借助函數(shù)概念的發(fā)展史引入函數(shù)概念

100054 北京教育學(xué)院宣武分院二部 彭 林

100053 北 京 十 四 中 童紀(jì)元

借助函數(shù)概念的發(fā)展史引入函數(shù)概念

100054 北京教育學(xué)院宣武分院二部 彭 林

100053 北 京 十 四 中 童紀(jì)元

1 函數(shù)概念的三種定義

函數(shù)一詞是由萊布尼茲1673年最早引入的，用來(lái)表示任何一個(gè)隨著曲線上的點(diǎn)變動(dòng)而變動(dòng)的量.例如，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)、點(diǎn)的斜率、曲率半徑等等.其后，伯努利把函數(shù)看作一個(gè)變量和一個(gè)常數(shù)組成的表達(dá)式.歐拉在伯努利之后把函數(shù)看作是含有變量和常數(shù)的任何方程和公式.不難看出，他們對(duì)函數(shù)的界定都沒(méi)有跳出“表達(dá)式”的范圍.

后來(lái)，人們又給出了這樣的定義:“如果一個(gè)量依賴著另一個(gè)量，當(dāng)后一個(gè)變化時(shí)前一個(gè)量也隨著變化，那么第一個(gè)量稱為第二個(gè)量的函數(shù).”這個(gè)定義雖然還沒(méi)有道出函數(shù)的本質(zhì)，但是，卻把變化、運(yùn)動(dòng)注入到函數(shù)定義中去，是可喜的進(jìn)步.

1834年，俄國(guó)數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基提出函數(shù)的定義:“x的函數(shù)是這樣的一個(gè)數(shù)，它對(duì)于每個(gè)x都有確定的值，并且隨著x一起變化.函數(shù)值可以由解析式給出，也可以由一個(gè)條件給出，這個(gè)條件提供了一種尋求全部對(duì)應(yīng)值的方法.函數(shù)的這種依賴關(guān)系可以存在，但仍然是未知的.”這個(gè)定義跳出了“表達(dá)式”的框框，建立了變量與函數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，是對(duì)函數(shù)概念的一個(gè)重大發(fā)展，因?yàn)椤皩?duì)應(yīng)”是函數(shù)概念的一種本質(zhì)屬性與核心部分.

1837年，德國(guó)數(shù)學(xué)家狄里克萊認(rèn)為，怎樣去建立x與y之間的關(guān)系無(wú)關(guān)緊要，所以他的定義是“如果對(duì)于x的每一個(gè)值，y總有完全確定的值與之對(duì)應(yīng)，則y是x的函數(shù).”

根據(jù)這個(gè)定義，即使象如下表述的，它仍然被說(shuō)成是函數(shù)(狄里克萊函數(shù)):

在這個(gè)函數(shù)中，如果x由0逐漸增大地取值，則f(x)忽0忽1.在無(wú)論怎樣小的區(qū)間里，f(x)無(wú)限制地忽0忽1.因此，它很難用一個(gè)或幾個(gè)式子來(lái)加以表示，甚至究竟能否找出表達(dá)式也是一個(gè)問(wèn)題.但是，不管其能否用表達(dá)式表示，在狄里克萊的定義下，這個(gè)f(x)仍是一個(gè)函數(shù).

狄里克萊的函數(shù)定義，出色地避免了以往函數(shù)定義中所有的關(guān)于依賴關(guān)系的描述，以完全清晰的方式為所有數(shù)學(xué)家無(wú)條件地接受.至此，我們已經(jīng)可以說(shuō)，函數(shù)概念、函數(shù)的本質(zhì)定義已經(jīng)形成，這就是人們常說(shuō)的經(jīng)典函數(shù)定義，即函數(shù)的“變量說(shuō)”.

到二十世紀(jì)初，取消了函數(shù)概念中變量只能為數(shù)的限制，突出了函數(shù)的本質(zhì)特征——對(duì)應(yīng)關(guān)系，用集合論的語(yǔ)言敘述為:若對(duì)集合M的任意元素x，總有集合N中確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，則稱在集合M上定義一個(gè)函數(shù)，記為y=f(x).元素x稱為自變?cè)?，元素y稱為因變?cè)?這種定義方式叫做函數(shù)的“對(duì)應(yīng)說(shuō)”.

可是，這個(gè)定義中還存在著意義不明確的概念“對(duì)應(yīng)”.因此，數(shù)學(xué)家們給出了十分形式化的定義.

我們看到，“變量說(shuō)”自然、形象、直觀，易于理解，但也有其缺陷一面:

(1)“變量說(shuō)”對(duì)函數(shù)的實(shí)質(zhì)——對(duì)應(yīng)——缺少充分的刻畫(huà)，這是最致命的缺陷.究竟函數(shù)是指f，還是f(x)，還是 y=f(x)呢?

(2)“變量說(shuō)”強(qiáng)調(diào)變量和變域——自變量和因變量、定義域和值域，而對(duì)對(duì)應(yīng)規(guī)律卻輕描淡寫(xiě)一筆帶過(guò).例如，容易誤解y=sin2x+cos2x(=1)不是函數(shù).

而“對(duì)應(yīng)說(shuō)”和“關(guān)系說(shuō)”建立在集合論的基礎(chǔ)上，更接近現(xiàn)代數(shù)學(xué)語(yǔ)言，普適性強(qiáng)，更重要的是，它們都抓住了函數(shù)的本質(zhì)——對(duì)應(yīng)關(guān)系.

2 借助函數(shù)概念的發(fā)展歷史引入函數(shù)概念

函數(shù)概念的一次又一次的擴(kuò)張，是前人思維的一次又一次的突破，從中可以看到，函數(shù)概念的內(nèi)涵被不斷地挖掘、豐富和精確刻畫(huà).研究表明:函數(shù)概念歷史發(fā)展過(guò)程中的認(rèn)識(shí)障礙也會(huì)成為今天課堂上學(xué)生的認(rèn)知障礙.因此，在函數(shù)概念教學(xué)中，如果能恰當(dāng)借鑒歷史，選擇學(xué)生容易接受的典型情境探究函數(shù)概念，使學(xué)生在情境的識(shí)別與辨析中逐步體會(huì)它的形成過(guò)程，并且親身感悟一次又一次逐步抽象出函數(shù)概念的方法，將有助于學(xué)生打破思維定勢(shì)，形成清晰的認(rèn)識(shí)，并深刻理解函數(shù)的概念.這是一個(gè)多層次逼近的過(guò)程，反映了認(rèn)識(shí)由遠(yuǎn)及近、由模糊到清晰、由粗略到精細(xì)的過(guò)程，是教學(xué)中值得借鑒的.

所以，我們可以根據(jù)學(xué)生的情況，借鑒函數(shù)的歷史發(fā)展，讓學(xué)生在探究函數(shù)概念的過(guò)程中，經(jīng)歷3次函數(shù)概念的擴(kuò)張，并最終歸納、總結(jié)出現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)教材中的函數(shù)概念.

2.1 讓學(xué)生結(jié)合實(shí)例，從兩個(gè)變量聯(lián)系的角度，試著給出函數(shù)的定義，即從表達(dá)式的角度理解兩個(gè)變量的關(guān)系，完成對(duì)函數(shù)概念內(nèi)涵的第1次抽象認(rèn)識(shí)

例1 指出下列變化過(guò)程中的變量和常量，并用適當(dāng)?shù)男问奖磉_(dá)變量間的關(guān)系.

(1)一個(gè)水滴落到平靜的湖面上，所形成的一系列圓的面積S與圓半徑r的關(guān)系＿＿;

(2)銳角β與銳角α互余，則β與α的關(guān)系＿＿＿＿;

(3)氣體的質(zhì)量m一定時(shí)，它的體積V與它的密度ρ之間的關(guān)系＿＿＿＿;

(4)購(gòu)買(mǎi)單價(jià)為1元/支的鉛筆x支和單價(jià)5元/個(gè)的筆記本y個(gè)共花去80元，則x和y的關(guān)系＿＿＿＿;

上述的每一個(gè)問(wèn)題中，教師都提問(wèn):在變化的過(guò)程中，誰(shuí)是變量?誰(shuí)是常量?兩個(gè)變量間的關(guān)系是通過(guò)什么來(lái)刻畫(huà)的?

學(xué)生分別回答相應(yīng)問(wèn)題.

進(jìn)而教師提出問(wèn)題:你能總結(jié)在不同的變化過(guò)程中，變量間的關(guān)系有何共同特點(diǎn)呢?

學(xué)生思考，總結(jié)上述例子變量間關(guān)系的共同特點(diǎn):

(1)在某一變化過(guò)程中存在著兩個(gè)變量;

(2)變化過(guò)程中兩個(gè)變量之間存在一個(gè)關(guān)系式;

(3)當(dāng)一個(gè)變量的數(shù)值確定時(shí)，另一個(gè)變量的數(shù)值也隨之確定.

說(shuō)明 關(guān)于結(jié)論(3)，學(xué)生可能不易得出該結(jié)論，如果學(xué)生沒(méi)有總結(jié)出這一條，則先暫時(shí)放棄對(duì)這一條的總結(jié)，通過(guò)后續(xù)問(wèn)題的研究，讓學(xué)生慢慢的發(fā)現(xiàn)該結(jié)論.

通過(guò)上述問(wèn)題，感受到變量之間的相互聯(lián)系.特別是二元一次方程，進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生認(rèn)識(shí)兩個(gè)量之間是相互關(guān)聯(lián)的，揭示變量間關(guān)系的一些共同特點(diǎn).

2.2 結(jié)合實(shí)例，讓學(xué)生思考前面總結(jié)的函數(shù)定義是否完整，如果不完整，應(yīng)該如何補(bǔ)充?對(duì)函數(shù)從表達(dá)式角度的理解過(guò)渡到函數(shù)是兩個(gè)變量間的相互依賴關(guān)系的認(rèn)識(shí)，完成對(duì)函數(shù)概念內(nèi)涵的第2次抽象

例2 北京近幾年底機(jī)動(dòng)車(chē)保有量統(tǒng)計(jì)表:

(1)表格中有變量嗎?是什么?

(2)從表格中你能得出哪些結(jié)論?

(3)你能寫(xiě)出汽車(chē)保有量m(萬(wàn)輛)與年份n之間的關(guān)系式嗎?

例3

圖1

(1)統(tǒng)計(jì)圖中有變量嗎?是什么?

(2)你能寫(xiě)天數(shù)m與年份n之間的關(guān)系式嗎?

在學(xué)生回答上述問(wèn)題的基礎(chǔ)上，教師指出，顯然，例2中無(wú)法寫(xiě)出汽車(chē)保有量m(萬(wàn)輛)與年份n的關(guān)系式，例3中也無(wú)法寫(xiě)出天數(shù)m與年份n之間的關(guān)系式，那么聯(lián)系例1，例2，例3，變量之間關(guān)系的共同特點(diǎn)是什么呢?

學(xué)生對(duì)從例1中得出的共同特點(diǎn)作出修改，形成新的認(rèn)識(shí):

(1)在某一變化過(guò)程中存在著兩個(gè)變量;

(2)當(dāng)一個(gè)變量的數(shù)值確定時(shí)，另一個(gè)變量的數(shù)值隨之確定.

通過(guò)以上問(wèn)題的思考，學(xué)生對(duì)變量間的共同屬性有了進(jìn)一步的認(rèn)識(shí):即在一個(gè)變化過(guò)程中的兩個(gè)變量，不一定存在一個(gè)確定的關(guān)系式;變量間的關(guān)系還可以通過(guò)表格、圖象等形式來(lái)體現(xiàn).兩個(gè)變量存在“單值對(duì)應(yīng)”的關(guān)系在上述例題中有所體現(xiàn)，但對(duì)這一關(guān)系的認(rèn)識(shí)，需要通過(guò)辨析來(lái)加以明確.

2.3 通過(guò)實(shí)例，讓學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的認(rèn)識(shí)從變量間的相互依賴關(guān)系過(guò)渡到兩個(gè)變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系，完成對(duì)函數(shù)概念內(nèi)涵的第3次抽象認(rèn)識(shí)

例4 為使首都的交通狀況得到改善，北京推行“公交先行”的戰(zhàn)略.北京市某趟公交車(chē)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是:12千米以內(nèi)票價(jià)1元，每增加5千米以內(nèi)加價(jià)0.5元，學(xué)生使用公交一卡通刷卡可享受2折優(yōu)惠.請(qǐng)你計(jì)算乘車(chē)?yán)锍虜?shù)x(千米)分別為5千米，10千米，13千米，15千米時(shí)，刷卡乘車(chē)實(shí)際所需要花的錢(qián)數(shù)y(元).

學(xué)生思考，回答上述問(wèn)題:當(dāng)乘車(chē)?yán)锍虜?shù)分別為5千米，10千米時(shí)，需花0.2元;當(dāng)乘車(chē)?yán)锍虜?shù)分別為13千米，15千米時(shí)，需花0.3元.

教師追問(wèn)學(xué)生:在這個(gè)問(wèn)題中，有哪些變量，變量間的關(guān)系有何特點(diǎn)?和前面的例子比較，變量間關(guān)系的共同特點(diǎn)是什么呢?

在此問(wèn)題中，學(xué)生應(yīng)該能立刻意識(shí)到在這個(gè)變化過(guò)程中，當(dāng)乘車(chē)的里程數(shù)x取不同數(shù)值時(shí)，刷卡乘車(chē)的費(fèi)用y卻可能相同;當(dāng)乘車(chē)?yán)锍虜?shù)x確定時(shí)，刷卡乘車(chē)的費(fèi)用y卻是唯一確定了.這點(diǎn)對(duì)學(xué)生構(gòu)建對(duì)函數(shù)概念中“單值對(duì)應(yīng)”的關(guān)系至關(guān)重要.

學(xué)生討論，形成認(rèn)識(shí):乘車(chē)費(fèi)用y(元)并不一定隨著乘車(chē)?yán)锍虜?shù)x(千米)的變化而變化，但變量x的每一個(gè)確定數(shù)值，變量y都有唯一的數(shù)值與之對(duì)應(yīng).

通過(guò)上述問(wèn)題的解決，我們得出在這些問(wèn)題中變量間關(guān)系的共同特點(diǎn):

(1)在一個(gè)變化的過(guò)程中存在著兩個(gè)變量;

(2)當(dāng)其中一個(gè)變量取一確定數(shù)值時(shí)，另一個(gè)變量有唯一值與之對(duì)應(yīng).

至此，學(xué)生對(duì)函數(shù)“變量說(shuō)”中的兩個(gè)變量間的關(guān)系有了清晰的認(rèn)識(shí)，形成了函數(shù)的概念:在一個(gè)變化過(guò)程中，有兩個(gè)變量x與y，對(duì)于變量x的每一個(gè)值，變量y都有唯一確定的值和它對(duì)應(yīng)，我們就把x稱為自變量，y稱為因變量，y是x的函數(shù).

這樣設(shè)計(jì)函數(shù)概念的教學(xué)，目的是讓學(xué)生沿著數(shù)學(xué)家探索函數(shù)概念所走過(guò)的路，經(jīng)歷“一次次地提出概念、一次次地推翻概念”的探究過(guò)程，讓學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的發(fā)展、內(nèi)涵與外延認(rèn)識(shí)得更加深刻.

20110304)