠滿足設(shè)計者偏好的方案為最優(yōu)設(shè)計方案。通過線性物理規(guī)劃方法對各方案進行評價,方案3的綜合目標(biāo)函數(shù)值最低,最接近設(shè)計者的偏好,在該方案中,體積1925和應(yīng)力4,都在可容忍區(qū)間內(nèi)。各設(shè)計變量的取值為[2.6,0.435 86,17,7.3001,7.7167,3.3609,5.2879]。

表2 優(yōu)化結(jié)果

得到該最優(yōu)方案后,設(shè)計者根據(jù)實際情況決定是否接受該方案。如果認為該方案還沒有滿足要求,設(shè)計者可以在第一次優(yōu)化的基礎(chǔ)上尋求更優(yōu)的設(shè)計方案,即重新對該問題進行優(yōu)化。具體方法如下:選出綜合目標(biāo)函數(shù)值最低和次低的兩個方案,在這兩個方案之間重新定義設(shè)計者的偏好區(qū)間端點處的設(shè)計目標(biāo)值,如表3所示。

圖3 第一次優(yōu)化后Pareto點的分布

表3 目標(biāo)函數(shù)的類型及偏好區(qū)間的設(shè)計目標(biāo)值

確定了偏好區(qū)間端點處的設(shè)計目標(biāo)值后,采用本文提出的方法重新對該問題進行優(yōu)化,得到的設(shè)計方案如表4和圖4所示。從各方案的綜合目標(biāo)函數(shù)值可以看出方案4為最優(yōu)方案,其體積為1966,應(yīng)力為3.5。與上一次優(yōu)化結(jié)果比較可以得知該方案更加接近設(shè)計者的偏好。毫無疑問,優(yōu)化還可以重復(fù)進行,但其前提是設(shè)計者可以接受其計算成本的增加以及設(shè)計者是否可以接受已經(jīng)得到的方案。

表4 優(yōu)化結(jié)果

圖4 第二次優(yōu)化后Pareto點的分布

4 結(jié)語

BLISS方法是一種性能好的多學(xué)科設(shè)計優(yōu)化方法,但傳統(tǒng)的BLISS方法僅僅能夠處理單目標(biāo)問題。本文將線性物理規(guī)劃方法嵌入到BLISS方法中,提出了一種新的處理多目標(biāo)多學(xué)科問題的方法,并采用工程實例對該方法的性能進行了評價。由于該方法只需要求得少量的Pareto點便能得到滿足設(shè)計偏好的最優(yōu)設(shè)計方案,因此該方法具有計算成本低的優(yōu)點。同時,多目標(biāo)問題中經(jīng)常存在目標(biāo)量綱不同以及目標(biāo)的量級不同的情況,該方法也易于處理這一類問題。所以,本文所提出的方法適于處理工程問題中的多目標(biāo)多學(xué)科設(shè)計優(yōu)化問題,具有很好的工程應(yīng)用價值。

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AMulti-objectiveMultidisciplinary Design Optimization Method Based on
Integrating Linear Physical Programming and Bi-level Integrated System Synthesis

Tao Yourui1Han Xu2Jiang Chao2Liu Yingchun1
1.Hunan Institute of Engineering,Xiangtan,Hunan,411101 2.State Key Laboratory of Advanced Design and Manufacturing for Vehicle Body,Hunan University,Changsha,410082

We present a novelmethod to deal w ith multi-objectivem ultidiscip linary design optimization by integrating linear physical programming with bi-level integrated system synthesis.A t first,designers decided to which criterion class theobjectives belong,and choose the range targets for every ob jective.Then themu lti-ob jective p rob lem w as converted to sing le-ob jective p rob lem with-constraintmethod.Bi-levelintegrated system synthesiswas used to solve themu ltidiscip linary design op timization p roblem.A ll design schemeswere evaluated by linear physical p rogramming and the op timum design scheme can be obtained.A speed reducerm odel w as investigated to demonstrate the performance o f the presented method.The op tim al design scheme can be obtained from five design schemes.The volume and stress of the op timal design schem e are in the tolerab le range.The presented method can be app lied in the engineering problems.

m ultidiscip linary design optimization;multi-objective optimization;linear physical programming;bi-level integrated system synthesis

TH 122

1004—132X(2011)11—1357—05

2010—03—02

國家科技重大專項(2010ZX04017-013-005);國家自然科學(xué)基金資助項目(51075138);湖南工程學(xué)院 2011年科研啟動基金資助項目

(編輯 蘇衛(wèi)國)

陶友瑞,男,1973年生。湖南工程學(xué)院機械工程系副教授、博士。研究方向為多學(xué)科優(yōu)化設(shè)計、材料成形工藝與仿真。發(fā)表論文 15篇。韓 旭,男,1968年生。湖南大學(xué)機械與運載工程學(xué)院院長、教授、博士研究生導(dǎo)師。姜 潮,男,1978年生。湖南大學(xué)機械與運載工程學(xué)院副教授、博士。劉迎春,男,1951年生。湖南工程學(xué)院副校長、教授。